第4章 02-4.2.1 等差数列的概念 4.2.2 等差数列的通项公式（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（苏教版）

该高中数学课件聚焦等差数列，系统涵盖概念、通项公式、等差中项及性质应用，通过题组练习搭建学习支架，从基础概念辨析过渡到综合应用，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于精选各地名校模拟题，以数学眼光分析实际问题，如结合函数图象理解数列本质，通过构造法培养推理能力，设置跨学科情境提升应用意识。学生能深化思维，教师可高效开展分层教学。

第4章 数列 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 4.2　等差数列 4.2.1　等差数列的概念 4.2.2　等差数列的通项公式 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　等差数列的概念及其应用 1.[2026浙江绍兴上虞中学月考]已知数列{an}的通项公式是an=n-1(n∈N*),则下列结论中正确的是  ( 　　) A.该数列是公差为-1的等差数列 B.该数列的图象只能在第一象限内 C.该数列是个有穷数列 D.该数列的图象是直线y=x-1上满足x∈N*的点集 D          第1讲　描述运动的基本概念 解析　由an+1-an=1知数列{an}为等差数列,公差为1,故A错误; 因为a1=0,所以数列的图象上有点在x轴上,故B错误; 由通项公式是an=n-1(n∈N*)知,该数列是无穷数列,故C错误; 由通项公式是an=n-1(n∈N*)知,该数列的图象是直线y=x-1上满足x∈N*的点集,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2026湖南长沙雅礼中学期中]若数列{an}是等差数列,则下列数列中一定为等差数列的有 (　　　　) A.{an+3}　　　     B.{ } C.{an+1-an}　　　    D.{2an} ACD          解析　设等差数列{an}的公差为d. 对于A,an+1+3-(an+3)=an+1-an=d,数列{an+3}是以a1+3为首项,d为公差的等差数列,故A符合题意; 对于B, - =(an+1+an)(an+1-an)=d(an+1+an),相邻两项之差不是常数,故B不符合题意; 对于C,(an+2-an+1)-(an+1-an)=0,数列{an+1-an}是以a2-a1=d为首项,0为公差的常数列,故C符合题意; 对于D,2an+1-2an=2d,数列{2an}是以2a1为首项,2d为公差的等差数列,故D符合题意. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025福建福州一中期末]设{an}是无穷数列,An=an+an+1(n∈N*),则“{an}是等差数列”是“{An}是等差 数列”的 （　　 　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件     A     解析　若{an}是等差数列,设其公差为d1,由An=an+an+1,可得An+1-An=(an+1+an+2)-(an+an+1)=an+2-an=2d1,所以{An} 是等差数列,故充分性成立; 若{An}是等差数列,设其公差为d2,则An+1-An=an+1+an+2-(an+an+1)=an+2-an=d2, 即{an}的奇数项成等差数列,偶数项成等差数列,但{an}不一定是等差数列,故必要性不成立. 故“{an}是等差数列”是“{An}是等差数列”的充分不必要条件. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　等差中项 4.[2026江苏南航苏州附中期中]在等差数列-10,-7,-4,-1,…的每相邻两项之间插入一个数,使之组成一个 新的等差数列{an},则a8=（　　 　） A.- 　　　    B. 　　　    C.1　　　    D.      B     解析　等差数列-10,-7,-4,-1,…的公差为3,第5项为2,等差数列{an}的第8项为-1与2的等差中项,即a8=  = . 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2025山东德州第一中学期中]已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则2m-n和2n-m的等差 中项是 （　　 　） A.8　　　    B.6　　　    C.4.5　　　    D.3     D     解析　由已知得m+2n=8,2m+n=10,∴m=4,n=2, ∴2m-n和2n-m的等差中项是 = =3. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2025江苏启东中学期中]设a>0,b>0,若log2a与log2b的等差中项是2,则a+b的最小值为_________.     8     解析　因为log2a与log2b的等差中项是2,所以log2a+log2b=4,即log2(ab)=4,可得ab=16, 又a>0,b>0,所以a+b≥2 =8,当且仅当a=b=4时,等号成立,所以a+b的最小值为8. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　等差数列的通项公式及其应用 7.[2026江苏连云港新海高级中学期中]已知an= 则经过数列{an}图象上所有点的直线方 程为 （　　 　） A.y=x-3　　　    　B.y=x+18 C.y=-3x+18　　　    D.y=-3x+21     D     解析　由an= 可知,{an}是以18为首项,-3为公差的等差数列, 所以an=18-3(n-1),即an=-3n+21, 所以经过数列{an}图象上所有点的直线方程为y=-3x+21. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026江苏苏州月考]已知数列 是等差数列,且a1=1,a2= ,则a10= （　　 　） A.- 　　　    B.  C. 　　　    D.-      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设数列 的公差为d,则 = +(n-1)d, ∵a1=1,a2= , ∴d= - =3-1=2, ∴数列 的通项公式为 =1+2(n-1)=2n-1,∴ =10×2-1=19, ∴a10= . 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026江苏南通海安实验中学期中]已知等差数列{an}的首项a1=-1,且(a3+a4)∶(a6+a7)=2∶5,则a2 025=  （　　 　） A.4 044　　　    B.4 045 C.4 046　　　    D.4 047     D     解析　已知{an}是等差数列,设其公差为d, 则 = = , 又a1=-1,所以 = ,解得d=2, 所以a2 025=a1+2 024d=-1+4 048=4 047. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026江苏镇江实验高级中学期中]已知数列{an}中,a1=3,且an+1=3an+3n+1,则a2 026= （　　 　） A.2 026×32 026　　　    B.2 025×32 025 C.2 026×32 025　　　    D.2 025×32 026     A     解析　已知an+1=3an+3n+1,两边同时除以3n+1,可得 = +1,即 - =1. 又当n=1时, = =1, 所以数列 是以1为首项,1为公差的等差数列, 所以 =1+(n-1)×1=n, 所以an=n·3n, 所以a2 026=2 026×32 026. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026江苏徐州第一中学月考]已知数列{an}满足a1=0,2an+1-an·an+1=1,n∈N*,则a2 026= （　　 　） A. 　　　    B.  C. 　　　    D.      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意可得an≠2,故an+1= ,则1-an+1= , 可得 = +1,即 - =1, 故数列 是首项为 =1,公差为1的等差数列, 则 =n,即an= , 所以a2 026= . 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2026重庆七校联盟期中联考]数列{an}满足a1=5,an=6- (n∈N*,n≥2). (1)求证:数列 是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:∵数列{an}满足an=6- (n∈N*,n≥2), ∴ - = - = - = = , ∴数列 是公差为 的等差数列. (2)由(1)知数列 是公差为 的等差数列,且a1=5, ∴数列 的首项为 = , ∴ = + (n-1)= n+ , ∴an= . 第1讲　描述运动的基本概念 题组四　等差数列的性质及其应用 13.[2025江苏南京雨花台中学期中]已知数列{an},{bn}均为等差数列,a2+b2=7,a8+b10=11,则a5+b6=  (　　　) A.9　　　    B.18　　　    C.16　　　    D.27     A 解析　因为a2+b2=7,a8+b10=11,所以a2+b2+a8+b10=2a5+2b6=7+11=18,所以a5+b6=9. 第1讲　描述运动的基本概念 14.[2026浙江杭州检测]已知数列{an},则“∀m,n∈N*,am+n=am+an”是“数列{an}为等差数列”的　      （　　 　） A.充分不必要条件　　　     B.必要不充分条件 C.充要条件　　　     D.既不充分也不必要条件     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　充分性:已知∀m,n∈N*,am+n=am+an, 令m=1,得an+1=a1+an,即an+1-an=a1,因为a1为常数,所以数列{an}为等差数列,充分性成立; 必要性:已知数列{an}为等差数列,当等差数列{an}的通项公式为an=n+1时,am+n=m+n+1,am+an=m+n+2,此 时am+n≠am+an,必要性不成立. 综上可得,“∀m,n∈N*,am+n=am+an”是“数列{an}为等差数列”的充分不必要条件. 第1讲　描述运动的基本概念 15.[2026山东泰安期中]已知正项等差数列{an}满足a1a4+a2a6+a4a9+a6a8=25,则a5= （　　 　） A.5　　　    B. 　　　    C. 　　　    D.      C     解析　因为a1a4+a2a6+a4a9+a6a8=25, 所以a4(a1+a9)+a6(a2+a8)=25, 又a4+a6=a1+a9=a2+a8=2a5, 所以2a5a4+2a5a6=25,则2a5(a4+a6)=25,则2a5×2a5=25,解得a5= 或a5=- , 又an>0,所以a5= . 第1讲　描述运动的基本概念 16.[2025江苏无锡江阴第二中学阶段检测]古时候人们通过用圭表测量日影长度来确定节气,一年之中 日影最长的一天被定为冬至.从冬至算起,依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清 明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气,其日影长(单位:尺)依次成等差数列,若冬至、立春、春分 时的日影长之和为31.5尺,小寒、雨水、清明时的日影长之和为28.5尺,则大寒、惊蛰、谷雨时的日影 长之和为____________尺.     25.5     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设从冬至起,这十二个节气的日影长(单位:尺)构成等差数列{an},其公差为d, 由题可知  即 解得  所以d=a5-a4=9.5-10.5=-1, 所以a3+a6+a9=3a6=3(a5+d)=3×8.5=25.5,即大寒、惊蛰、谷雨时的日影长之和为25.5尺. 第1讲　描述运动的基本概念 17.[2025福建厦门第一中学期中]已知一次函数f(x)在R上单调递增,且f(2)·f(5)=22,f(1)+f(6)=13,若记an= f(n),则数列{an}的通项公式为_______________.     an=3n-4     解析　由一次函数f(x)在R上单调递增可设f(x)=bx+c,b>0,则an=f(n)=bn+c,b>0, 易得an+1-an=b(n+1)+c-(bn+c)=b,又b>0,所以数列{an}是递增的等差数列,由题意得a2·a5=22,a1+a6=13,则a2+ a5=13, 又a2<a5,所以a2=2,a5=11,所以数列{an}的公差为 =3, 所以数列{an}的通项公式为an=a2+(n-2)×3=3n-4. 第1讲　描述运动的基本概念 18.已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d=8,在{an}中每相邻两项之间插入3项,构成新的等差数列{bn}. (1)若插入的第一组3项之和记为c1,第二组3项之和记为c2,……,c1,c2,…构成数列{cn},判断{cn}是不是等 差数列,若是,求出通项公式,若不是,请说明理由; (2)在(1)的条件下,用an与cn表示bn. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意可知an=2+8(n-1)=8n-6, 设an与an+1之间插入的3项为 , , , 因为an, , , ,an+1为等差数列,所以 = = =8n-2, 则cn= + + =3 =24n-6, 易得cn+1-cn=(24n+18)-(24n-6)=24,且c1=18, 所以数列{cn}是以18为首项,24为公差的等差数列,且cn=24n-6. (2)由题意可知数列{bn}是首项为a1=2,公差为 =2的等差数列,则bn=2+(n-1)×2=2n, 由(1)知an=8n-6,cn=24n-6,所以bn= (cn-an). 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 4.2　等差数列 4.2.1　等差数列的概念 4.2.2　等差数列的通项公式 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　等差数列的判断、通项公式及其应用 1.[2026江苏盐城中学检测]已知首项为1的数列{an}的前n项积是公差为3的等差数列,则a3=（　　 　） A.4　　　    B.3　　　    C. 　　　    D.      C     解析　令bn=a1a2…an, 因为数列{an}的首项为1,且其前n项积是公差为3的等差数列,所以b1=a1=1, 数列{bn}是首项为1,公差为3的等差数列,故bn=b1+(n-1)×3=3n-2, 所以a3= = = = . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江苏南京期中]已知数列{an}是公差不为0的等差数列,a1=12,若数列 也是等差数列,则a3 = （　　 　） A.24　　　    B.20　　　    C.18　　　    D.15     B     解析　设数列{an}的公差为d(d≠0), 因为a1=12,所以an=12+(n-1)d, 因为数列 是等差数列,所以 , , 成等差数列, 则 = + ,化简得d2-4d=d(d-4)=0,所以d=4, 故a3=12+2×4=20. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026天津重点校期中联考]已知等差数列{an}中的各项都为正数,a5=4,则 + 的最小值为 （　　） A. 　　　    B.5　　　    C.5 　　　    D.      D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设等差数列{an}的公差为d, 因为各项都为正数,所以a1=a5-4d=4-4d>0,且d≥0,所以0≤d<1. 因为a5=4,所以a2=a5-3d=4-3d,a7=a5+2d=4+2d, 所以 + = + = +  = [(8-6d)+(12+6d)]  =   ≥   = ,当且仅当 = ,即d=0(点拨:当d=8时,不满足{an}中的项都为正数,故舍去)时,等号成立, 故 + 的最小值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2025江苏苏州阶段检测]已知数列{an}满足a1= , = ,若a1+a1a2+…+a1a2…an≤ 成立,则n的最 大值为 （　　 　） A.7　　　    B.8　　　    C.9　　　    D.10     B     解析　由 = ,得 - =1, 又 =3,所以 是首项为3,公差为1的等差数列, 所以 =3+n-1=n+2,可得an= , 所以a1a2…an= × × ×…× = =2 , 则a1+a1a2+…+a1a2…an=2  - + - +…+ -  =1- ≤ ,解得n≤8,即n的最大值为8. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026江苏苏州常熟期中]已知一个无穷等差数列中有三项:13,31,58,则下列各数中一定是该数列中的 一项的是 （　　 　） A.2 020　　　    B.2 022　　　    C.2 023　　　    D.2 025     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设等差数列的公差为d,31-13=18=md,58-31=27=nd,m,n∈N*, ∴3m=2n, 设3m=2n=6k,k∈N*,则m=2k,d= . 对于A,令2 020=58+t1d=58+ ,所以 =218,满足题意; 对于B,令2 022=58+t2d=58+ ,所以 =218 ,不满足题意; 对于C,令2 023=58+t3d=58+ ,所以 =218 ,不满足题意; 对于D,令2 025=58+t4d=58+ ,所以 =218 ,不满足题意. 第1讲　描述运动的基本概念 6.定义:在数列{an}中,若 - =d(n∈N*,d为常数),则称数列{an}为“等比差数列”.已知{an}为“等比 差数列”,且a1=a2=1,a3=3,则a5=___________, =_____________.     3 363         105     解析　由题意得 - = - =2,则 - =2, 则数列 是首项为 =1,公差为2的等差数列,所以 =1+2(n-1)=2n-1(n∈N*), 所以 =2n+1,则 = · =(2n+1)(2n-1)=4n2-1(n∈N*), 所以 =4×32-1=35,则a5=35a3=35×3=105,且 =4×292-1=3 363. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026江苏南京第二十九中学月考](1)已知数列{an}的各项均为正数,且对任意的正整数n,都有 =  成立,证明:数列{an}是等差数列; (2)设数列a1,a2,…,an,…中的每一项都不为0.对任意n∈N*,都有 + +…+ = .证明:数列{an} 为等差数列. 第1讲　描述运动的基本概念 证明    (1)由 = 可得an+1(an+1-3)=an(an+3), 展开得 -3an+1= +3an,即 - =3an+3an+1, 整理得(an+1+an)(an+1-an-3)=0, 由题意知an>0,则an+1+an>0,可得an+1-an=3,故数列{an}是公差为3的等差数列. (2)当n∈N*时, + +…+ = ①, 当n=1时, = ,此式恒成立, 当n≥2时, + +…+ = ②, 由①-②可得 = - , 由题意知,an≠0,等式两边同时乘a1anan+1,得a1=nan-(n-1)an+1, 第1讲　描述运动的基本概念 即n≥2时,nan-(n-1)an+1-a1=0③, 当n≥3时,(n-1)an-1-(n-2)an-a1=0④, 由③-④可得nan-(n-1)an+1-a1-[(n-1)an-1-(n-2)an-a1]=0, 整理得2(n-1)an-(n-1)an+1-(n-1)an-1=0, 等式两边同时除以(n-1),得2an-an+1-an-1=0,即an+1-an=an-an-1(n≥3), 由n=2时, + = 且an≠0,得a3+a1=2a2,即a3-a2=a2-a1, 根据等差数列的定义,可知数列{an}是等差数列. 方法技巧    用构造法求等差数列的通项公式是很常见的一种思路,常见的构造技巧如下:(1)当数列{an} 满足an+1=kan+b时,常用待定系数法构造成an+1+m=k(an+m)的形式;(2)当递推公式是分式形式时,常采用取 倒数的方法;(3)当数列{an}满足an+1=ban+cn时,常通过等式两边同除以cn+1化为(1)中的形式进行求解. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　等差数列的性质及其应用 8.[2026江苏无锡太湖高级中学学情调研]已知正项等差数列{an}满足 = (n∈N*),则  = （　　 　） A.670　　　    B.675　　　    C.2 025　　　    D.4 050     B     解析　因为数列{an}为正项等差数列, 所以 = = = ,即 = , 因此 = , = ,……, = , 累乘可得 = =675. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2025江苏淮安清河中学阶段检测]已知等差数列{an}的公差不为0,a2 024=0,给定正整数m,使得对任意 的n<m(m>2且n∈N*)都有a1+a2+…+an=a1+a2+…+am-n成立,则m=（　　 　） A.4 047　　　    B.4 046　　　    C.2 024　　　    D.4 048     A     解析　因为公差不为0,且a2 024=0,所以a1+a4 047=0, 若n>m-n,由题意知am-n+1+am-n+2+…+an=0, 由等差数列的性质可得am-n+1+an=0, 所以m-n+1+n=4 048,所以m=4 047. 若n<m-n,则an+1+an+2+…+am-n=0, 由等差数列的性质可得an+1+am-n=0, 所以n+1+m-n=4 048,所以m=4 047. 综上,m=4 047. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2025江苏徐州睢宁高级中学期中]若关于x的方程x2-x+m=0和x2-x+n=0(m,n∈R且m≠n)的四个不相 等的实数根可组成首项为 的等差数列,则数列的公差d=_________,m+n的值为_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    由题意得1-4m>0,1-4n>0,设x2-x+m=0的两个不相等的实数根分别为x1,x2,x2-x+n=0的两个不相等 的实数根分别为x3,x4,则x1+x2=x3+x4=1. 不妨设数列的首项为x1,则根据等差数列的性质,可知数列的第4项为x2. 由题意知x1= ,则x2= ,则数列的公差d= = , 所以数列的中间两项分别为 + = , + = , 易得m=x1·x2= ,n=x3·x4= × = , 所以m+n= + = . 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　等差数列的综合应用 11.[2026江苏南京一中检测]某同学研究某数表时,发现其特点是每行、每列都成等差数列,在表中,数4 1出现的次数为 （　　 　）     A     2 3 4 5 6 … 3 5 7 9 11 … 4 7 10 13 16 … 5 9 13 17 21 … … … … … … … A.8　　　    B.9　　　    C.10　　　    D.11 第1讲　描述运动的基本概念 解析　记第i行第j列的数为Aij(i,j=1,2,…), 由题表可知第j列数组成的数列{Aij}(i,j=1,2,…)是以j+1为首项,j为公差的等差数列, 所以Aij=(j+1)+(i-1)×j=ij+1. 令Aij=ij+1=41,得ij=40, 可得i=1,j=40或i=2,j=20或i=4,j=10或i=5,j=8或i=8,j=5或i=10,j=4或i=20,j=2或i=40,j=1,共8组解,所以数41 出现的次数为8. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2025江苏南通期中]若函数f(x)=x|x-a|-1的3个零点按从小到大的顺序排列成等差数列,则a=　      （　　 　） A.2　　　    B.  C. 　　　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　令f(x)=x|x-a|-1=0,显然x=0不是方程的根,故|x-a|= , 要使f(x)=x|x-a|-1有3个零点,则x>0,a>0, 设f(x)的3个零点分别为x1,x2,x3,且0<x1<x2<x3, 在同一平面直角坐标系中作出y=|x-a|和y= (x>0)的图象,如图:   由图可知, =x-a有一个根x3, =-x+a有2个根x1,x2, 第1讲　描述运动的基本概念 即x2-ax-1=0在(0,+∞)上有一个解x3,x2-ax+1=0在(0,+∞)上有2个解x1,x2, 故x3= ,x1= ,x2= ,易得x1+x3=2x2, 故 +  =2× , 整理可得 =3 ,解得a=± , 又a>0,所以a= . 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2026江苏南京十三中检测]设{an}是公差不为0的无穷等差数列,则“{an}为递增数列”是“存在正 整数N0,当n>N0时,an>0”的 （　　 　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设等差数列{an}的公差为d,则d≠0,记[x]为不超过x的最大整数. 若{an}为递增数列,则d>0, 若a1≥0,则当n≥2时,an>0; 若a1<0,则an=a1+(n-1)d, 由an=a1+(n-1)d>0可得n>1- ,取N0= +1, 则当n>N0时,an>0,所以充分性成立. 若存在正整数N0,当n>N0时,an>0,可取k∈N*且k>N0,则ak>0, 假设d<0,令an=ak+(n-k)d<0,可得n>k- ,且k- >k, 所以当n> +1时,an<0,与题设矛盾,假设不成立,故d>0,即数列{an}是递增数列, 所以必要性成立.综上可得,“{an}是递增数列”是“存在正整数N0,当n>N0时,an>0”的充分必要条件. 第1讲　描述运动的基本概念 14.[2025四川新高考教研联盟联考]几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家 学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题 的答案:已知数列0,2,4,6,8,11,14,17,20,23,27,31,35,39,43,…,其中第1至5项构成公差为2的等差数列,第5 至10项构成公差为3的等差数列,第10至15项构成公差为4的等差数列,依此类推,求满足如下条件的最 小整数N,N>66且该数列的第N项为2的整数幂减1,那么该款软件的激活码是（　　 　） A.87　　　    B.94 C.101　　　    D.108     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设该数列为{an},由题意可知a5=8, a10=a5+5×3=8+5×3, a15=a10+5×4=8+5×3+5×4, a20=a15+5×5=8+5×3+5×4+5×5, …… a5n=8+5×3+5×4+5×5+…+5(n+1)(n≥2,n∈N*), 所以a5n=8+5(3+4+5+…+n+1)= +8, 易知当n=17时,a85=848,此时第85至90项构成公差为19的等差数列, 所以a87=848+19×2=886=210-138,不符合题意; 当n=18时,a90=943,此时第90至95项构成公差为20的等差数列,所以a94=943+20×4=1 023=210-1,符合题意; 第1讲　描述运动的基本概念 当n=20时,a100=1 148,此时第100至105项构成公差为22的等差数列,所以a101=1 148+22=1 170=211-878,不 符合题意; 当n=21时,a105=1 258,此时第105至110项构成公差为23的等差数列, 所以a108=1 258+23×3=1 327=211-721,不符合题意. 故该款软件的激活码是94. 第1讲　描述运动的基本概念 15.[2026上海二中期中]已知某锐角三角形的三个内角的度数成等差数列(公差不为0),则其最大边长与 最小边长的比值的取值范围是_____________.     (1,2)     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设锐角三角形为△ABC,其内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,内角A,B,C的度数按此顺序成等差数 列, 则A+C=2B=π-B,解得B= , 不妨设A为最小角,等差数列A,B,C的公差为d(d>0),则A= -d,C= +d, 所以sin A=sin = cos d- sin d, sin C=sin = cos d+ sin d, 因为A,C为锐角,且A<C, 所以0< -d< +d< ,解得0<d< ,则tan d∈ , 由正弦定理得 = , 第1讲　描述运动的基本概念 则 = = = =  = -1, 因为tan d∈ ,所以 -tan d∈ ,所以 -1∈(1,2), 故最大边长与最小边长的比值的取值范围是(1,2). 第1讲　描述运动的基本概念 16.[2026江苏南京九中期末]1934年,森德拉姆发现了如表所示的“正方形筛子”,又称“森德拉姆 筛”. 4 7 10 13 16 … 7 12 17 22 27 … 10 17 24 31 38 … 13 22 31 40 49 … 16 27 38 49 60 … … … … … … … 第1讲　描述运动的基本概念 (1)求这个“正方形筛子”中的第8行第6列的数a86及第i行第j列的数aij(i,j=1,2,3,…); (2)这个“正方形筛子”的奥妙在于:如果某个自然数n出现在表中,那么2n+1肯定不是质数;如果某个自 然数n没有出现在表中,那么2n+1肯定是质数.证明:如果某个自然数n出现在表中,那么2n+1肯定不是质 数.(质数是指在大于1的自然数中,除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数) 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)根据题表中数据可知,每行,每列的数均成等差数列,且第i(i=1,2,3,…)行的数组成的等差数列 的公差为2i+1,第j(j=1,2,3,…)列的数组成的等差数列的公差为2j+1, 易得第6列的数构成了以4+(6-1)×3=19为首项,13为公差的等差数列,所以a86=19+13×7=110. 第1列的数构成以4为首项,3为公差的等差数列, 所以第i行第1列的第1个数是ai1=4+3(i-1)=3i+1, 所以第i行的第j个数是aij=3i+1+(j-1)(2i+1)=(2i+1)j+i. (2)证明:由(1)知aij=(2i+1)j+i, 若某个自然数n出现在表中,则存在正整数i,j,使得aij=(2i+1)j+i=n, 故2n+1=2(2i+1)j+2i+1=(2i+1)(2j+1),因为i,j为正整数,所以2i+1,2j+1均为大于1的正整数,所以2i+1与2j+1 都是2n+1的正因数,因此2n+1一定不是质数. 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　数列联合其他知识的考查 17.[2026广东广州调研]已知{an}是公差为 的等差数列,记集合A={x|x=sin an,n∈N*}.若A={x1,x2},令x1< x2,则（　　 　） A.x1+x2=- 　　　    B. =-  C. + = 　　　    D. - =      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设a1=θ,依题意,等差数列{an}的通项公式为an=θ+(n-1)· , 则sin a1=sin θ,sin a2=sin , sin a3=sin ,sin a4=sin(θ+2π)=sin θ,……, 所以{sin an}的周期为3. 因为集合A中仅有两个不同的元素,所以sin a1,sin a2,sin a3中必有两项相等, 根据正弦函数的性质可知,相等两项的对应角的终边关于y轴对称, 而等差数列{an}的公差为 ,则有一项的对应角的终边在y轴上, 画出单位圆及符合题意的内接等边三角形,如图1,2所示, 第1讲　描述运动的基本概念        sin =sin = ,sin =-1,sin =1,sin =sin =- , 所以A= 或A= . 因为x1<x2,所以x1=-1,x2= 或x1=- ,x2=1, 当x1=-1,x2= 时,x1+x2=- , =-2, + =1+ = , - =1- = ; 当x1=- ,x2=1时,x1+x2= , =- , + = +1= , - = -1=- . 观察选项,只有 + = 在两种情况下均成立,其他选项不恒成立. 第1讲　描述运动的基本概念 $