第5章 5.1.1 平均变化率（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦“平均变化率”核心知识点，衔接函数基本性质与后续导数概念，通过气温变化、水库存水量等现实问题引入，抽象出定义，再结合二次函数、反比例函数实例应用，构建从具体到抽象的学习支架。 特色在于以生活实例和问题驱动，培养数学眼光（从气温、存水量等现象发现数量关系），通过概念辨析（多选例题）和推理训练（平均变化率计算）发展数学思维，结合蜥蜴体温、刹车性能等实际问题提升数学语言表达能力。课中例题与跟踪训练助教师高效授课，课后练习帮助学生巩固应用，查漏补缺。

5.1.1　平均变化率 学习目标　1.了解平均变化率的实际背景.2.理解平均变化率的含义.3.会求函数在某区间上的平均变化率，并能用平均变化率解释一些实际问题. 导语 恩格斯说：“只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态，而且也表明过程：运动.”大家知道，世界充满着变化，有些变化几乎不易被人们察觉，而有些变化却让人们发出感叹与惊呼！比如同学们身高、体重的变化，学习成绩的变化，在短时间内不易被发现，而火箭的发射、F1赛道上赛车的速度却会让我们惊呼. 一、平均变化率的概念 问题　如图是某市近34天最高气温的统计图，用怎样的数学模型刻画气温变化的快慢程度？ 提示　“陡峭”的程度反应了气温变化的快与慢；AB两点相差31天，气温相差了15.1°C，则有≈0.5；而BC两点相差2天，气温相差了14.8 °C，则有＝7.4，我们用比值刻画气温变化的快慢程度. 知识梳理 1.一般地，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为. 2.平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”. 注意点： (1)函数在区间[x1，x2]上有意义. (2)在式子中，x2－x1>0，而f(x2)－f(x1)的值可正、可负、可为0. (3)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比. (4)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢. 例1　(多选)某物体的位移公式为s＝s(t)，从t0到t0＋Δt这段时间内，下列理解正确的有(　　) A.(t0＋Δt)－t0为自变量的改变量 B.t0为函数值的改变量 C.Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)为函数值的改变量 D.为s(t)在区间[t0，t0＋Δt]上的平均变化率 答案　ACD 解析　由自变量的改变量、函数值的改变量、平均变化率的概念易得ACD正确. 反思感悟 　平均变化率概念的理解 (1)要注意Δx，Δy的值可正、可负，但Δx≠0，Δy可为零，若函数f(x)为常数函数，则Δy＝0. (2)求点x0附近的平均变化率可用表示. (3)平均变化率一定是相对某一区间而言的，一般地，区间不同，平均变化率也不同. 跟踪训练1　(多选)下列说法正确的是(　　) A.平均变化率只能是正数 B.在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的变化量Δx可取任意实数 C.利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，效果是“粗糙不精确的” D.平均变化率的绝对值越大，曲线y＝f(x)在相应区间上越“陡峭”，反之亦然 答案　CD 解析　平均变化率可正、可负、可以为0，Δx不可为0，故A，B错误；平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但当Δx很小时，这种量化便由“粗糙”逼近“精确”，故C正确，D显然正确. 二、实际问题中的平均变化率 例2　(课本例2)水经过虹吸管从容器甲流向容器乙(如图)，t s后容器甲中水的体积V(t)＝5e－0.1 t(单位：cm3)，试计算第一个10 s内V的平均变化率. 解　在区间［0，10］上，体积V的平均变化率为≈＝－0.316 1(cm3/s)， 即第一个10 s内容器甲中水的体积的平均变化率为－0.316 1 cm3/s(负号表示容器甲中的水在减少). 例2　下表为某水库存水量y(单位：万m3)与水深x(单位：m)的对照表： 水深x/m 0 5 10 15 20 25 30 35 存水量y/万m3 0 20 40 90 160 275 437.5 650 (1)当x从5 m增长到10 m时，存水量y关于x的平均变化率为多少？解释它的实际意义； (2)当x从25 m增长到30 m时，存水量y关于x的平均变化率为多少？解释它的实际意义； (3)比较(1)与(2)的数值的大小，并联系实际情况解释意义. 解　(1)根据表格可知当x从5 m增长到10 m时，存水量y关于x的平均变化率为＝4， 即当x从5 m增长到10 m时，水库存水量随水深每增加1 m，水量增加4万m3. (2)根据表格可知当x从25 m增长到30 m时， 存水量y关于x的平均变化率为＝32.5， 即当x从25 m增长到30 m时，水库存水量随水深每增加1 m，水量增加32.5万m3. (3)显然4<32.5，所以该水库的水深从5 m增长到10 m时，存水量的平均变化率小于水深从25 m增长到30 m时存水量的平均变化率， 说明该水库的存水量随着水深的增长会增加的越来越快. 反思感悟　平均变化率问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、加速度、膨胀率、经济效益等.分清自变量和因变量是解决此类问题的关键. 跟踪训练2　蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T＝＋15，其中T为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)，则t＝0到t＝10，蜥蜴的体温的平均变化率为　　　℃/min.  答案　－1.6 解析　 ＝＝－1.6(℃/min)， 故从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温的平均变化率为－1.6 ℃/min. 三、函数中的平均变化率 例3　(课本例3)已知函数f(x)＝x2，分别计算函数f(x)在区间[1，3]，[1，2]，[1，1.1]，[1，1.001]上的平均变化率. 解　函数f(x)在[1，3]上的平均变化率为 ＝4， 函数f(x)在[1，2]上的平均变化率为 ＝3， 函数f(x)在[1，1.1]上的平均变化率为 ＝2.1， 函数f(x)在[1，1.001]上的平均变化率为 ＝2.001. 例3　已知函数f(x)＝－，则函数f(x)在区间[1，1.5]，[1，1.1]上的平均变化率各是多少？ 解　∵f(x)＝－， ∴f(1)＝－6，f(1.5)＝－4，f(1.1)＝－， ∴该函数在区间[1，1.5]上的平均变化率为＝4， 在区间[1，1.1]上的平均变化率为. 反思感悟　求函数平均变化率的步骤 (1)求自变量的改变量x2－x1. (2)求函数值的改变量f(x2)－f(x1). (3)求平均变化率. 跟踪训练3　(1)求函数f(x)＝3x2＋2在区间[2，2.1]上的平均变化率； (2)求函数g(x)＝3x－2在区间[－2，－1]上的平均变化率. 解　(1)函数f(x)＝3x2＋2在区间[2，2.1]上的平均变化率为 ＝12.3. (2)函数g(x)＝3x－2在区间[－2，－1]上的平均变化率为 ＝ ＝＝3. 1.知识清单： (1)平均变化率的概念. (2)实际问题中的平均变化率. (3)函数中的平均变化率. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：对平均变化率的理解不透彻导致出错. 1.如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率等于(　　) A.1 B.－1 C.2 D.－2 答案　B 解析　平均变化率为＝－1. 2.一物体的运动方程是S＝2t＋3(位移单位：m，时间单位：s)，则该物体在[2，2.1]这段时间内的平均速度是(　　) A.0.4 m/s B.2 m/s C.0.3 m/s D.0.2 m/s 答案　B 解析　＝2(m/s). 3.已知函数f(x)＝x2－1，当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率是(　　) A.2.1 B.0.21 C.1.21 D.0.121 答案　A 解析　Δx＝1.1－1＝0.1，Δy＝f(1.1)－f(1)＝1.12－1－(12－1)＝0.21，所以函数f(x)＝x2－1在区间[1，1.1]上的平均变化率为＝2.1. 4.如图是某变量变化的折线图，则该变量在区间[0，2]上的平均变化率为　　　. 答案　 解析　由折线图知，f(x)＝ 所以该变量在区间[0，2]上的平均变化率为. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分 1.已知函数y＝2＋，当x由1变到2时，函数值的改变量Δy等于(　　) A. B.－ C.1 D.－1 答案　B 解析　Δy＝－(2＋1)＝－. 2.函数f(x)＝x2－cos x在[0，π]上的平均变化率为(　　) A.1 B.2 C.π＋ D.π 答案　C 解析　平均变化率为＝π＋. 3.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，则治污效果较好的是(　　) A.甲厂 B.乙厂 C.两厂一样 D.不确定 答案　B 解析　在t0处，虽然有W甲(t0)＝W乙(t0)， 但W甲(t0－Δt)<W乙(t0－Δt)， 所以在相同时间Δt内，甲厂比乙厂的平均治污率小，所以乙厂治污效果较好. 4.一根金属棒的质量y(单位：kg)是长度x(单位：m)的函数，y＝f(x)＝3，则从4 m到9 m这一段金属棒的平均线密度是(　　) A. kg/m B. kg/m C. kg/m D. kg/m 答案　B 解析　从4 m到9 m这一段金属棒的平均线密度是(kg/m). 5.对于以下四个函数，在区间[1，2]上函数的平均变化率最大的是(　　) A.y＝x B.y＝x2 C.y＝x3 D.y＝ 答案　C 解析　A，B，C，D项的四个函数在区间[1，2]上函数的平均变化率依次为＝1，＝3，＝7，＝－，故平均变化率最大的是C项函数. 6.(多选)如图是物体甲、乙在时间0到t1范围内，路程的变化情况，下列说法正确的是(　　) A.在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B.在0到t0范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度 C.在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D.在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 答案　BC 解析　在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为，故A错误，B正确；在t0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为.因为s2－s0>s1－s0，t1－t0>0，所以>，故C正确，D错误. 7.(5分)已知函数y＝sin x在区间，上的平均变化率分别为k1，k2，那么k1，k2的大小关系为　　　　.  答案　k1>k2 解析　当x∈时，平均变化率 k1＝； 当x∈时，平均变化率 k2＝，∴k1>k2. 8.(5分)已知二次函数f(x)从1到1＋Δx的平均变化率为2Δx＋3，请写出满足条件的一个二次函数的表达式f(x)＝　　　　.  答案　2x2－x(答案不唯一) 解析　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则＝aΔx＋2a＋b＝2Δx＋3， 由题意知解得 显然c的取值不改变结果，不妨取c＝0，则f(x)＝2x2－x. 9.(10分)已知函数f(x)＝x2＋3x在[0，m]上的平均变化率是函数g(x)＝2x＋1在[1，4]上的平均变化率的3倍，求实数m的值. 解　函数g(x)在[1，4]上的平均变化率为＝2. 函数f(x)在[0，m]上的平均变化率为＝m＋3.令m＋3＝2×3，得m＝3. 10.(12分)为了检测甲、乙两辆车的刹车性能，分别对两辆车进行了测试，甲车从25 m/s到0 m/s花了5 s，乙车从18 m/s到0 m/s花了4 s，试比较两辆车的刹车性能. 解　甲车速度的平均变化率为＝－5(m/s2). 乙车速度的平均变化率为＝－4.5(m/s2)， 平均变化率为负值说明速度在减小，因为刹车后，甲车的速度变化相对较快，所以甲车的刹车性能较好. 11.函数f(x)的图象如图，则函数f(x)在下列区间上平均变化率最大的是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　函数f(x)在区间上的平均变化率为， 由函数图象可得，在区间上，<0，即函数f(x)在区间上的平均变化率小于0； 在区间，，上，>0且Δx相同，由图象可知函数在区间上的Δy最大. 所以函数f(x)在区间上的平均变化率最大. 12.已知函数f(x)＝－x2＋x的图象上一点(－1，－2)及其邻近一点(－1＋Δx，－2＋Δy)，其中Δx>0，则等于(　　) A.3 B.3Δx－(Δx)2 C.3－(Δx)2 D.3－Δx 答案　D 解析　∵Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1) ＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－(－2) ＝3Δx－(Δx)2， ∴＝3－Δx. 13.大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差(一天气温的最高值与最低值之差).如图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.假设除绿化外，其他可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是(　　) A.由图推测，甲地的绿化好于乙地 B.当日6时到12时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 C.当日12时到18时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 D.当日甲地气温在0时到12时的平均变化率大于12时到24时的平均变化率 答案　C 解析　对于A，由图可知，甲地气温日较差明显小于乙地气温日较差， 所以甲地的绿化好于乙地，故A正确； 对于B，由图可知，当日6时到12时，甲、乙两地气温的平均变化率为正数，且乙地气温的变化趋势更大， 所以甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率，故B正确； 对于C，由图可知，当日12时到18时，甲、乙两地气温的平均变化率为负数，且乙地气温的变化趋势更大， 所以甲地气温的平均变化率大于乙地气温的平均变化率，故C错误； 对于D，由图可知，甲地气温在0时到12时的平均变化率为正数，12时到24时的平均变化率为负数，故D正确. 14.(5分)函数f(x)＝x＋sin x在区间[t，2t]上的平均变化率为1，则实数t的最小值为　　　　　.  答案　 解析　由平均变化率的定义可知 ＝＝1， 所以sin 2t＝sin t， 即2sin tcos t＝sin t， 所以sin t＝0或cos t＝， 又因为t<2t，所以t>0， 所以实数t的最小值为. 15.若一射线OP从OA处开始，绕O点匀速逆时针旋转(到OB处为止)，所扫过的图形内部的面积S是时间t的函数，S(t)的图象如图所示，则下列图形中，符合要求的是(　　) 答案　D 解析　因为OP是匀速旋转， 选项A，OP扫过的圆内阴影部分面积在开始时段增速越来越快，中间增速最快，后面时段增速越来越慢，不符合题意； 选项B，OP扫过的圆内阴影部分面积是匀速变化的，不符合题意； 选项C，OP扫过的正方形内阴影部分面积在开始时段增速越来越快，中间增速最快，后面时段增速越来越慢，不符合题意； 选项D， OP扫过的三角形内阴影部分面积在开始时段的增速和最后时段的增速比中间时段快，符合题意. 16.(12分)圆柱形容器，其底面直径为2 m，高度为1 m，盛满液体后以0.01 m3/s的速率放出，求液面高度的平均变化率. 解　设放出液体t秒后的液面高度为y m， 则π·12·y＝π·12×1－0.01t， ∴y＝1－t， 则液面高度的平均变化率为 ＝－(m/s)， 故液面高度的平均变化率为－ m/s. 学科网（北京）股份有限公司 $