第5章 5.2.2 函数的和、差、积、商的导数（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦函数和、差、积、商的导数法则这一核心知识点，前承基本初等函数导数，通过问题引导推导法则，结合知识梳理、例题解析及跟踪训练，构建从原理到应用的学习支架。 该资料以问题驱动法则推导过程，培养学生数学思维与抽象能力，通过切线问题等应用实例强化模型意识。课中助力教师分层教学，课后课时对点练帮助学生巩固知识、查漏补缺，提升导数运算与应用能力。

5.2.2　函数的和、差、积、商的导数 学习目标　1.掌握函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数. 导语 同学们，上节课我们学习了基本初等函数的导数，它是我们整个导数的基础，我们还知道，可以对基本初等函数进行加、减、乘、除等多种形式的组合，组合后的函数，又如何求导？这是我们本节课要解决的内容. 一、f(x)±g(x)的导数 问题　令y＝f(x)＋g(x)，如何求该函数的导数？ 提示　Δy＝， ＝， y'＝ ＝ ＝f'(x)＋g'(x). 所以(f(x)＋g(x))'＝f'(x)＋g'(x). 知识梳理 两个函数的和或差的求导法则：(f(x)±g(x))'＝f'(x)±g'(x). 注意点： 推广：(f1(x)±f2(x)±…±fn(x))'＝f1'(x)±f2'(x)±…±fn'(x). 例1　(课本例2)求下列函数的导数： (1)f(x)＝x2＋sin x； (2)g(x)＝x3－x2－6x＋2. 解　(1)f'(x)＝(x2＋sin x)'＝(x2)'＋(sin x)'＝2x＋cos x. (2)g'(x)＝'＝3x2－3x－6. 例1　求下列函数的导数： (1)y＝x5－x3＋cos x； (2)y＝lg x－ex. 解　(1)y'＝'－'＋' ＝5x4－3x2－sin x. (2)y'＝(lg x)'－(ex)'＝－ex. 反思感悟　两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，对每一项再分别利用基本初等函数的求导公式即可. 跟踪训练1　求下列函数的导数： (1)f(x)＝x5＋x3； (2)g(x)＝ln x＋x. 解　(1)f'(x)＝x4＋4x2. (2)g'(x)＝＋1. 二、f(x)g(x)和的导数 1.(f(x)g(x))'＝f'(x)g(x)＋f(x)g'(x)，特别地，(Cf(x))'＝Cf'(x)(C为常数). 2.'＝(g(x)≠0). 注意点： 注意两个函数的积和商的导数的结构形式. 例2　(课本例3)求下列函数的导数： (1)h(x)＝xsin x； (2)f(x)＝x2ex； (3)S(t)＝； (4)f(x)＝tan x. 解　(1)h'(x)＝(xsin x)'＝x'sin x＋x(sin x)'＝sin x＋xcos x. (2)f'(x)＝(x2ex)'＝(x2)'ex＋x2(ex)'＝2xex＋x2ex. (3)S'(t)＝'＝. (4)f'(x)＝(tan x)'＝' ＝ ＝ ＝. 例2　求下列函数的导数： (1)y＝x2＋xln x； (2)y＝； (3)y＝； (4)y＝(2x2－1)(3x＋1). 解　(1)y'＝(x2＋xln x)'＝(x2)'＋(xln x)' ＝2x＋(x)'ln x＋x(ln x)' ＝2x＋ln x＋x· ＝2x＋ln x＋1. (2)y'＝'＝ ＝ ＝. (3)y'＝'＝. (4)方法一　y'＝[(2x2－1)(3x＋1)]' ＝(2x2－1)'(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)' ＝4x(3x＋1)＋(2x2－1)×3 ＝12x2＋4x＋6x2－3 ＝18x2＋4x－3. 方法二　∵y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1， ∴y'＝(6x3＋2x2－3x－1)' ＝(6x3)'＋(2x2)'－(3x)'－(1)' ＝18x2＋4x－3. 反思感悟　(1)先区分函数的运算方式，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数. (2)对于多个函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算. (3)可以推导(f(x)g(x)h(x))'＝f'(x)g(x)h(x)＋f(x)g'(x)h(x)＋f(x)g(x)h'(x)，多个函数的积的导数等于每个函数的导函数与其余函数的积的和. 跟踪训练2　求下列函数的导数： (1)y＝； (2)y＝； (3)y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5). 解　(1)∵y＝2－3＋x－1＋， ∴y'＝3－x－2－. (2)方法一　y'＝ ＝. 方法二　∵y＝＝1－， ∴y'＝'＝' ＝ ＝. (3)方法一　y'＝[(x＋1)(x＋3)]'(x＋5)＋(x＋1)·(x＋3)(x＋5)' ＝[(x＋1)'(x＋3)＋(x＋1)(x＋3)'](x＋5)＋(x＋1)(x＋3) ＝(2x＋4)(x＋5)＋(x＋1)(x＋3) ＝3x2＋18x＋23. 方法二　∵y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)， ∴y'＝(x＋1)'(x＋3)(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)'(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)(x＋5)' ＝3x2＋18x＋23. 三、导数四则运算法则的应用 例3　(1)曲线y＝xln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是(　　) A. B. C.1 D.2 答案　B 解析　设曲线y＝xln x在点(x0，y0)处的切线与直线x－y－2＝0平行. ∵y'＝ln x＋1，∴k＝ln x0＋1＝1， 解得x0＝1， ∴y0＝0，即切点坐标为(1，0). ∴切点(1，0)到直线x－y－2＝0的距离为d＝， 即曲线y＝xln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是. (2)过坐标原点作曲线y＝(x＋2)ex的切线，则切点的横坐标为　　　　　　　　.  答案　－1＋或－1－ 解析　由y＝(x＋2)ex可得y'＝(x＋3)ex， 设切点坐标为(x0，y0)， 所以切线斜率k＝(x0＋3)， 又因为y0＝(x0＋2)， 则切线方程为y－(x0＋2)＝(x0＋3)(x－x0)， 把(0，0)代入并整理可得＋2x0－2＝0，解得x0＝－1＋或x0＝－1－. 反思感悟　(1)熟练掌握导数的运算法则和基本初等函数的求导公式. (2)涉及切点、切点处的导数、切线方程等问题时，会根据题意进行转化，并分清“在点”和“过点”的问题. 跟踪训练3　(1)已知函数f(x)＝，曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0，则a＝　　　　，b＝　　　　.  答案　1　1 解析　f'(x)＝. 由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1，1)， 故即解得 (2)曲线y＝x2－1过点(0，－2)的切线方程为　　　　　　　　　　.  答案　2x－y－2＝0或2x＋y＋2＝0 解析　设切点为(x0，－1)，∵y'＝2x，∴切线的斜率k＝2x0，∴切线的方程为y－(－1)＝2x0(x－x0)，∵点(0，－2)在切线上，∴－2－(－1)＝2x0(0－x0)，解得x0＝1或x0＝－1，则当x0＝1时，切线方程为2x－y－2＝0，当x0＝－1时，切线方程为2x＋y＋2＝0. 1.知识清单： (1)导数的运算法则. (2)导数四则运算法则的应用. 2.方法归纳：公式法、转化法. 3.常见误区：过点的切线问题，未先判断该点是否为切点. 1.函数y＝x(x2＋1)的导数是(　　) A.x2＋1 B.3x2 C.3x2＋1 D.3x2＋x 答案　C 解析　∵y＝x(x2＋1)＝x3＋x， ∴y'＝(x3＋x)'＝(x3)'＋x'＝3x2＋1. 2.已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f'(－1)＝4，则a的值是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　∵f'(x)＝3ax2＋6x， ∴f'(－1)＝3a－6＝4， ∴a＝. 3.若函数f(x)＝f'(－1)x2－2x＋3，则f'(－1)的值为(　　) A.－1 B.0 C.1 D.2 答案　A 解析　因为f(x)＝f'(－1)x2－2x＋3， 所以f'(x)＝f'(－1)x－2. 所以f'(－1)＝f'(－1)×(－1)－2， 所以f'(－1)＝－1. 4.已知函数f(x)＝ex·sin x，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程是　　　　　　.  答案　y＝x 解析　∵f(x)＝ex·sin x， ∴f'(x)＝ex(sin x＋cos x)，f'(0)＝1，f(0)＝0， ∴曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y－0＝1×(x－0)，即y＝x. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1.(多选)下列运算正确的是(　　) A.(ax2＋bx＋c)'＝a(x2)'＋b(x)' B.(sin x－2x2)'＝(sin x)'－2'(x2)' C.'＝ D.(cos x·sin x)'＝(cos x)'sin x＋cos x(sin x)' 答案　AD 解析　A项，(ax2＋bx＋c)'＝a(x2)'＋b(x)'，故正确； B项，(sin x－2x2)'＝(sin x)'－2(x2)'，故错误； C项，＝，故错误； D项，(cos x·sin x)'＝(cos x)'sin x＋cos x(sin x)'，故正确. 2.曲线f(x)＝x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　因为f'(x)＝x2－2x，所以k＝f'(1)＝－1，所以曲线在x＝1处的切线的倾斜角为. 3.设f(x)＝xln x，若f'(x0)＝2，则x0等于(　　) A.e2 B.e C. D.ln 2 答案　B 解析　∵f(x)＝xln x，∴f'(x)＝ln x＋1，由f'(x0)＝2，得ln x0＋1＝2，即ln x0＝1， 解得x0＝e. 4.若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f'(1)＝2，则f'(－1)等于(　　) A.－1 B.－2 C.2 D.0 答案　B 解析　∵f'(x)＝4ax3＋2bx，易知f'(x)为奇函数， ∴f'(－1)＝－f'(1)＝－2. 5.设f(x)＝x2－2x－4ln x，则f'(x)>0的解集为(　　) A.(0，＋∞) B.(－1，0)∪(2，＋∞) C.(2，＋∞) D.(－1，0) 答案　C 解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)，又由f'(x)＝2x－2－>0，解得x>2， 所以f'(x)>0的解集为(2，＋∞). 6.已知曲线f(x)＝在点(1，f(1))处切线的倾斜角为，则实数a等于(　　) A.1 B.－1 C.7 D.－7 答案　C 解析　∵f'(x)＝， f'(1)＝tan ＝－1，∴a＝7. 7.(5分)已知函数f(x)＝x3－mx＋3，若f'(1)＝0，则m＝　　　　.  答案　3 解析　因为f'(x)＝3x2－m， 所以f'(1)＝3－m＝0，所以m＝3. 8.(5分)已知函数f(x)＝f'cos x＋sin x，则f 的值为　　　　.  答案　1 解析　∵f'(x)＝－f'sin x＋cos x， ∴f'＝－f'×， 得f'－1. ∴f(x)＝(－1)cos x＋sin x，∴f ＝1. 9.(12分)求下列函数的导数： (1)y＝ln x＋；(3分) (2)y＝；(3分) (3)y＝(x2＋9)；(3分) (4)y＝.(3分) 解　(1)y'＝＝'＋ ＝. (2)y'＝＝ ＝－. (3)y＝x3＋6x－，y'＝3x2＋＋6. (4)y'＝ ＝ ＝. 10.(10分)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f'(x)＝2x－8. (1)求a，b的值；(4分) (2)设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程.(6分) 解　(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)， 所以f'(x)＝2ax＋b， 又f'(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8. (2)由(1)可知g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3， 所以g'(x)＝exsin x＋excos x＋2x－8， 所以g'(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7， 又g(0)＝3， 所以曲线g(x)在x＝0处的切线方程为 y－3＝－7(x－0)， 即7x＋y－3＝0. 11.设曲线y＝x＋ln x的一条切线过点(0，1)，则此切线与坐标轴围成的三角形面积为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　设切点为(x0，y0)，∵y＝x＋ln x， ∴y0＝x0＋ln x0，y'＝1＋，可得切线方程为y－x0－ln x0＝(x－x0)， ∵切线过点(0，1)，∴1－x0－ln x0＝－x0－1， ∴ln x0＝2，x0＝e2， ∴切线方程为y＝x＋1，故其在y轴上的截距为1，在x轴上的截距为－，故此切线与坐标轴围成的三角形面积S＝. 12.过点(2，0)作曲线y＝x2ex的切线，可以作(　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 答案　C 解析　因为y'＝(x2＋2x)ex，设切点为(x0，)，所以曲线y＝x2ex在点(x0，)处的切线方程为y－＝(＋2x0)·(x－x0).将点(2，0)代入，得x0·(－x0－4)＝0，即x0＝0或－x0－4＝0，所以x0＝0或－x0－4＝0，因为方程x2－x－4＝0有两个不相等的实数根，且不为0，所以方程x0·(－x0－4)＝0共有3个不相等的实数根，即过点(2，0)作曲线y＝x2ex的切线，可以作3条. 13.贝塞尔曲线是应用于二维图形应用程序的数学曲线，一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线.三次函数f(x)的图象是可由A，B，C，D四点确定的贝塞尔曲线，其中A，D在f(x)的图象上，f(x)在点A，D处的切线分别过点B，C.若A(0，0)，B(－1，－1)，C(2，2)，D(1，0)，则f(x)等于(　　) A.5x3－4x2－x B.3x3－3x C.3x3－4x2＋x D.3x3－2x2－x 答案　C 解析　设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)， 则f'(x)＝3ax2＋2bx＋c， 由题意 解得所以f(x)＝3x3－4x2＋x. 14.(5分)已知函数f(x)＝若f'(a)＝12，则实数a的值为　　　　.  答案　或－4 解析　f'(x)＝ 若f'(a)＝12，则或 解得a＝或a＝－4. 15.(5分)在等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)，则f'(0)＝　　　　.  答案　4 096 解析　因为f'(x)＝x'·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]'·x＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]'·x， 所以f'(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)＋0＝a1a2·…·a8. 因为数列{an}为等比数列， 所以a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝8， 所以f'(0)＝84＝212＝4 096. 16.(12分)已知f(x)＝f'(1)x2－x＋2ln x. (1)求f'(1)并写出f(x)的表达式；(4分) (2)记g(x)＝[f(x)＋x2＋x]＋a，若曲线y＝ex＋2x在点(0，1)处的切线也是曲线g(x)的切线，求a的值.(8分) 解　(1)由f(x)＝f'(1)x2－x＋2ln x，求导可得f'(x)＝2f'(1)x－1＋， 由f'(1)＝2f'(1)－1＋2，解得f'(1)＝－1，则f(x)＝－x2－x＋2ln x. (2)g(x)＝[f(x)＋x2＋x]＋a＝ln x＋a，求导可得g'(x)＝， 由y＝ex＋2x得y'＝ex＋2，故y＝ex＋2x在点(0，1)处的切线斜率k＝e0＋2＝3， 所以y＝ex＋2x在点(0，1)处的切线方程为y－1＝3(x－0)，化简可得y＝3x＋1， 令g'(x)＝＝3，解得x＝，将其代入切线方程y＝3x＋1可得y＝2，即切点坐标为，代入g(x)得g＝ln ＋a＝2， 解得a＝2＋ln 3. 学科网（北京）股份有限公司 $