3.2.1 双曲线的标准方程（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（苏教版2019）

　　平面内到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫作 双曲线,两个定点F1,F2叫作双曲线的焦点,两个焦点间的距离叫作双曲线的焦距. 3.2 双曲线 3.2.1 双曲线的标准方程 知识点 1 双曲线的定义 必备知识 清单破 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 知识点 2 双曲线的标准方程 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形     标准 方程  - =1(a>0,b>0)  - =1(a>0,b>0) 焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) a,b,c的关系 c2=a2+b2 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 知识拓展 1.若动点M与定点F(c,0)之间的距离和它到定直线l:x= 的距离之比是常数 (c>a>0),则动点 M的轨迹叫作双曲线,定点为双曲线的一个焦点. 2.已知定点A(-a,0),B(a,0),若直线AM、BM相交于点M,且它们的斜率之积为 ,则点M的轨迹 是双曲线(不包含点A、B). 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析 1.平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹一定是双曲线吗? 2.已知两定点F1(-c,0),F2(c,0),若动点P满足PF1-PF2=2a(2a<F1F2),则动点P的轨迹是什么? 3.双曲线和椭圆的标准方程中,a,b,c的关系相同吗? 4.方程 - =1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线,对吗? 5.给定一个方程Ax2+By2=1(A,B≠0),它一定表示双曲线吗? 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 一语破的 1.不一定.若常数为小于两定点之间的距离的正数,则轨迹是双曲线;若常数等于两定点之间 的距离,则轨迹是分别以两定点为端点的两条射线;若常数大于两定点之间的距离,则动点轨 迹不存在. 2.若2a<0,则动点P的轨迹为以F1,F2为焦点的双曲线的左支;若2a=0,则动点P的轨迹为以F1,F2 为端点的线段的垂直平分线;若2a>0,则动点P的轨迹为以F1,F2为焦点的双曲线的右支. 3.不相同.双曲线的标准方程中,c2=a2+b2,a>0,b>0,a与b的大小关系不确定;椭圆的标准方程中, a2=b2+c2,其中a>b>0. 4.不对.若m>0,n>0,则方程表示焦点在x轴上的双曲线;若m<0,n<0,则方程表示焦点在y轴上的 双曲线. 5.不一定.当AB<0时表示双曲线;当A>0,B>0,且A≠B时表示椭圆;当A=B>0时表示圆. 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 定点 1 双曲线标准方程的求解 关键能力 定点破 1.求双曲线标准方程的步骤 (1)定位:即确定焦点的位置,若焦点位置不明确,需要分情况讨论; (2)定量:即确定a2,b2的值,常由条件列方程或方程组求解. 2.求双曲线标准方程的两种方法 (1)定义法:根据定义得出距离之差的等量关系式,求出a的值,由定点坐标确定c的值和焦点位 置,通过b2=c2-a2,求得b2,写出标准方程. (2)待定系数法:先设出标准方程,再根据条件求出待定系数,代入方程即可. 　　若焦点在x轴上,则其方程可设为 - =1(a>0,b>0); 若焦点在y轴上,则其方程可设为 - =1(a>0,b>0); 若焦点的位置不确定,则方程可设为mx2-ny2=1(mn>0)或mx2+ny2=1(mn<0). 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念   1.双曲线上的点P与两焦点F1,F2构成的△PF1F2叫作焦点三角形.解决与焦点三角形有关的问 题可以根据定义,结合正、余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算,在运算 中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用. 2.解决有关焦点三角形问题的常用结论 　　令PF1=r1,PF2=r2,∠F1PF2=θ,F1F2=2c,则 ①定义:|r1-r2|=2a. ②余弦公式:4c2= + -2r1r2cos θ. ③面积公式: = r1r2sin θ= =c|yP|. ④△PF1F2的内切圆圆心的横坐标恒为定值a或-a. 定点 2 双曲线的焦点三角形问题 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 ⑤设∠PF1F2=α,∠F1F2P=β,则 = =e(e为双曲线的离心率,下一节会讲). 3.设A,B是双曲线 - =1(a>0,b>0)的实轴两端点,P是双曲线上的一点,∠BPA=θ,则有 S△ABP=  . 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例 设F1,F2分别为双曲线 - =1的左、右焦点,P为双曲线上一点,且∠F1PF2=120°,则 △F1PF2的面积为　　　    . 解析    由题意可得a=5,b=3,c= ,则|PF1-PF2|=10,F1(- ,0),F2( ,0),故F1 =136, 由余弦定理可得F1 =P +P -2PF1·PF2cos 120°=(PF1-PF2)2+3PF1·PF2=100+3PF1·PF2=136, ∴PF1·PF2=12,∴△F1PF2的面积S= PF1·PF2·sin 120°= ×12× =3 . 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念   1.直线与双曲线的位置关系的判定方法 　　一般地,设直线l:y=kx+m(k≠0)①,双曲线C: - =1(a>0,b>0)②.把①代入②,消去y并整 理得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0. (1)当b2-a2k2=0,即k=± 时,直线与双曲线C相交于一点. (2)当b2-a2k2≠0,即k≠± 时,Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2),则 Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点; Δ=0⇒直线与双曲线有一个公共点; Δ<0⇒直线与双曲线没有公共点. 定点 3 直线与双曲线的位置关系 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 　　斜率为k的直线l与双曲线相交于A(x1,y1),B(x2,y2),则AB= ·|x1-x2|= ·|y1-y2|(k≠0). 3.用“点差法”可以解决弦中点和弦所在直线斜率的关系问题,方法与椭圆一样,但结果需要 检验. 2.弦长公式 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 典例 已知双曲线C的焦点在y轴上,焦距为2 ,且过点A(5, ). (1)求双曲线C的标准方程; (2)若斜率为2的直线l与C交于P,Q两点,且 · =- (O为坐标原点),求PQ的长. 思路点拨    (1)根据焦距可求得c及焦点坐标,由双曲线的定义可求得a,从而可得标准方程. (2)设直线l的方程为y=2x+m,P(x1,y1),Q(x2,y2),联立直线方程与双曲线方程,结合根与系数的关系 及 · =- 可求得参数m,再根据弦长公式即可求得PQ的长. 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由已知可设双曲线的标准方程为 - =1(a>0,b>0),由题可知c= ,则焦点坐标为 (0, ),(0,- ), 根据双曲线的定义可知 - =2=2a,解得a=1. ∴b2=c2-a2=6-1=5, 故双曲线C的标准方程为y2- =1. (2)设直线l:y=2x+m,P(x1,y1),Q(x2,y2), 联立 消去y,可得19x2+20mx+5m2-5=0,Δ=400m2-4×19×(5m2-5)>0,解得m∈R, 则x1+x2=- ,x1x2= , 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 ∴y1y2=(2x1+m)(2x2+m)=4x1x2+2m(x1+x2)+m2=- . ∵ · =- ,∴x1x2+y1y2= =- ,解得m=±1, 因此PQ= |x1-x2|= × = . 第3章 圆锥曲线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 $$