3.3.1 抛物线的标准方程(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

3.3.1　抛物线的标准方程

如图，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，截取一根绳子的长度等于AC的长度，现将绳子的一端固定在三角板的顶点A处，另一端用图钉固定在F处；用一支粉笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样粉笔就描出了一条曲线.

【问题】　上述画法得到的是一条什么曲线，由画图过程你能给出此曲线的定义吗？

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　           　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　           　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

知识点一　抛物线的定义

平面内到一个定点F和一条定直线l（F不在l上）的　距离相等　的点的轨迹叫作抛物线，定点F叫作抛物线的　焦点　，定直线l叫作抛物线的　准线　.

提醒：定义中要注意强调定点F不在定直线l上.当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线.

知识点二　抛物线标准方程的几种形式

 

提醒：四个标准方程的区分方法：焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定.当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向.

1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）

（1）抛物线的方程都是二次函数.（　×　）

（2）抛物线的焦点到准线的距离是p（p＞0）.（　√　）

（3）平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线.（　×　）

（4）只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物线才具有标准形式.（　√　）

2.抛物线y2＝x的准线方程是（　　）

A.y＝ B.y＝－1

C.x＝－  D.x＝

解析：C　准线方程为x＝－.故选C.

3.对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是（　　）

A.开口向上，焦点为（0，1）

B.开口向上，焦点为（0，）

C.开口向右，焦点为（1，0）

D.开口向右，焦点为（，0）

解析：B　y＝4x2，化为x2＝y，所以开口向上，焦点为（0，）.

题型一　求抛物线的标准方程

　（链接教科书第111页例1、例2）分别求符合下列条件的抛物线的标准方程：

（1）焦点在y轴上，并且焦点到准线的距离等于6；

解：由已知得p＝6且焦点在y轴上，所以抛物线的标准方程是x2＝±12y.

（2）准线方程为x＝；

解：由题意知＝，所以p＝，所以抛物线的标准方程是y2＝－x.

（3）顶点在原点，经过点（－3，－1）.

解：因为点（－3，－1）在第三象限，

所以设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px（p＞0）或x2＝－2py（p＞0）.

若抛物线的标准方程为y2＝－2px（p＞0），

则由（－1）2＝－2p×（－3），解得p＝；

若抛物线的标准方程为x2＝－2py（p＞0），

则由（－3）2＝－2p×（－1），解得p＝.

故所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝－9y.

规律方法

用待定系数法求抛物线标准方程的步骤

提醒：当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx（m≠0）或x2＝ny（n≠0），这样可以减少讨论情况的个数.

顶点在原点，焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为　x2＝－12y或y2＝16x　.