5.1.2 第2课时 瞬时速度与瞬时加速度(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

该高中数学课件聚焦“瞬时速度与瞬时加速度”，通过红绿灯测速探头实例导入，衔接上节课切线斜率的“无限逼近”思想，搭建从平均速度到瞬时速度的转化支架，帮助学生建立导数与物理运动的联系。 其亮点在于以生活情境培养数学眼光，通过定义辨析、题型分层（平均速度、瞬时速度、加速度）及规律方法总结（如求瞬时速度三步骤）发展数学思维，用符号公式精准表达物理量关系体现数学语言。实例丰富如自我诊断题、母题变式训练，助力学生深化概念理解，教师可直接用于课堂教学提升效率。

5.1.2　瞬时变化率——导数 第2课时　瞬时速度与瞬时加速度 第五章　导数及其应用 1 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 3 　　同学们，上节课我们研究了曲线的割线斜率和切线斜率，在解决问题 时，采用了“无限逼近”的思想，实现了由割线斜率到切线斜率的转化， 反映到物理当中，就是研究某运动物体的瞬时速度的问题，但现实中，瞬 时速度是否存在呢？比如大家在经过红绿灯路口时，容易发现，测速探头 会在极短的时间内拍两次，然后看你发生的位移，这其实就是利用了极短 时间内的平均速度来逼近瞬时速度，其原理也是“无限逼近”的思想，今 天我们就来具体研究这一现象. 【问题】　在数学中，如何用“无限逼近”的思想把平均速度和瞬时速度 联系起来呢？ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 知识点　瞬时速度与瞬时加速度 1. 平均速度：在物理学中，运动物体的位移与 ⁠的比称为平均 速度. 提醒：（1）平均速度反映一段时间内物体运动的平均快慢程度，它与一 段位移或一段时间相对应； （2）平均速度是矢量，其方向与一段时间内发生的位移方向相同，与运 动方向不一定相同. 所用时间　 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 瞬时速度：一般地，如果当Δt 趋近于0时，运动物体位移S （t）的平均变化率 无限趋近于一个 ，那 么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变 化率. 提醒：瞬时速度与平均速度的区别和联系：①区别：瞬时速度刻画物 体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体在某一段时间内 的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关；②联系：瞬时速度是平 均速度的极限值. 无限　 　 常数　 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. 瞬时加速度：一般地，如果当Δt 趋近于0时，运动物体速度v （t）的平均变化率 无限趋近于一个 ，那 么这个常数称为物体在 时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的 瞬时变化率. 无限　 　 常数　 t＝t0　 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）瞬时加速度是速度的极限值. （　×　） （2）在计算物体运动的瞬时速度时，s（t0＋Δt）＞s（t0）. （　×　） （3）瞬时速度是刻画物体在区间[t0，t0＋Δt]（Δt＞0）上变化快慢的物 理量. （　×　） × × × 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 某物体运动t s后，其位移（单位：m）为y＝ t2＋2t.在2≤t≤4这段时 间里，该物体的平均速度为（　　） A. 5 m/s B. 6 m/s C. 8 m/s D. 10 m/s 解析：　当t＝2时，位移为 ×22＋2×2＝6，当t＝4时，位移为 ×42＋2×4＝16，在2≤t≤4这段时间里，该物体的平均速度为 ＝ 5 m/s.故选A. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. 如果质点A按照规律s（t）＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为 （　　） A. 6 B. 18 C. 54 D. 81 解析：　∵s（t）＝3t2，t0＝3，∴Δs＝s（t0＋Δt）－s（t0）＝3（3 ＋Δt）2－3×32＝18Δt＋3（Δt）2.∴ ＝18＋3Δt.当Δt无限趋近于0 时， 无限趋近于18，即质点A在t0＝3时的瞬时速度为18. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 典例研析>> 目录 11 题型一　平均速度 已知甲、乙两人百米赛跑路程与时间的关系如图所示.甲、乙两人的平 均速度各是多少？ 解：由题图可知，当t＝0时，甲、乙从起点出发，当t＝12 s时，甲、乙到 达终点，且甲、乙两人跑100 m都用了12 s，即y总＝100 m，t总＝12 s， 所以 ＝ ＝ ＝ ＝ （m/s）. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 规律方法 求物体运动的平均速度的步骤 （1）先计算位移的改变量s（t2）－s（t1）； （2）再计算时间的改变量t2－t1； （3）得平均速度 ＝ . 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 一个物体做直线运动，位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数 关系为s（t）＝5t2＋bt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为 26 m/s，则实数b＝（　　） A. 2 B. 1 C. －1 D. 6 解析：由已知，得 ＝26，所以（5×32＋3b）－（5×22＋2b）＝26，解得b＝1. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 题型二　瞬时速度 （链接教科书第195页练习2题）某物体运动的位移S（单位：m）与 时间t（单位：s）的关系可用函数S（t）＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 时的瞬时速度. 解：在1到1＋Δt的时间内，物体的平均速度 ＝ ＝ ＝ ＝3＋Δt， ∴当Δt无限趋近于0时， 无限趋近于3， ∴S（t）在t＝1处的瞬时变化率为3. 即物体在t＝1时的瞬时速度为3 m/s. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 【母题探究】 　（变设问）若本例中的条件不变，试求物体的初速度. 解：求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度. ∵ ＝ ＝ ＝1＋Δt， ∴当Δt无限趋近于0时，1＋Δt无限趋近于1， ∴S（t）在t＝0时的瞬时变化率为1， 即物体的初速度为1 m/s. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 规律方法 求运动物体瞬时速度的三个步骤 （1）求位移改变量ΔS＝S（t0＋Δt）－S（t0）； （2）求平均速度 ＝ ； （3）求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时， 无限趋近于的常数v即为瞬时 速度. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 〔多选〕某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用 函数s（t）＝t2＋t＋1表示，则下列说法中正确的是（　　） A. 物体在t＝1 s时的瞬时速度为0 m/s B. 物体在t＝0 s时的瞬时速度为1 m/s C. 瞬时速度为9 m/s的时刻是在t＝4 s时 D. 物体从0 s到1 s的平均速度为2 m/s √ √ √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解析：对于A，因为 ＝ ＝3＋Δt，所以当Δt无限趋近于0时，3＋Δt无限趋近于3，即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s，故A错误；对于B，因为 ＝ ＝1＋Δt，所以当Δt无限趋近于0时，1＋Δt无限趋近于1，即物体在t＝0 s时的瞬时速度为1 m/s，故B正确；对于C，设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 因为 ＝2t0＋1＋Δt，所以当Δt无限趋近于0时，2t0＋1 ＋Δt无限趋近于2t0＋1，所以2t0＋1＝9，所以t0＝4，即物体在t＝4 s时的 瞬时速度为9 m/s，故C正确；对于D， ＝ ＝2 m/s，故D正 确.故选B、C、D. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 题型三　瞬时加速度 （链接教科书第194页例6）一辆汽车从停止状态开始加速行驶，并且 前5 s的速度v（m/s）与时间t（s）的关系可近似地表示为v＝－t2＋10t， 0＜t≤5，则汽车在t＝1 s时的瞬时加速度为（　　） A. 10 m/s2 B. 9 m/s2 C. 8 m/s2 D. 7 m/s2 解析：　由题意得， ＝ ＝－2t＋10－ Δt，当Δt无限趋近于0时， 无限趋近于－2t＋10，则汽车在t＝1 s时的 瞬时加速度为8 m/s2. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 规律方法 1. 瞬时加速度即为瞬时速度在Δt无限趋近于0时的极限值，要求瞬时加速 度应先求出质点运动速度关于时间的函数. 2. 瞬时加速度为状态量，反映某一时刻物体运动规律，是表示速度变化快 慢的物理量. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 某堆雪在融化过程中，其体积V（单位：m3）与融化时间t（单位：h）近 似满足函数关系：V（t）＝ （H为常数），其图象如图所示.记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为 m3/h， 观察图象可知瞬时融化速度等于 m3/h的时刻是（　　） A. t1 B. t2 C. t3 D. t4 √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解析：　如图所示，平均融化速度实际上是点A与点B连 线所在直线的斜率k；瞬时融化速度实际上是曲线V（t）在某时刻的切线斜率，通过对比，曲线在t3时刻的切线斜率与k相等，故瞬时融化速度等于 m3/h的时刻是t3. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 1. 质点运动规律S＝t2＋3，则在时间[3，3＋Δt]中，质点的平均速度等于 （　　） A. 6＋Δt B. 6＋Δt＋ C. 3＋Δt D. 9＋Δt 解析：　平均速度为 ＝ ＝6＋Δt. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. （2026·南通月考）一物体做直线运动，其位移y（单位：m）与时间t （单位：s）的关系是y＝－t2＋9t，则该物体在t＝3 s时的瞬时速度为 （　　） A. 3 B. 6 C. 12 D. 16 解析：　Δy＝－（3＋Δt）2＋9（3＋Δt）－（－9＋27）＝－9－（Δt）2－6Δt＋27＋9Δt＋9－27＝－（Δt）2＋3Δt，所以 ＝ ＝－Δt＋3，当Δt无限趋近于0时， 无限趋近于3，故选A. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. 某物体的运动速度与时间的关系为v（t）＝2t2－1，则t＝2时的瞬时加 速度为（　　） A. 2 B. －2 C. 8 D. －8 解析：　由题意知， ＝ ＝4t＋2Δt，当Δt无限趋 近于0时， 无限趋近于4t，则该物体在t＝2时的瞬时加速度为8. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 课时作业 >> 目录 28 1. 某质点沿曲线运动的方程为f（x）＝－2x2＋1（x表示时间，f（x）表 示位移），则该质点从x＝1到x＝2的平均速度为（　　） A. －4 B. －8 C. 6 D. －6 解析：　由题意得该质点从x＝1到x＝2的平均速度为 ＝ ＝－6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 一质点的运动方程为S＝5－3t2，若该质点在时间段[1，1＋Δt]内相应 的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是（　　） A. －3 B. 3 C. 6 D. －6 解析：　由平均速度和瞬时速度的关系可知，当Δt无限趋近于0时， 无限趋近于－6，即质点在t＝1时的瞬时速度是－6. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. 一物体运动的速度方程为v（t）＝t2＋3，则t＝2时物体的瞬时加速度 为（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 解析：　因为 ＝ ＝2t＋Δt.所以当Δt无限趋近于0 时， 无限趋近于2t.所以t＝2时物体的瞬时加速度为4. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 4. （2026·无锡质检）某质点的运动方程是f（x）＝x2－1，其在区间 [1，m]上的平均速度为3，则实数m的值为（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 解析：　根据题意，该质点在区间[1，m]上的平均速度为 ＝ ＝m＋1，则有m＋1＝3，解得m＝2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 5. 〔多选〕已知自由落体的运动方程为s（t）＝5t2，则下列结论正确的 是（　　） A. t在2到2＋Δt这一段时间内落体的平均速度为20＋5Δt B. t在2到2＋Δt这一段时间内落体的平均速度为20 C. 落体在t＝2时的瞬时速度为20 D. 落体在t＝2时的瞬时速度为25 解析：由题知物体在t＝2到t＝2＋Δt这一段时间内的平均速度为v＝ ＝20＋5Δt，则当Δt无限趋近于0时，v无限趋近于20，即t＝2时的瞬时速度为20. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 6. 〔多选〕已知物体作自由落体运动的位移函数为s（t）＝ gt2，g＝ 9.8，若v＝ ，当Δt无限趋近于0时，v趋近于9.8，则9.8 是（　　） A. 物体从0 s到1 s这段时间的平均速度 B. 物体从1 s到（1＋Δt）s这段时间的平均速度 C. 物体在t＝1 s这一时刻的瞬时速度 D. 函数s（t）＝ gt2在t＝1处的切线斜率 解析：由平均速度、瞬时速度及切线斜率的几何意义知C、D正确. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 7. 一物体的运动方程为S＝3t2－2，则其在t＝ 时的瞬时速度为1. 解析： ＝ ＝6t＋3Δt.当Δt无限趋近于0时， 无限 趋近于6t，因为瞬时速度为1，故6t＝1，即t＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 8. 已知某物体的位移S（m）与时间t（s）的关系是S（t）＝3t－t2.则t ＝0 s到t＝2 s的平均速度为 ；此物体在t＝2 s时的瞬时速度 为 ⁠. 解析：v＝ ＝1（m/s）. ＝ ＝ ＝－1－Δt，当Δt无限趋近于0时， 无限 趋近于－1，∴此物体在t＝2 s时的瞬时速度为－1 m/s. 1 m/s －1 m/s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 9. （2026·徐州月考）高台跳水运动员在t秒时距水面高度h（t）＝－ 4.9t2＋6.5t＋10（单位：米），则该运动员的初速度为 米/秒. 解析： ＝ ＝－4.9Δt＋6.5，∵当Δt无限趋近于0 时，－4.9Δt＋6.5无限趋近于6.5，∴该运动员的初速度为6.5米/秒. 6.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 10. 飞机起飞一段时间内，第t s时的高度h（t）＝5t3＋30t2＋45t＋4，其 中高度h的单位为m，时间t的单位为s. （1）h（0），h（1），h（2）分别表示什么？ 解：（1）h（0）表示飞机起飞前的高度； h（1）表示飞机起飞后第1 s时的高度； h（2）表示飞机起飞后第2 s时的高度. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （2）求第2 s内的平均速度； 解：飞机起飞后第2 s内的平均速度 ＝ ＝ ＝170（m/s）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解：第2 s末的瞬时速度为 ＝ ＝ － ＝ ＝5（Δt）2＋60Δt＋225. 当Δt无限趋近于0时， 无限趋近于225. ∴第2 s末的瞬时速度为225 m/s. （3）求第2 s末的瞬时速度. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 11. （2026·扬州质检）甲、乙的速度v与时间t的关系如图，a（t0）是 在t＝t0时的加速度，S（t0）是从t＝0到t＝t0的路程，则下列说法正确的 是（　　） A. a甲（t0）＝a乙（t0） B. a甲（t0）＜a乙（t0） C. S甲（t0）＝S乙（t0） D. S甲（t0）＜S乙（t0） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解析：　加速度是速度对时间的函数的切线斜率，由图可得在t＝t0处， 甲的切线斜率小于乙的切线斜率，即甲在t＝t0处的加速度小于乙在t＝t0 处的加速度；由图知，从t＝0到t＝t0，甲的速度总大于等于乙的速度，所 以甲从t＝0到t＝t0的路程大于乙从t＝0到t＝t0的路程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 12. 火车开出车站一段时间内，速度v（单位：米/秒）与行驶时间t（单 位：秒）之间的关系是v（t）＝0.6t2＋0.4t，则火车加速度为2.8米/秒2 时，刚好开出了（　　） A. 秒 B. 2秒 C. 秒 D. 秒 解析：　由题意可知， ＝ ＝0.4＋ 1.2t＋0.6Δt，当Δt无限趋近于0时， 无限趋近于0.4＋1.2t，由0.4＋ 1.2t＝2.8，得t＝2秒. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝ x，y＝0，x＝t（t＞ 0）围成的△OAB的面积为S（t），则S（t）在t＝2时的瞬时变化率 是 ⁠. 2 解析：∵S（t）＝ OA·AB＝ · t·t＝ t2， ＝ ＝ ＝ t＋ ，当Δt无限趋近于0时， 无限趋近于 t，∴S（t）在t＝2时的瞬时变化率是2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 14. 某机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润c（元）与产量x （台）之间的关系式为c（x）＝－2x2＋7 000x＋600. （1）求产量为1 000台的总利润与平均利润； 解：产量为1 000台时的总利润为c（1 000）＝－2×1 0002＋7000× 1 000＋600＝5 000 600（元）， 平均利润为 ＝5 000.6（元）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （2）求产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量； 解：当产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量为 ＝ ＝2 000（元）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （3）当Δx无限趋近于0时，求 与 ，并说明它们的实际意义. 解：∵当Δx无限趋近于0时， 无限趋近于－4x＋7 000， ∴ ＝3 000， ＝1 000， 它们指的是当产量为1 000台时，每多生产一台机械可多获利3 000元；而 当产量为1 500台时，每多生产一台机械可多获利1 000元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 $