5.2.1 基本初等函数的导数(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

本讲义聚焦基本初等函数的导数这一核心知识点，先通过导数定义求导的复杂性引入，梳理常数、一次、幂函数等常用函数的导数公式，再扩展到指数、对数、三角函数的导数公式，构建从具体到一般的知识支架。 该资料以高铁瞬时速度实例激发兴趣，通过“想一想”“母题探究”引导推理培养数学思维，题型涵盖求导、切线方程等，结合实例提升数学语言表达能力。课中助教师系统授课，课后练习题分层帮助学生查漏补缺，强化应用意识。

5.2.1　基本初等函数的导数 课标 要求 1.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数（数学运算）. 2.会使用导数公式表（数学运算）. 高铁是目前一种非常受欢迎的交通工具，既低碳又快捷.设一高铁走过的路程s（单位：m）关于时间t（单位：s）的函数为s＝f（t），求它的瞬时速度，就是求f（t）的导数.根据导数的定义，就是求当Δt→0时，所趋近的那个定值.运算比较复杂，而且有的函数，如y＝sin x，y＝ln x很难运用定义求导数. 【问题】　（1）是否有更简便的求导数的方法呢？ （2）基本初等函数的导数公式可否直接应用？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　 知识点一　几个常用函数的导数 原函数 导函数 f（x）＝C（C为常数） f'（x）＝　0　 f（x）＝x f'（x）＝1 f（x）＝kx＋b（k，b为常数） f'（x）＝　k　 f（x）＝x2 f'（x）＝　2x　 f（x）＝x3 f'（x）＝3x2 f（x）＝ f'（x）＝　－　 f（x）＝ f'（x）＝ 【想一想】 常数函数的导数为0说明什么？ 提示：说明常数函数f（x）＝C图象上每一点处的切线的斜率都为0，即每一点处的切线都平行（或重合）于x轴（或任意两点间的函数值的变化量Δy＝0）. 知识点二　基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f（x）＝xα（α为常数） f'（x）＝　αxα－1　 f（x）＝ax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝axln a f（x）＝ex f'（x）＝　ex　 f（x）＝logax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝logae＝　　 f（x）＝ln x f'（x）＝　　 f（x）＝sin x f'（x）＝cos x f（x）＝cos x f'（x）＝　－sin x　 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）因为（ln x）'＝，所以（）'＝ln x.（　×　） （2）若f'（x）＝sin x，则f（x）＝cos x.（　×　） （3）若f（x）＝5x，则f'（x）＝5xlog5e.（　×　） 2.已知f（x）＝xα（α∈Q，且α≠0），若f'（1）＝，则α＝　　. 解析：因为f（x）＝xα，所以f'（x）＝αxα－1，所以f'（1）＝α＝. 3.已知f（x）＝cos x，则f'（）＝　－　. 解析：因为f（x）＝cos x，所以f'（x）＝－sin x，则f'（）＝－sin＝－. 题型一　基本初等函数的导数 （链接教科书第203页练习2题）求下列函数的导数： （1）f（x）＝x12；（2）f（x）＝； （3）f（x）＝3x；（4）f（x）＝log5x. 解：（1）f'（x）＝（x12）'＝12x11. （2）f'（x）＝'＝（x－4）'＝－4x－5＝－. （3）f'（x）＝（3x）'＝3xln 3. （4）f'（x）＝（log5x）'＝. 规律方法 求简单函数的导数的方法 （1）若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导； （2）若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导. 求下列函数的导数： （1）f（x）＝；（2）f（x）＝x；（3）f（x）＝lox. 解：（1）f'（x）＝＝ln ＝－ln 2. （2）f'（x）＝（x）'＝（）'＝＝. （3）f'（x）＝'＝＝－. 题型二　求函数在某点处的导数 （链接教科书第204页练习6题）求函数f（x）＝在x＝1处的导数. 解：∵f（x）＝＝，∴f'（x）＝（）'＝－，∴f'（1）＝－. 规律方法 　　求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简，然后求导，最后将变量的值代入导函数求解. 　（2026·镇江月考）已知函数f（x）＝在x＝a处的导数为－2，则实数a＝　±　. 解析：f'（x）＝－，当x＝a时，f'（a）＝－＝－2，即a＝±. 题型三　求切线方程 已知曲线y＝ln x，点P（e，1）是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程. 解：∵y'＝， ∴k＝， ∴切线方程为y－1＝（x－e），即x－ey＝0. 【母题探究】 1.（变条件）已知y＝kx＋1是曲线y＝ln x的一条切线，则k＝　　. 解析：设切点坐标为（x0，y0），由题意得曲线y＝ln x在点（x0，y0）处的切线斜率为k，则k＝（ln x0）'＝，又y0＝kx0＋1，y0＝ln x0，解得y0＝2，x0＝e2，所以k＝. 2.（变条件）求曲线y＝ln x过点O（0，0）的切线方程. 解：∵O（0，0）不在曲线y＝ln x上.∴设切点为Q（x0，y0），则切线的斜率k＝. 又切线的斜率k＝＝， ∴＝，即x0＝e，∴Q（e，1），∴k＝， ∴切线方程为y－1＝（x－e），即x－ey＝0. 规律方法 1.利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 （1）若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数； （2）若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解. 2.求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤 1.函数y＝x3在点（2，8）处的切线方程为（　　） A.y＝12x－16 B.y＝12x＋16 C.y＝－12x－16 D.y＝－12x＋16 解析：A　因为y'＝3x2，当x＝2时，y'＝12，故切线的斜率为12，切线方程为y＝12x－16. 2.已知曲线y＝ln x的一条切线方程为x－y＋c＝0，则c的值为　－1　. 解析：设切点为（x0，ln x0），由y＝ln x得y'＝.故y＝ln x在点（x0，ln x0）处的切线斜率为.因为曲线y＝ln x在x＝x0处的切线方程为x－y＋c＝0，其斜率为1.所以＝1，即x0＝1，所以切点为（1，0）.所以1－0＋c＝0，所以c＝－1. 1.若f（x）＝sin x，则f'＝（　　） A.－ B.－ C. 解析：D　f'（x）＝cos x，f'＝cos＝. 2.〔多选〕下列求导正确的是（　　） A.若f（x）＝3，则f'（x）＝0 B.若f（x）＝，则f'（x）＝－ C.若f（x）＝ln x，则f'（e）＝ D.若f（x）＝x，则f'（x）＝1 解析：ACD　只有B是错误的.因为f'（x）＝＝'＝－＝－. 3.曲线y＝在点（，）处的切线方程为（　　） A.4x－4y＋2－1＝0 B.4x－4y＋1＝0 C.4x－4y＋2－＝0 D.4x＋4y－3＝0 解析：B　由于y＝，所以y'＝，所以曲线在点（，）处的切线的斜率k＝＝1，切线方程为4x－4y＋1＝0. 4.若质点P的运动方程是s（t）＝（s的单位：m，t的单位：s），则质点P在t＝8 s时的瞬时速度为　　m/s. 解析：因为s'（t）＝（）'＝（）'＝，所以s'（8）＝×＝×2－1＝，所以质点P在t＝8 s时的瞬时速度为 m/s. 1.下列求导运算正确的是（　　） A.（cos）'＝sin B.（）'＝－ C.（lg x）'＝ D.（）'＝ 解析：C　（cos）'＝0，故A不正确；（）'＝（x－3）'＝－3x－4，故B不正确；（lg x）'＝，故C正确；（）'＝（）'＝，故D不正确.故选C. 2.函数y＝2x在x＝2处的导数为（　　） A.2 B.4 C.2ln 2 D.4ln 2 解析：D　y'＝（2x）'＝2xln 2，故所求导数为4ln 2. 3.一物体沿一光滑斜面下滑，测得物体下滑速度满足v（t）＝log2t，则该物体在第2 s时下滑的加速度a＝（　　） A.ln 2 B.2ln 2 C. 解析：D　v'（t）＝（log2t）'＝，又t＝2，∴a＝. 4.（2026·泰州月考）已知直线y＝x＋b是曲线y＝ln x（x＞0）的一条切线，则实数b＝（　　） A.－1 B.0 C.ln 2－1 D.ln 2＋1 解析：C　设切点坐标为（x0，y0），则y0＝ln x0.y'＝（ln x）'＝，∴k＝.由题意知＝，∴x0＝2，y0＝ln 2.由ln 2＝×2＋b，得b＝ln 2－1. 5.〔多选〕已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为3，则P点的坐标为（　　） A.（－1，1） B.（－1，－1） C.（1，1） D.（1，－1） 解析：BC　y'＝3x2，因为k＝3，所以3x2＝3，所以x＝±1，则P点坐标为（－1，－1）或（1，1）. 6.〔多选〕若函数f（x）的导函数f'（x）的图象关于y轴对称，则f（x）的解析式可能为（　　） A.f（x）＝3cos x B.f（x）＝x3 C.f（x）＝ D.f（x）＝2x 解析：BCD　对于A，f（x）＝3cos x，定义域为R，f'（x）＝－3sin x，f'（x）为奇函数，图象不关于y轴对称，不符合题意；对于B，f（x）＝x3，定义域为R，f'（x）＝3x2，f'（x）为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于C，f（x）＝，定义域为{x｜x≠0}，关于原点对称，f'（x）＝－，f'（x）为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于D，f（x）＝2x，定义域为R，f'（x）＝2，f'（x）是偶函数，图象关于y轴对称，符合题意.故选B、C、D. 7.若曲线y＝在点P（a，）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是　4　. 解析：因为y'＝，所以切线方程为y－＝（x－a），令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－a，由题意知··a＝2，所以a＝4. 8.过点（1，0）且与曲线y＝x2相切的直线方程为　y＝0或y＝4x－4　. 解析：∵y'＝2x，设切点坐标为（x0，），则切线方程为y－＝2x0（x－x0）.又∵该切线方程过点（1，0），∴－＝2x0（1－x0），解得x0＝0或x0＝2.即切线方程为y＝0或y＝4x－4. 9.以正弦曲线y＝sin x上一点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的取值范围是　［0，］∪［，π）　. 解析：由函数y＝sin x，得y'＝cos x.设P（x0，y0），则以点P为切点的切线l的斜率k＝cos x0∈[－1，1].设以点P为切点的切线l的倾斜角为α，则tan α＝k∈[－1，1]，由α∈[0，π），可得α∈［0，］∪［，π）. 10.求下列函数的导数： （1）y＝； （2）y＝log2x2－log2x； （3）y＝－2sin（1－2cos2）. 解：（1）y'＝（）'＝（）'＝＝＝. （2）y＝log2x2－log2x＝log2＝log2x，∴y'＝. （3）∵y＝－2sin（1－2cos2） ＝2sin（2cos2－1）＝2sincos＝sin x， ∴y'＝（sin x）'＝cos x. 11.已知f（x）＝2cos2－1，g（x）＝x，则关于x的不等式f'（x）＋g'（x）≤0的解集为（　　） A.{x｜x＝＋2kπ，k∈Z} B.{x｜x＝2kπ，k∈Z} C.{x｜x＝＋2kπ，k∈Z} D.{x｜x＝2kπ＋π，k∈Z} 解析：A　∵f（x）＝2cos2－1＝cos x，∴f'（x）＝－sin x，g'（x）＝1，由f'（x）＋g'（x）≤0得－sin x＋1≤0，即sin x≥1，∴sin x＝1，解得x＝＋2kπ，k∈Z.不等式的解集为{x｜x＝＋2kπ，k∈Z}.故选A. 12.〔多选〕若函数y＝f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f（x）具有T性质，下列函数中具有T性质的是（　　） A.f（x）＝cos x B.f（x）＝ln x C.f（x）＝ex D.f（x）＝x2 解析：AD　由题意y＝f（x）具有T性质，则存在x1，x2，使得f'（x1）f'（x2）＝－1.对于选项A，f'（x）＝－sin x，存在x1＝，x2＝－，使得f'（x1）f'（x2）＝－1；对于选项B，f'（x）＝，x＞0，不存在x1，x2，使得f'（x1）f'（x2）＝－1；对于选项C，f'（x）＝ex＞0，不存在x1，x2，使得f'（x1）f'（x2）＝－1；对于选项D，f'（x）＝2x，存在x1＝1，x2＝－，使得f'（x1）f'（x2）＝4x1x2＝－1. 13.（2026·镇江质检）函数y＝x2（x＞0）的图象在点（ak，）处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5＝　21　. 解析：∵y'＝2x，∴y＝x2（x＞0）在点（ak，）处的切线斜率k＝2ak，则在点（ak，）处的切线方程为：y－＝2ak（x－ak），即y＝2akx－，∴ak＋1＝ak，∴a1＋a3＋a5＝a1（1＋＋）＝16×＝21. 14.已知点P是曲线C：y＝x3上任意一点，过点P作曲线C的切线l1交C于点Q，过点Q作曲线C的切线l2，设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，证明：为定值. 证明：设f（x）＝x3，由求导公式可得f'（x）＝3x2，不妨设P（x0，），则点P处的切线斜率k1＝3，切线方程为y－＝3（x－x0），由得x3－3x＋2＝0， 即（x－x0）2（x＋2x0）＝0，解得x＝x0或x＝－2x0，所以点Q的横坐标为－2x0，所以点Q处的切线斜率为k2＝f'（－2x0）＝12， 故＝＝，为定值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $