3.2.2 第2课时 双曲线几何性质的综合问题(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

该高中数学课件聚焦双曲线几何性质综合问题，涵盖直线与双曲线位置关系、弦长及中点弦等核心知识点。通过典例引入，结合母题探究变条件深化理解，再以规律方法总结构建从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以数学思维为核心，通过分类讨论（如直线与双曲线位置关系中二次项系数及判别式分析）培养逻辑推理，借助点差法解决中点弦问题发展数学抽象。实例丰富且步骤规范，助力学生提升解题能力，也为教师提供层次分明的教学资源，提高教学效率。

3.2.2　双曲线的几何性质 第2课时　双曲线几何性质的综合问题 第三章　圆锥曲线与方程 1 目 录 CONTENTS 典例研析 课时作业 典例研析>> 目录 3 题型一　直线与双曲线的位置关系 已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k（x－1），直线l与双曲线有两 个不同的交点，确定满足条件的实数k的取值范围. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解：联立 消去y得（1－k2）x2＋2k2x－k2－4＝0. 当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝（2k2）2－4（1－k2）·（－k2－4）＝4 （4－3k2）. 由 得－ ＜k＜ 且k≠±1， 故直线l与双曲线有两个不同的交点时，实数k的取值范围为{k｜ ＜k ＜ ，且k≠±1}. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 【母题探究】 　（变条件）在本例其他条件不变的情况下，若直线l与双曲线有且只有 一个公共点，确定满足条件的实数k的取值范围. 解：联立 消去y得（1－k2）x2＋2k2x－k2－4＝0.　（*） 当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝（2k2）2－4（1－k2）·（－k2－4）＝4 （4－3k2）. 由 得k＝± ，此时方程（*）有两个相同的实数解，即 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 直线l与双曲线有且只有一个公共点； 当1－k2＝0，即k＝±1时，直线l与双曲线的渐近线平行，方程（*）化为 2x＝5， 故方程（*）只有一个实数解，即直线l与双曲线有且只有一个公共点. 故当k＝± 或±1时，直线l与双曲线有且只有一个公共点. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 规律方法 　　解决直线与双曲线的交点问题，不仅要考虑将直线方程与双曲线方程 联立消元后得到的方程（如：ax2＋bx＋c＝0）的判别式，更要注意二次 项系数是否为0. （1）若a≠0且Δ＞0，则直线与双曲线相交，有两个公共点； （2）若a≠0且Δ＝0，则直线与双曲线相切，有且只有一个公共点； （3）若a≠0且Δ＜0，则直线与双曲线相离，没有公共点； （4）若a＝0，则直线与双曲线的渐近线平行，只有一个交点； （5）若a＝0且b＝0，则直线为双曲线的渐近线，与双曲线相离，没有公 共点. 注意对直线的斜率是否存在进行讨论. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 1. 已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点，若A，B在 双曲线的同一支上，则a的取值范围是 ⁠ ⁠. 解析：由 消去y得（3－a2）x2－2ax－2＝0.当a≠± 时，Δ＝24－4a2.由Δ＞0得－ ＜a＜ 且a≠± ，此时有两解，直 线与双曲线有两个交点.若A，B在双曲线的同一支上，需x1x2＝ ＞ 0，所以a＜－ 或a＞ ，故当－ ＜a＜－ 或 ＜a＜ 时， A，B在双曲线的同一支上. （－ ，－ ）∪（ ， ） 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 已知双曲线C：2x2－y2＝2与点P（1，2），讨论过点P的直线l的斜率 的情况，使l与双曲线C分别有一个公共点、两个公共点、没有公共点. 解：①当l垂直于x轴时，直线l与双曲线C相切，有一个公共点. ②当l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y－2＝k（x－1）， 代入双曲线C的方程，得（2－k2）x2＋2（k2－2k）x－k2＋4k－6＝0. 当k2＝2，即k＝ 或－ 时，方程有一个解； 当k2≠2时，Δ＝48－32k， 令Δ＝0，可得k＝ ；令Δ＞0，可得k＜ 且k≠± ；令Δ＜0，可得k ＞ . 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 综上所述，当直线l的斜率k∈{ ，－ ， }或直线l的斜率不存在时， 直线l与双曲线C有一个公共点； 当直线l的斜率k∈（－∞，－ ）∪（－ ， ）∪（ ， ）时， 直线l与双曲线C有两个公共点； 当直线l的斜率k∈（ ，＋∞）时，直线l与双曲线C没有公共点. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 题型二　弦长及中点弦问题 已知双曲线的方程是 －y2＝1. （1）直线l的倾斜角为 ，被双曲线截得的弦长为 ，求直线l的方程； 解：设直线l的方程为y＝x＋m， 代入双曲线方程，得3x2＋8mx＋4（m2＋1）＝0， Δ＝（8m）2－4×3×4（m2＋1）＝16（m2－3）＞0，∴m2＞3. 设直线l与双曲线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点， 则x1＋x2＝－ m，x1x2＝ . 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 由弦长公式得AB＝ ｜x1－x2｜ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ， 即m＝±5，满足m2＞3， ∴直线l的方程为y＝x±5. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （2）过点P（3，1）作直线l'，使其被双曲线截得的弦恰被点P平分，求 直线l'的方程. 解：设直线l'与双曲线交于A'（x3，y3），B'（x4，y4）两点，点P（3， 1）为A'B'的中点，则x3＋x4＝6，y3＋y4＝2. 由 －4 ＝4， －4 ＝4， 两式相减得（x3＋x4）（x3－x4）－4（y3＋y4）（y3－y4）＝0， ∴k'＝ ＝ ，∴l'的方程为y－1＝ （x－3），即3x－4y－5＝0. 把此方程代入双曲线方程，整理得5y2－10y＋ ＝0，满足Δ＞0， 即所求直线l'的方程为3x－4y－5＝0. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 规律方法 　　双曲线中有关弦长问题的解决方法与椭圆中类似.解决中点弦问题常 用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 1. 已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0），过点P（3，6）的直线l 与C相交于A，B两点，且AB的中点为N（12，15），则双曲线C的离心 率为（　　） A. 2 B. C. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解析：　设A（x1，y1），B（x2，y2），由AB的中点为N（12，15），则x1＋x2＝24，y1＋y2＝30，由 两式相减得： ＝ ，则 ＝ ＝ ，由 直线AB的斜率k＝ ＝1，∴ ＝1，则 ＝ ，∴双曲线C的离心率e ＝ ＝ ＝ ，故选B. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 斜率为2的直线l在双曲线 － ＝1上截得的弦长为 ，则l的方程 为 ⁠. 解析：设直线l的方程为y＝2x＋m，由 得10x2＋12mx＋3 （m2＋2）＝0（*），设直线l与双曲线交于A（x1，y1），B（x2，y2） 两点，由根与系数的关系，得x1＋x2＝－ ，x1x2＝ .∴AB2＝ （x1－x2）2＋（y1－y2）2＝5（x1－x2）2＝5[（x1＋x2）2－4x1x2]＝5 y＝2x± 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 ［ －4× ］，由AB＝ ，得5［ －4× ］＝ 6，解得m＝± ，由（*）式得Δ＝24m2－240，把m＝± 代入上 式，得Δ＞0，∴m的值为± ，∴所求直线l的方程为y＝2x± . 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 题型三　双曲线几何性质的综合应用 已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为 ， 且过点（3，－1），点M（3 ，m）在双曲线上. （1）求双曲线的方程； 解：因为e＝ ，所以可设双曲线的方程为x2－y2＝λ. 因为过点（3，－1），所以9－1＝λ，即λ＝8， 所以双曲线的方程为x2－y2＝8， 即 － ＝1. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （2）求 · 的值； 解：因为F1（－4，0），F2（4，0）， ＝（－4－3 ，－m）， ＝（4－3 ，－m）， 所以 · ＝（－4－3 ）×（4－3 ）＋m2＝2＋m2， 因为M点在双曲线上，所以18－m2＝8，即m2＝10， 所以 · ＝12. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （3）求△F1MF2的面积. 解：△F1MF2的底边F1F2＝8， 由（2）知m＝± . 所以△F1MF2的高h＝｜m｜＝ ， 所以 ＝4 . 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 规律方法 1. 解决双曲线的几何性质问题可用代数法，也可用几何法，综合应用几何 性质解题可简化运算. 2. 双曲线的几何性质常与平面向量，正、余弦定理，不等式结合. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 　已知F1，F2分别为双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦 点，双曲线的离心率为2，点P在双曲线C的右支上，且PF1的中点N在圆 O：x2＋y2＝c2上，其中c为双曲线的半焦距，则 sin ∠F1PF2＝ ⁠. 　 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解析：如图，由题意可得OF1＝ON＝c，因为O为F1F2 的中点，所以ON＝ PF2，所以PF2＝2c，PF1＝2a＋ 2c，因为双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的离心 率为2，所以c＝2a，故在△F1PF2中，PF1＝6a，PF2＝ F1F2＝4a， sin ∠F1PF2＝ ＝ ＝ . 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 1. 若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16有两个公共点，则实数k的取值范围 为（　　） A. （－2，2） B. [－2，2） C. （－2，2] D. [－2，2] 解析：　易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方 程（4－k2）x2－16＝0，由Δ＞0可得－2＜k＜2. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 已知双曲线的一条渐近线方程为y＝ x，实轴长为4，则双曲线的方 程为（　　） A. － ＝1 B. － ＝1 C. － ＝1或 － ＝1 D. － ＝1或 － ＝1 √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解析：　实轴长2a＝4⇒a＝2，若双曲线焦点在x轴上，则 ＝ ⇒b＝ 2 ⇒双曲线方程为 － ＝1；若双曲线焦点在y轴上，则 ＝ ⇒b＝ ⇒双曲线方程为 － ＝1，故选C. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. 已知双曲线C与椭圆 ＋y2＝1有公共焦点，其渐近线方程为y＝± x. （1）求双曲线C的标准方程； 解：双曲线C与椭圆 ＋y2＝1有公共焦点，其渐近线方程为y＝± x， 设双曲线的方程 － ＝1（a＞0，b＞0）， 由已知得c＝ ， ＝ ，所以a＝ ，b＝1. 所以双曲线方程为 －y2＝1. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （2）若直线y＝x＋m与双曲线C交于A，B两点，且AB＝4 ，求实数 m的值. 解：直线y＝x＋m与双曲线C交于A，B两点，且AB＝4 ， 联立方程组 得x2＋4mx＋2m2＋2＝0， 当Δ＞0时，设A（x1，y1），B（x2，y2）， x1＋x2＝－4m，x1·x2＝2m2＋2. 所以AB＝ ｜x1－x2｜＝ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 ＝ × 令 × ＝4 ， 解得m＝± . 经检验Δ＞0符合题意，所以m＝± . 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 课时作业 >> 目录 32 1. 直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点坐标是（　　） A. （1，2） B. （－2，－1） C. （－1，－2） D. （2，1） 解析：　将y＝x－1代入2x2－y2＝3，得x2＋2x－4＝0，由此可得弦的 中点的横坐标为 ＝ ＝－1，纵坐标为－1－1＝－2，即中点坐标为 （－1，－2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 若双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）与直线y＝2x无交点，则离心率e 的取值范围是（　　） A. （1，2） B. （1，2] C. （1， ） D. （1， ] 解析：　由题意可得， ≤2，∴e2＝ ＝ ≤ ＝5，又e＞ 1，∴1＜e≤ ，故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. 已知F是双曲线C：x2－ ＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴 垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（　　） A. 　　　 B. 　　　 D. 解析：　由c2＝a2＋b2＝4得c＝2，所以F（2，0），将x＝2代入x2－ ＝1，得y＝±3，所以PF＝3.又A的坐标是（1，3），故△APF的面积为 ×3×（2－1）＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 4. “k＝± ”是“直线y＝kx＋1与双曲线 －y2＝1只有一个公共点” 的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解析：　联立方程 整理可得（1－4k2）x2－8kx－8＝0， 当1－4k2＝0，即k＝± 时，方程有一解，即只有一个公共点；当1－ 4k2≠0时，由Δ＝64k2＋32（1－4k2）＝0，解得k＝± .所以直线y＝kx ＋1与双曲线 －y2＝1只有一个公共点时，k＝± 或k＝± .所以“k ＝± ”是“直线y＝kx＋1与双曲线 －y2＝1只有一个公共点”的充分 不必要条件.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 5. 已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，与直线y＝ x交于 A，B两点，若AB＝2 ，则该双曲线的方程为（　　） A. x2－y2＝6 B. x2－y2＝9 C. x2－y2＝16 D. x2－y2＝25 解析：　设等轴双曲线的方程为x2－y2＝a2（a＞0），与y＝ x联立， 得 x2－a2＝0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝0，x1·x2＝－ ，∴AB＝ × a＝2 ，∴a＝3，故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 6. 〔多选〕已知双曲线C： －y2＝λ（λ＜0），则（　　） A. 双曲线C的实轴长为定值 B. 双曲线C的焦点在y轴上 C. 双曲线C的离心率为定值 D. 双曲线C的渐近线方程为y＝± x √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解析：对于A、B，由曲线C： －y2＝λ（λ＜0），整理可得 － ＝1（λ＜0），所以曲线表示焦点在y轴上的双曲线，且a2＝－λ，b2＝－2λ（λ＜0），实轴长不是定值，所以A错误，B正确；对于C，离心率e＝ ＝ ＝ 为定值，C正确；对于D，渐近线的方程为y＝± x＝± x，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 7. 已知双曲线 － ＝1（b＞0）的离心率为2，则它的一个焦点到其中 一条渐近线的距离为 ⁠. 解析：由双曲线方程 － ＝1知，焦点在x轴上，且a＝2，又e＝ ＝ 2，则c＝4，b＝ ＝ ＝2 ，所以双曲线的一条渐近线方 程为y＝ x，即y＝ x.其中一个焦点为F（4，0），则焦点F到渐近线 x－y＝0的距离d＝ ＝2 . 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 8. 已知双曲线E与双曲线 － ＝1共渐近线，且过点A（2 ，－3）. 若双曲线M以双曲线E的实轴为虚轴，虚轴为实轴，则双曲线M的标准方 程为 ⁠. － ＝1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解析：由题意，设双曲线E的方程为 － ＝t（t≠0）.∵点A（2 ， －3）在双曲线E上，∴ － ＝t，解得t＝－ .∴双曲线E 的标准方程为 － ＝1.又双曲线M与双曲线E互为共轭双曲线，∴双曲 线M的标准方程为 － ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 9. 已知双曲线C： － ＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B 两点，若AB＝5，则满足条件的l的条数为 ⁠. 解析：①若A，B都在右支上.当AB垂直于x轴时，AB最短.因为F（3， 0），将x＝3代入 － ＝1得y＝± ，则AB＝5，满足条件；②若A， B分别在两支上.因为a＝2，所以两顶点的距离为2＋2＝4＜5，所以满足 AB＝5的直线有2条，且关于x轴对称.综上满足条件的直线有3条. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 10. 双曲线的两条渐近线的方程为y＝± x，且经过点（3，－2 ）. （1）求双曲线的方程； 解：因为双曲线的两条渐近线方程为y＝± x， 所以可设双曲线的方程为2x2－y2＝λ（λ≠0）. 又因为双曲线经过点（3，－2 ），代入方程可得λ＝6， 所以所求双曲线的方程为 － ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （2）过双曲线的右焦点F且倾斜角为60°的直线交双曲线于A，B两点， 求AB. 解：设A（x1，y1），B（x2，y2）， 过F且倾斜角为60°的直线方程为y＝ （x－3）， 联立 消去y得x2－18x＋33＝0，因为Δ＞0， 由根与系数的关系得x1＋x2＝18，x1x2＝33， 所以AB＝ ·｜x1－x2｜＝ · ＝ 2 ＝16 ，即弦长AB＝16 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 11. （2026·扬州月考）若直线y＝kx与双曲线x2－y2＝1的两支各有一个 交点，则实数k的取值范围是（　　） A. （－1，0） B. （0，1） C. （－1，1） D. （1，＋∞） 解析：　直线y＝kx过原点，且与双曲线x2－y2＝1 的两支各有一个交点，可得直线y＝kx一定在两渐近 线之间，如图.因为双曲线的渐近线方程为y＝±x， 所以k∈（－1，1）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 12. 〔多选〕已知双曲线C： － ＝1过点（3， ），则下列结论正确 的是（　　） A. C的焦距为4 B. C的离心率为 C. C的渐近线方程为y＝± x D. 直线2x－ y－1＝0与C有两个公共点 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解析： 　由双曲线C： － ＝1过点（3， ），可得m＝1，则双 曲线C的标准方程为 －y2＝1.所以a＝ ，b＝1，c＝ ＝2， 因为双曲线C的焦距为2c＝4，所以A正确；因为双曲线C的离心率为 ＝ ＝ ，所以B不正确；因为双曲线C的渐近线方程为y＝± x，所以C 正确；将直线2x－ y－1＝0与双曲线 －y2＝1联立，消去y可得3x2－ 4x＋4＝0，Δ＝（－4）2－4×3×4＝－32＜0，所以直线2x－ y－1＝0 与双曲线C没有公共点，所以D不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 13. 如图，双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴的 两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D. 则： （1）双曲线的离心率e＝ ⁠； 解析：由题意可得a ＝bc， ∴a4－3a2c2＋c4＝0.∴e4－3e2＋1＝0. ∴e2＝ .∴e＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （2）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值 ＝ 　​ 　. 解析：设 sin θ＝ ， cos θ＝ ，则 ＝ ＝ ＝ ＝e2－ ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 14. 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（ ， 0）. （1）求双曲线C的标准方程； 解：设双曲线C的标准方程为 － ＝1（a＞0，b＞0）. 由已知得a＝ ，c＝2，则b2＝c2－a2＝1，故双曲线C的标准方程为 －y2＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （2）若直线l：y＝kx＋ 与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且 · ＞2（其中O为原点），求实数k的取值范围. 解：将y＝kx＋ 与 －y2＝1联立，得（1－3k2）x2－6 kx－9＝0. 由直线l与双曲线C恒有两个不同的交点，得 即 k2≠ 且k2＜1. 设A（xA，yA），B（xB，yB）， 则xA＋xB＝ ，xAxB＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 由 · ＞2，得xAxB＋yAyB＞2， 即xAxB＋yAyB＝xAxB＋（kxA＋ ）·（kxB＋ ）＝（k2＋1）xAxB＋ k（xA＋xB）＋2＝（k2＋1）· ＋ k· ＋2＝ ＞2， ∴ ＞0，解得 ＜k2＜3. 又∵k2＜1，∴ ＜k2＜1，故实数k的取值范围为（－1，－ ）∪（ ， 1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 $