3.2.1双曲线的标准方程(1)学案-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

3.2.1双曲线的标准方程(1) 学习目标 1、掌握双曲线的标准方程及其求法； 2、会利用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题； 3、与椭圆的标准方程进行比较,并加以区分。 任务一 问题情境 情境：用一个平面去截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到两条相交直线；当平面与圆锥面的轴垂直时，截线（平面与圆锥面的交线）是一个圆． 当改变截面与圆锥面的轴的相对位置时，观察截线的变化情况，并思考： 问题1用平面截圆锥面还能得到哪些曲线？ 问题2 圆是动点到定点的距离等于定长的点的轨迹，椭圆是动点到两定点的距离的和等于定长的点的轨迹，那么满足什么条件的动点的轨迹是双曲线？ 任务二 探究1 取一条拉链，打开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在 问题3 笔尖在移动过程中，笔尖到两定点的距离之差有变化吗？ 活动三：知识梳理 1、 双曲线的定义 平面内到两个 F1，F2 的距离之 的 等于常数( |F1F2|)的动点的轨迹叫作双曲线。 其中两个定点F1，F2叫作是双曲线的 ，两个定点叫作双曲线的 ， 焦距的一半，叫作 。 数学表达式：设平面内的动点为P，到到两个定点F1，F2 的距离之差等于常 数2a，焦距|F1F2|的为2c，则有 问题4 在双曲线的定义中，如果这个常数大于或等于2a，动点P的轨迹又如何呢？ 2、关于平面内动点到两个定点的距离之差的绝对值等于常数的结论 (其中||P F1|－|P F2||为定长) (1)当动点P到两个定点F1，F2 的距离|P F1|，|P F2|满足||P F1|－|P F2||＜|F1F2| 时，动点P 的轨迹是以F1，F2 为焦点的 ； (2)当动点P到两个定点F1，F2 的距离|P F1|，|P F2|满足||P F1|－|P F2||＝|F1F2|时，动点P 的轨迹是在直线F1F2上且以F1，F2为端点向外发散的 ； (3)当动点P到两个定点F1，F2 的距离|P F1|，|P F2|满足||P F1|－|P F2||＞|F1F2|时，动点P 的轨迹 。 任务四 探究2 双曲线上的点到两定点的距离之差的绝对值等于场数，那么 问题5 类比椭圆的方程，怎样建立双曲线的方程呢？ 问题6 类比椭圆方程，双曲线标准方程有什么特点？ 任务五 数学运用 例1、动圆M过定圆C外的一点A，且与圆C外切，试探究动圆圆心M的轨迹。 变式：动圆M过定圆C外的一点A，且与圆C相切，则动圆圆心M的轨迹是__________ 练习：一动圆M过定点A(4，0)，且与定圆B：(x＋4)2＋y2＝16相外切，则动圆圆心M的轨迹是___ _ 例2、判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出a、b、c值及焦点坐标和焦距。 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)。 任务六 课堂检测 1、已知双曲线的方程为，则a＝_ __，b＝__ _，c＝__ _，焦点坐标为__ ___，焦距为___ _，已知直线l 经过双曲线左焦点且与双曲线左支交于A、B两点，若|AB|＝12，则△ F2AB的周长为_______ 2、方程为表示的曲线为_______ ，其化简后的方程为____________ 变式：方程为表示的曲线为_______ ， 其化简后的方程为____________ 3、已知双曲线的焦距为6，则m＝______ 学科网（北京）股份有限公司 $$