第5章 5.2.2 函数的和、差、积、商的导数（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

该高中数学课件聚焦函数和差积商的导数法则，通过回顾上节课基本初等函数导数，提出组合函数求导问题，搭建新旧知识联系的学习支架，引导学生逐步掌握导数四则运算法则。 其亮点在于以定义推导法则培养数学思维，通过课本例题、跟踪训练及方法对比提升推理能力，结合切线问题等应用案例强化数学语言表达。学生能深化法则理解并提升应用能力，教师可借助系统资源高效开展教学。

5.2.2 函数的和、差、积、「 商的导数 >>>第5章导数及其应 学习目标 1.掌握函数的和、差、积、商的求导法则. 2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算 法则求函数的导数， 导语 同学们，上节课我们学习了基本初等函数的导数，它是我们整个导数 的基础，我们还知道，可以对基本初等函数进行加、减、乘、除等多 种形式的组合，组合后的函数，又如何求导？这是我们本节课要解决 的内容 内容索引 一、x)士gx)的导数 二、wgr和得的导数 三、导数四则运算法则的应用 随堂演练 课时对点练 x)±gx)的导数 问题 令y=孔x)+g(x),如何求该函数的导数？ 提示△y=[f(x+△x)+g(x+△x)]-[f(x)+g(x)], 2=(x+△x)+gx+△]-f(x)+g(x】=fx+△)-f()+9(x+△x)-g() △X △X △X △X y'=lim Ay lim △x→0△x△x0 +a2@++g2-9回=/)+g △X 所以(x)+gx)'=fx)+g'(x) 知识梳理 两个函数的和或差的求导法则：(x)±gx)沙=x-g(m) 麦 推广：(fx片fx壮…fx)》'=f(xf'(x)壮…f(x) 例 (课本例2)求下列函数的导数： (1Ax)=x2 sinx 解 f(x)=(x2 sinx)=(x2)+(sinx)'=2x cosx. (2g=3-x2-6r+2. 解 g)=(x3-x2-6x+2=3x2-3x-6 例 求下列函数的导数： (1)y=x-x3+c0sx; 解 y'=(x5)'-(x3)'+(cosx)'=5x4-3x2-sinx. (2)y Igx-e. 解 y=lgr-ey=t。-e xln10 反思感悟 两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数 的和（或差），对每一项再分别利用基本初等函数的求 导公式即可. 跟踪训川练1求下列函数的导数： (1)=+学； 解 f'(x)=x4+4x2. (2)g(x)=Inx +x. 解 g()=1+1. 返回 二 g(m)和②的导数 g(x 1.(x)gx)'=f(x)gx)+ ,特别地，(Cx)'=Cx)(C为常数) fx)g(x) f'(x)g(x)-f(x)g'(x) 2()》= g2(x) (g(x)≠0). 注意 注意两个函数的积和商的导数的结构形式 例 (2 课本例3)求下列函数的导数： (1h(x)=xsin x 解 h'(x)=(xsin x)'=x'sinx x(sinx)'=sinx xcos x. 2)/x)=x2er; 解 fx)=(x2e)'=(x2)'e+x2(e)'=2xe+x2e. 6s0= 解 50=(）=G++L 2t-t-t2-1t2-1 t2 t2 t2 (4)Ax)=tan x. 解 f(x)=(tan x)=( sinx = (sinx)'cosx-sinx(cosx)' cosxcosx-sinx(-sinx) cos2x cos2x cos2x+sin2x 1 二 cos2x cos2x 例 求下列函数的导数： (1y=x2+xlnx 解 y'=(x2+xIn x)'=(x2)'+(xIn x)'=2x+(x)In x+x(In x)' =2x+lnx+xi=2x+lnx+1. (2)y= nx. 解 '=()/-y2n-是 x2-2xnx 1-2lnx x4 x4 x3 解 y'=()/-e''=oe x2 (4)y=(2x2-1)(3x+1) 解 方法-y'=[(2x2-1)3x+1)]'=(2x2-1)'(3x+1)+(2x2-1)3x +1) =4x(3x+1)+(2x2-1)×3=12x2+4x+6x2-3=18x2+4x-3. 方法二.y=(2x2-1)3x+1)=6x3+2x2-3x-1, y'=(6x3+2x2-3x-1)′=(6x3)y+(2x2)′-(3x)′-(1)y=18x2+ 4x-3. 反思感 (1)先区分函数的运算方式，即函数的和、差、积、商， 再根据导数的运算法则求导数， (2)对于多个函数的积、商的导数，依次转化为“两个” 函数的积、商的导数计算 (3)可以推导(x)g(x)h(x)'=fx)gx)h(x)+x)g'(x)h(x) +x)gx)h'(x)，多个函数的积的导数等于每个函数的导 函数与其余函数的积的和. 跟踪训练2求下列函数的导数： (1y=2x3-3x++1. xVx 解 3 1 3 .y=2x2-3x2+x-1+x2, y=3x+x号-x2-x员 1 2 (2y x2+1」 x2+3’ 解 方法-y'=x2+1)'x2+3)-62+1x2+3=2xex2+3)-2x(x2+1) 4x (x2+3)2 (x2+3)2 (x2+3)21 方法三y+=+2-1异写 x2+3 x2+3 -1-异-（子》-2e+型 4x (x2十3)2 (x2+3)2 (3)y=(x+1)x+3)x+5): 解 方法一y'=[c+1)x+3)](x+5)+(x+1)(x+3)x+5) =[x+1)'(x+3)+(c+1)x+3)]x+5)+(x+1)x+3) =(2x+4)x+5)+(x+1)x+3) =3x2+18x+23. 方法二.y=(x+1)x+3)x+5), ∴.y'=(x+1)'x+3)x+5)+(x+1)x+3)(x+5)+(x+1)x+ 3)x+5)' =3x2+18x+23. 返回 三 导数四则运算法则的 应用 例(I)曲线y=xnx上的点到直线x-y-2=0的最短距离是 A.V2 c.1 D.2 解析 设曲线y=xnx在点(xo,yo)处的切线与直线x-y-2=0平行. .'y'=Inx+1,..k=In xo+1=1, 解得xo=1, ∴yo=0,即切点坐标为(1,0). ∴切点(1,0)到直线x-y-2=0的距离为d=1-0-2= 2 V1+1 2 即曲线y=x血x上的点到直线x-y-2=0的最短距离是 (2)过坐标原点作曲线y=(x+2)e的切线，则切点的横垫得彧 -1-V3 解析 由y=(c+2)er可得y'=(x+3)ex, 设切点坐标为(o,yo), 所以切线斜率k=(x,+3)eo, 又因为y0=(x+2)e*0, 则切线方程为y-(x,+2)eo=(x,+3)exo(c-xo), 把(0,0)代入并整理可得x+2-2=0,解得x=-1+V3或x=-1-V3. 反思感悟 (1)熟练掌握导数的运算法则和基本初等函数的求导公式 (2)涉及切，点、切，点处的导数、切线方程等问题时，会根据 题意进行转化，并分清“在点”和“过点”的问题 跟踪练王a尼知函数)-华+名， 曲线y=x)在点A(1,1)处的切 线方程为x+2y-3=0,则a=1,b= 1 解析 b (x+1)2 x2 由于直线x+2y-3=0的斜率为-，且过点(1,1)， f(1)=1, (b=1, ②曲线y=心-1过点0，-2)的切笺万程为2=0或2x+y 解析 设切点为(xo,x好-1)，y'=2x,切线的斜率k=2xo,.切线的方程 为y-(x-1)=2xx-x),:点(0，-2)在切线上，.-2-(x6-1)= 2x(0-xo),解得x0=1或x=-1,则当x=1时，切线方程为2x-y-2 =0,当x0=-1时，切线方程为2x+y+2=0. 课堂小结 1.知识清单： (1)导数的运算法则 (2)导数四则运算法则的应用. 2.方法归纳：公式法、转化法. 3.常见误区：过，点的切线问题，未先判断该点是否为切点 返回 四 随堂演练 1.函数y=x(x2+1)的导数是 A.x2+1 B.3x2 C3r+1 D.3x2+x 解析 .y=x(x2+1)=x3+x, y'=(x3+x)'=(x3)+x'=3x2+1. 1234 2.已知x)=ax3+3x2+2,若f(-1)=4,则a的值是 A号 B c号 喝 解析 .f(x)=3ax2+6x, ∴.f(-1)=3a-6=4, ∴a= 3 1234 3.若函数x)=f(-1)2-2x+3,则f-1)的值为 W-1 B.0 C.1 D.2 解析 因为fx)=-1)x2-2x+3, 所以fx)=f(-1)x-2. 所以f(-1)=f(-1)×(-1)-2, 所以f(-1)=-1. 1234 4.已知函数x)=e·sinx,则曲线y=x)在点(0,0)处的切线方程 是业= X 解析 .A(x)=esinx, .'.f(x)e(sinx cosx),f(0)=1,f0)=0, .曲线y=x)在点(0,0)处的切线方程为y-0=1×(x-0),即 y=x. 1234 返回 五 课时对点练 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 AD B B B C C 3 题号 8 11 12 13 14 15 答案 1 C C C 或-4 4096 答案 12345678910111213141516 9 aw'=(x+)'=nx)+()-=是-克 2y-(g）-'ee =- sinx+cosx (ex)2 er ③y=+6x-子，y=32+ x2+6. (4)=(sinx)'x-sinx(xcosxnxsinx xcosx-nsinx (xn)2 x2n xn+l 答案 123456⑦8910111213141516 10. (1)因为x)=ax2+bx+3(a≠0)，所以fx)=2ax+b, 又fx)=2x-8,所以a=1,b=-8. (2)由(1)可知g(x)=e'sinx+x2-8x+3, 所以g'(x)=esinx+e'cosx+2x-8, 所以g(0)=esin0+ecos0+2×0-8=-7, 又g(0)=3, 所以曲线gx)在x=0处的切线方程为y-3=-7(x-0), 即7x+y-3=0. 答案 12345678910111213141516 16. (I)由)=f(1)r2-x+2nx,求导可得fx)=2f1)x-1+2, 由f(1)=2f1)-1+2,解得f1)=-1,则fx)=-x2-x+2nx. (2g)=)+2++a=nx+a,求导可得g)=是 由y=er+2x得y'=er+2,故y=e+2x在点(0,1)处的切线斜率k=e0+2=3, 所以y=e+2x在点(0,1)处的切线方程为y-1=3x-0),化简可得y=3x+1, 令g)==3,解得x=子，将其代入切线方程y=3x+1可得y=2,即切点坐标为 (任，2，代入g)得g(=n3+a=2, 解得a=2+ln3. 答案 12345678910111213141516 基础巩固 1.(多选)下列运算正确的是 ◇Xa2+bx+c)'=a(x2)y'+b0x)” B.(sinx-2x2)'=(sinx)'-2'(x2) c(- D.(cos x sin x)'=(cos x)'sin x+cos x(sin x)' 答案 ①23456⑦8910111213141516 解析 A项，(ax2+bx+c)'=a(x2)'+b(x)',故正确； B项，(sinx-2x2)'=(sinx)'-2x2)',故错误； C项， (婴)-s,放错误： (x2)2 D项，(cos xsinx)'=(cosx)'sinx+cosx(sinx)',故正确. 答案 ①2345678910111213141516 2.曲线x)=x3-x2+5在x=1处的切线的倾斜角为 Ag 阳 c D 解析 因为fx)=x2-2x,所以k=f(1)=-1,所以曲线在x=1处的切线的倾斜 角为婴 答案 12345678910111213141516 3.设x)=xnx,若fxo)=2,则x等于 A.e2 % c D.In 2 解析 .x)=xlnx,∴.fx)=lnx+1,由f(xo)=2,得lnx。+1=2, 即lnx=1, 解得x。=e. 答案123456⑦8910111213141516 4.若函数x)=ax4+bx2+c满足f(1)=2,则f(-1)等于 A.-1 √/B.-2 C.2 D.0 解析 .f(x)=4ax3+2bx,易知f(x)为奇函数， ∴f-1)=-f1)=-2. 答案123456⑦8910111213141516 5.设x)=x2-2x-4lnx,则fx)>0的解集为 A.(0,+∞) B.(-1,0)U(2,+∞) 2,+∞) D.(-1,0) 解析 )的定义域为(0，+∞)，又由f0m)=2x-2-4=-2x-2)x+0,解得 x>2, 所以fx)>0的解集为(2，+∞) 答案123456⑦8910111213141516 6已知曲线)-在点1,1)处切线的倾斜角为 3元 则实数a等于 A.1 B.-1 D.-7 解析 f)=2x+1-62+@=x2+2x-a (x+1)2 (x+1)2, f)=tan0=-l,∴a=7. 答案12345678910111213141516 7.已知函数f)=x3-mx+3,若f1)=0,则m=· 解析 因为f(x)=3x2-m, 所以f1)=3-m=0,所以m=3. 答案12345678910111213141516 8.已知函数)=f()cosx+sinx,则f()的值为1 解析 .f(x)=-f()sinx+cosx, 用=-假)×兽+竖， 得f(=V2-1. )=(V2-1)cosx+sinx,)=1. 答案123456⑦8910111213141516 9求下列函数的导数： (Dy=x+ 解 y'=(x+'=nx)'+(假)=是-3 答案12345678910111213141516 COSx (2)y= 解 =() (cosx)'ex-cosx(ex)' =- inx+cosx (ex)2 er 3=(+(x-) 解 y=+6x-是，y=3+ 27 2+6. 答案123456⑦8910111213141516 sinx (4)y= xn 解 y(sinx)'x-sinx-(xcosx-nxn-1sinx xcosx-nsinx (xn)2 x2n xn+1 答案123456⑦8910111213141516 10.已知函数尤x)=ax2+bx+3(a≠0)，其导函数f(x)=2x-8. (1)求a,b的值； 解 因为x)=ax2+bx+3(a≠0)， 所以f(x)=2ax+b, 又fx)=2x-8,所以a=1,b=-8. 答案12345678910111213141516 (2)设函数g(x)=e'sinx+x),求曲线g(x)在x=0处的切线方程 解 由(1)可知g(x)=e'sinx+x2-8x+3, 所以g(x)=e'sinx+e*cosx+2x-8, 所以g'(0)=esin0+ecos0+2×0-8=-7, 又g0)=3, 所以曲线g(x)在x=0处的切线方程为 y-3=-7(x-0), 即7x+y-3=0. 答案12345678910111213141516 综合运用 11.设曲线y=x+lnx的一条切线过点(0,1)，则此切线与坐标轴围成的三 角形面积为 e e e2 B. e2 A21+e) D 1+e W2e2+ e2+1 答案 1234567891011213141516 解析 设切点为(xo,yo),y=x+lnx, %=+n0:y'=1+是可得切线方程为y-x0-nx=(（1+x-x, .切线过点(0,1)，∴.1-xo-lnxo=-0-1, .In xo=2,xo=e2, ∴切线方程为y=(1+)x+1,故其在y轴上的截距为1，在x轴上的截距为 、e2 e27 故此切线与坐标轴围成的三角形面积S= e2 2(e2+1) 答案123456⑦8910111213141516 12.过点(2,0)作曲线y=2e的切线，可以作 A.1条 B.2条√ C.3条 D.4条 答案 12345678910111213141516 解析 因为y'=(x2+2x)e,设切点为(xo,xexo),所以曲线y=x2e在点(xo, xeo)处的切线方程为y-xexo=(x6+2x)exox-x).将点(2,0)代入， 得xex0(x-x-4)=0,即xex0=0或x6-x0-4=0,所以x0=0或x6- xo-4=0,因为方程x2-x-4=0有两个不相等的实数根，且不为0，所 以方程xoexo(x子-x0-4)=0共有3个不相等的实数根，即过点(2,0)作 曲线y=x2e的切线，可以作3条. 答案 12345678910111213141516 13.贝塞尔曲线是应用于二维图形应用程序的数学曲线，一般的矢量图形 软件通过它来精确画出曲线.三次函数x)的图象是可由A,B,C, D四点确定的贝塞尔曲线，其中A,D在x)的图象上，x)在点A, D处的切线分别过点B,C.若A(0,0),B(-1,-1),C(2, 2),D(1,0),则x)等于 .5x3 -4x2 -x B.3x3-3x C.3x3-4x2+x D.3x3-2x2-x 答案12345678910111213141516 解析 设fx)=ax3+bx2+cx+da≠0)，则fx)=3ax2+2bx+c, f(0)=d=0, f(1)=a+b+c+d=0, 由题意f'0)=c=18 -1-0 =KAB, f'(1)=3a+2b+c= 2-0=kDc 2-1 a=3, 解得 b=- c=1, 4,所以)=3x3-4r2+x. d=0, 答案 12345678910111213141516 14.已知函数fx)= 层x3-4x,x<0, --lmx,0<x<1, f(a=12,则实数a的值 为域-4· 答案123456⑦8910111213141516 解析 = x2-4,x<0, -0<x<1 0<a<1,（ a<0, 若a=2.厕信日-12或{8-4=12， 解得a=或a=-4. 4 答案 12345678910111213141516 拓广探究 15.在等比数列{an}中，a1=2,ag=4,函数x)=x(x-a1)x- a)…-a)40)=. 答案123456⑦8910111213141516 解析 因为fx)=x'[(c-a1c-a2)(c-as】+[c-a)(-a)( -ag)'x=(x-a)(x-d2)(x-ag)+[(x-a)(x-a)(x as)'x, 所以f0)=(0-a1)0-a2)…(0-ag)+0=aa2ag 因为数列{a}为等比数列， 所以a1ag=a2a,=a,a6=a,a5=8, 所以f0)=84=212=4096. 答案12345678910111213141516 16.已知x)=f(1)x2-x+2lnx. (1)求f(1)并写出x)的表达式； 解 由=/2-x+2nx,求号可得/)=21r-1+号 由f1)=2f(1)-1+2,解得f(1)=-1,则fx)=-x2-x+2lnx. 答案12345678910111213141516 〔2)记gx)=[x)+x2+x+a,若曲线y=e+2x在点(0,1)处的切线也是曲线 g(x)的切线，求a的值 解 g)=)+x2++a=lnx+a,求导可得g)=是， 由y=ex+2x得y'=e+2,故y=er+2x在点(0,1)处的切线斜率k=e0+2=3, 所以y=+2x在点(0,1)处的切线方程为y-1=3(x-0),化简可得y=3x+1, 令g()==3,解得x=,将其代入切线方程y=3x+1可得y=2,即切点坐 标为（任，2），代入g)得g()=ln3+a=2, 解得a=2+ln3. 答案 1234567891011121314151 返回 梦 本课结束 >>>第5章导数及其应