3.3.1抛物线的标准方程小练习-2023-2024学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

3.3.1抛物线的标准方程小练习 一、单项选择题 1. 已知抛物线y＝2px2过点，则抛物线的焦点坐标为(　　) A. B. C. D. 2. 已知点M到点F的距离比它到直线l：x－6＝0的距离小2，则点M的轨迹方程为(　　) A. y2＝16x B. y2＝－16x C. y2＝24x D. y2＝－24x 3. 已知点M在抛物线x2＝4y上，则点M到抛物线焦点的距离为(　　) A. 5 B. 6 C. 4 D. 8 4. 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ的中心的横坐标为3，PQ＝10，则抛物线的方程是(　　) A. y2＝4x B. y2＝2x C. y2＝8x D. y2＝6x 二、多项选择题 5. 经过点P的抛物线的标准方程为(　　) A. y2＝x B. x2＝8y C. x2＝－8y D. y2＝－8x 6. 已知P是抛物线C：y2＝4x上一动点，则下列说法中正确的是(　　) A. 抛物线C的焦点坐标为 B. 抛物线C的准线方程为x＋1＝0 C. D. 的最小值为 三、填空题 7. 已知双曲线(mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn＝________． 8. 与圆(x－2)2＋y2＝1外切，且与直线x＋1＝0相切的动圆的圆心的轨迹方程是_____________． 四、解答题 9. 已知抛物线的焦点在x轴上，且抛物线上一点A到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程． 10. 已知离心率为的双曲线C：(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线D：(p>0)的准线分别交于A，B两点，且三角形OAB的面积为(O为坐标原点)．(1) 求双曲线C的渐近线方程； (2) 求实数p的值． 参考答案 一、单项选择题 1. 已知抛物线y＝2px2过点，则抛物线的焦点坐标为(　　) A. B. C. D. 【解析】由抛物线y＝2px2过点，可得p＝2，所以抛物线的标准方程为x2＝y，则焦点坐标为. 故选C. 2. 已知点M到点F的距离比它到直线l：x－6＝0的距离小2，则点M的轨迹方程为(　　) A. y2＝16x B. y2＝－16x C. y2＝24x D. y2＝－24x 【解析】因为点M到点F的距离比它到直线l：x－6＝0的距离小2，所以点M到直线x＝4的距离和它到点(－4，0)的距离相等．根据抛物线的定义，得点M的轨迹是以 为焦点，以直线x＝4为准线的抛物线．设抛物线的方程为y2＝－2px(p＞0)，由，得p＝8，所以其方程为y2＝－16x. 故选B. 3. 已知点M在抛物线x2＝4y上，则点M到抛物线焦点的距离为(　　) A. 5 B. 6 C. 4 D. 8 【解析】将点M)代入x2＝4y，得t＝4，所以点M．由题意，得抛物线x2＝4y的准线方程y＝－1，则点M到焦点的距离等于点M到准线的距离为5. 故选A. 4. 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ的中心的横坐标为3，PQ＝10，则抛物线的方程是(　　) A. y2＝4x B. y2＝2x C. y2＝8x D. y2＝6x 【解析】设点P，Q，则由线段PQ中点的横坐标为3，得＝6，则焦点弦长PQ＝＋p＝6＋p＝10，解得p＝4，故抛物线方程是y2＝8x. 故选C. 二、多项选择题 5. 经过点P的抛物线的标准方程为(　　) A. y2＝x B. x2＝8y C. x2＝－8y D. y2＝－8x 【解析】若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)．又因为抛物线经过点P，所以，解得p＝，所以抛物线的方程为y2＝x；若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为x2＝2py(p<0)．又因为抛物线经过点P，所以，解得p＝－4，所以抛物线的方程为x2＝－8y. 故选AC. 6. 已知P是抛物线C：y2＝4x上一动点，则下列说法中正确的是(　　) A. 抛物线C的焦点坐标为 B. 抛物线C的准线方程为x＋1＝0 C. D. 的最小值为 【解析】抛物线C：y2＝4x的焦点坐标为，准线方程为x＋1＝0，故A错误，B正确；根据抛物线的定义可得点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，即，故C正确；因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为，故D正确．故选BCD. 三、填空题 7. 已知双曲线(mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn＝________． 【解析】由题意，得抛物线的焦点为，则m＋n＝1.又因为双曲线的离心率是2，所以，所以m＝，n＝，所以mn＝. 故答案为：. 8. 与圆(x－2)2＋y2＝1外切，且与直线x＋1＝0相切的动圆的圆心的轨