3.2.1 第2课时 双曲线的定义与标准方程的应用(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

第2课时　双曲线的定义与标准方程的应用

题型一　直线与双曲线的公共点问题

（链接教科书第99页例4）判断直线l：y＝x＋1与双曲线C：x2－y2＝1是否有公共点.如果有，求出公共点的坐标.

解：联立直线与双曲线的方程，可得方程组消去y，可得x2－（x＋1）2＝1，由此可解得x＝－1.此时，y＝0.因此直线与双曲线有一个公共点，且公共点的坐标为（－1，0）.

规律方法

　　判断直线与双曲线的位置关系或求直线与双曲线交点时可采用代数法，将直线方程和双曲线方程联立求解，一解时一个公共点；两解时两个公共点；无解时没有公共点.

已知直线l：y＝2x－8，双曲线C：－y2＝1，则（　　）

A.直线l与双曲线C有且只有一个公共点

B.直线l与双曲线C的左支有两个公共点

C.直线l与双曲线C的右支有两个公共点

D.直线l与双曲线C的左、右两支各有一个公共点

解析：C　联立直线l与双曲线C的方程得解得或所以直线l与双曲线C的右支有两个公共点.故选C.

题型二　双曲线定义的应用

角度1　焦点三角形问题

（链接教科书第101页习题10题）已知F1，F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且PF1·PF2＝32.则△F1PF2的面积为　16　.

解析：由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.因为P是双曲线左支上的点，所以PF2－PF1＝6，两边平方得P＋P－2PF1·PF2＝36，所以P＋P＝36＋2PF1·PF2＝36＋2×32＝100.在△F1PF2

中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝＝0，所以∠F1PF2＝90°，所以＝PF1·PF2＝×32＝16.

【母题探究】

1.（变条件，变设问）若将本例条件“PF1·PF2＝32”改成“PF1∶PF2＝1∶3”，其他条件不变，试求△F1PF2的周长.

解：由题意知F1F2＝2＝10，又PF1∶PF2＝1∶3，∴PF1＝3，PF2＝9，故△F1PF2的周长为3＋9＋10＝22.

2.（变条件）若将本例条件“PF1·PF2＝32”改为“∠F1PF2＝60°”，其他条件不变，试求△F1PF2的面积.

解：由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.

由定义和余弦定理得PF1－PF2＝－6，

F1＝P＋P－2PF1·PF2cos 60°，

∴102＝（PF1－PF2）2＋PF1·PF2，

∴PF1·PF2＝64，∴＝PF1·PF2·sin∠F1PF2＝×64×＝16.

规律方法

　　在解与焦点三角形（△PF1F2）有关的问题时，一般地，可由双曲线的定义，得PF1，PF2的关系式，或利用正弦定理、余弦定理，得PF1，PF2的关系式，从而求出PF1，PF2.但是，一般我们不直接求解出PF1，PF2，而是根据需要，把PF1＋PF2，PF1－PF2，PF1·PF2看作一个整体来处理.

角度2　与定义有关的最值问题

已知A（－4，0），B是圆（x－1）2＋（y－4）2＝1上的点，点P在双曲线－＝1的右支上，则PA＋PB的最小值为（　　）

A.9 B.2＋6

C.10  D.12

解析：C　设点C（1，4），点B在圆上，则PB≥PC－r＝PC－1，由点P在双曲线右支上，点A为双曲线左焦点，设A'为双曲线右焦点，所以由双曲线定义知PA＝PA'＋2a＝PA'＋6，所以PA＋PB＝PA'＋PB＋6≥PA'＋PC＋6－1≥A'C＋5＝5＋5＝10.

规律方法

　　求解与双曲线有关的长度和最值问题，都可以通过相应的双曲线的定义去解决.

1.已知双曲线x2－y2＝1，F1，F2分别为其左、右焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则PF1＋PF2＝　2　.

解析：不妨设点P在双曲线的右支上，因为PF1⊥PF2，所以F1＝P＋P＝（2）2，又PF1－PF2＝2，所以（PF1－PF2）2＝4，可得2PF1·PF2＝4，则（PF1＋PF2）2＝P＋P＋2PF1·PF2＝12，所以PF1＋PF2＝2.

2.已知定点A（3，1），F是双曲线－＝1的右焦点，P是双曲线右支上的动点，则PA＋PF的最小值为　5－4　.

解析：设F1是双曲线的左焦点，根据双曲线的定义及P是双曲线右支上的动点可得PF1－PF＝2a，所以PF＝PF1－2a，所以PA＋PF＝PA＋PF1－2a＝PA＋PF1－4，结合图形可得PA＋PF1≥AF1＝＝5，当且仅当P，A，F1三点共线时取得等号，即图形中点P在P'处取得最小值，所以PA＋PF1－4≥5－4，所以PA＋PF的最小值为5－4.

题型三　双曲线的实际应用