2.3 圆与圆的位置关系(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

该高中数学课件聚焦“圆与圆的位置关系”，系统讲解外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系及几何法、代数法判定，通过日食现象抽象为圆的情境导入，衔接圆的方程等前置知识，搭建直观到抽象的学习支架。 其亮点在于以日食情境培养数学眼光，对比几何法与代数法发展数学思维，典例研析中一题多解（如两圆相交求圆方程的两种方法）提升数学运算与逻辑推理。自我诊断和跟踪训练助学生巩固，教师可借助系统内容高效教学。

2.3　圆与圆的位置关系 第二章　圆与方程 1 课标要求 1.能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系（直观想象）. 2.能用圆和圆的方程解决一些简单的问题，体会用代数方法处理几何问题的思想（数学运算、逻辑推理）. 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 4 日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日.日食只在月球与 太阳呈现合的状态时发生.日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食.我 们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎 样的？ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 【问题】　如图1为某次拍到的日环食全过程，可以用两个圆来表示变化 过程. 图1 　　根据图2，结合平面几何，思考圆与圆的位置关系有几种？ 图2 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 知识点　圆与圆的位置关系 1. 位置关系：圆与圆的位置关系有五种，分别为 、 ⁠ 、 、 、 ⁠. 外离　 外 切　 相交　 内切　 内含　 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （1）几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆 的位置关系如下： 位置关系 公共点个数 圆心距与半径的关系 图示 两圆外离 0 d＞ ⁠ 两圆内含 d＜ ⁠ r1＋r2　 ｜r1－r2｜　 2. 判定方法 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 位置关系 公共点个数 圆心距与半径的关系 图示 两圆相交 2 ｜r1－r2｜＜d＜r1＋r2 两圆内切 1 d＝ ⁠ 两圆外切 d＝ ⁠ ｜r1－r2｜　 r1＋r2　 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （2）代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0（ ＋ －4F1＞0）， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0（ ＋ －4F2＞0）， 联立方程组 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 方程组无解 方程组仅有一组解 方程组有两组不同的解 两个圆 ⁠公 共点 两个圆有且只有 ⁠公共点 两个圆有 ⁠公 共点 外离 内含 外切 内切 相交 提醒：判断两圆的位置关系时，应优先使用几何法，因为利用代数法判断 两圆位置关系时，若方程组无解或有一组解时，无法准确判断两圆的位置 关系. 没有　 一个　 两个　 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 【想一想】 1. 当两圆的方程组成的方程组无解时，两圆是否一定外离？ 提示：不一定，还可能内含. 2. 在外离、外切、相交、内切和内含的位置关系下，两圆的公切线条数分 别为多少？ 提示：外离有四条公切线、外切有三条公切线、相交有两条公切线、内切 有一条公切线、内含无公切线. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切. （　×　） （2）如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交. （　×　） （3）从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦 所在的直线方程. （　×　） × × × 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 圆（x＋2）2＋y2＝4与圆（x－2）2＋（y－1）2＝9的位置关系为 （　　） A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离 解析：两圆的圆心分别为（－2，0），（2，1），半径分别为r＝2，R＝3，两圆的圆心距离为 ＝ ，则R－r＜ ＜R＋r，所以两圆相交. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. 圆C1：（x＋2）2＋（y－m）2＝9与圆C2：（x－m）2＋（y＋1）2＝ 4外切，则m的值为（　　） A. 2 B. －5 C. 2或－5 D. 不确定 解析：　圆C1：（x＋2）2＋（y－m）2＝9的圆心为（－2，m），半径 长为3，圆C2：（x－m）2＋（y＋1）2＝4的圆心为（m，－1），半径长 为2.依题意有 ＝3＋2，即m2＋3m－10＝0， 解得m＝2或m＝－5. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 4. 已知两圆x2＋y2＝10和（x－1）2＋（y－3）2＝20相交于A，B两点， 则直线AB的方程是 ⁠. 解析：圆的方程（x－1）2＋（y－3）2＝20可化为x2＋y2－2x－6y＝10. 又x2＋y2＝10，两式相减得2x＋6y＝0，即x＋3y＝0. x＋3y＝0 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 典例研析>> 目录 17 题型一　圆与圆位置关系的判断 角度1　两圆位置关系的判断 （链接教科书第68页例1）（1）圆C1：（x＋2）2＋（y－2）2＝1和 圆C2：（x－2）2＋（y－5）2＝9的位置关系是（　A　） A. 外离 B. 相交 C. 内切 D. 外切 解析：由题意得圆C1的圆心为C1（－2，2），半径r1＝1，圆C2的圆心为 C2（2，5），半径r2＝3，圆心距C1C2＝ ＝ 5＞1＋3＝r1＋r2，所以两圆外离. A 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （2）两圆C1：x2＋（y－3）2＝4与C2：（x－4）2＋y2＝9的公切线有 （　C　） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 解析：由圆C1：x2＋（y－3）2＝4，圆C2：（x－4）2＋y2＝9，可得圆心 C1（0，3），r1＝2；圆心C2（4，0），r2＝3，所以C1C2＝ ＝5＝r1＋r2，故两圆外切，共有3条公切线，故 选C. C 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 规律方法 判断两圆位置关系的方法 （1）几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之 和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使 用的方法； （2）代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解 的个数判断两圆位置关系. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 角度2　已知两圆位置关系求参数 已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0（a＞0），圆C2：x2＋y2 －4ax－2y＋4a2＝0（a＞0）.试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系 为： （1）相切；（2）相交；（3）外离；（4）内含. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （1）当C1C2＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切； 当C1C2＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切. （2）当3＜C1C2＜5，即3＜a＜5时，两圆相交. （3）当C1C2＞5，即a＞5时，两圆外离. （4）当C1C2＜3，即0＜a＜3时，两圆内含. 解：圆C1，C2的方程，经配方后可得 C1：（x－a）2＋（y－1）2＝16， C2：（x－2a）2＋（y－1）2＝1， ∴圆心C1（a，1），C2（2a，1），半径r1＝4，r2＝1. ∴C1C2＝ ＝a. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 规律方法 　　根据圆与圆的位置关系得出圆心距和半径的关系列出关系式，求出参 数的值或取值范围，注意相切和相离均包括两种情况. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 1. 已知两圆分别为圆C1：x2＋y2＝81和圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0， 这两圆的位置关系是（　　） A. 相离 B. 相交 C. 内切 D. 外切 解析：圆C1的圆心为C1（0，0），半径长r1＝9；圆C2的方程化为标准形式为（x－3）2＋（y－4）2＝42，圆心为C2（3，4），半径长r2＝4，所以C1C2＝ ＝5.因为r1－r2＝5，所以C1C2＝r1－ r2，所以圆C1和圆C2内切. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. （2026·苏州月考）若圆x2＋y2＝r2与x2＋y2＋2x－4y＋4＝0有公共 点，则r的取值范围是 .　 解析：由x2＋y2＋2x－4y＋4＝0得（x＋1）2＋（y－2）2＝1，两圆圆心 之间的距离为 ＝ .因为两圆有公共点，所以｜r－1｜ ≤ ≤r＋1，所以 －1≤r≤ ＋1. [－1， ＋1]　 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 题型二　两圆相切问题 （链接教科书第69页例2）已知以C（4，－3）为圆心的圆与圆O：x2 ＋y2＝1相切，求圆C的方程. 解：设圆C的半径为r，因为圆心距d＝ ＝ 5， 所以当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，r＝4，当圆C与圆O内切时，r－1 ＝5，r＝6， 所以圆C的方程为（x－4）2＋（y＋3）2＝16或（x－4）2＋（y＋3）2 ＝36. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 规律方法 处理两圆相切问题的两个步骤 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 若圆C1：（x－1）2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－8x＋8y＋m＝0相切，则m ＝（　　） A. 16 B. 7 C. －4或16 D. 7或16 √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解析：　圆C1：（x－1）2＋y2＝1的圆心坐标为（1，0），半径为1；将 圆C2：x2＋y2－8x＋8y＋m＝0化为（x－4）2＋（y＋4）2＝32－m，则 圆C2是以（4，－4）为圆心， 为半径的圆.由题意，两个圆内切 时，两圆的圆心距等于半径之差的绝对值，可得5＝｜ －1｜，解 得m＝－4；两个圆外切时，两圆的圆心距等于半径之和，可得5＝ ＋1，解得m＝16.综上，m的值为－4或16. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 题型三　两圆相交问题 〔一题多解〕（链接教科书第70页练习5题）已知圆C1：x2＋y2＋6x －4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0. （1）求两圆公共弦所在直线的方程及弦长； 解：设两圆交点为A（x1，y1），B（x2，y2）， 则A，B两点坐标是方程组 的解. ①－②，得x－y＋4＝0. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 ∵A，B两点的坐标都满足此方程， ∴x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程. 又圆C1的圆心（－3，0），r＝ ， ∴C1到直线AB的距离d＝ ＝ ， ∴AB＝2 ＝2 ＝5 ，即两圆的公共弦长为5 . 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （2）求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程. 解：法一　解方程组 得两圆的交点A（－1，3），B（－6，－2）. 设所求圆的圆心为（a，b），因为圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4. 则 ＝ ， 解得a＝ ，故圆心为（ ，－ ），半径为 . 故圆的方程为（ x－ ）2＋（ y＋ ）2＝ ， 即x2＋y2－x＋7y－32＝0. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 法二　设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ（x2＋y2＋6y－28）＝0（λ≠ －1），其圆心为（ － ，－ ），代入x－y－4＝0， 解得λ＝－7. 故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 规律方法 处理两圆相交的有关问题的方法 　　设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋ F2＝0相交， （1）公共弦所在直线方程的求法：将两圆方程相减，即得公共弦所在的 直线方程为（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0； （2）公共弦长的求法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求 出弦长； 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距 构成的直角三角形，根据勾股定理求解. （3）过两圆交点的圆系方程的设法：过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2 ＋D1x＋E1y＋F1＋λ（x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0（λ≠－1）. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在的直线被 圆C3：（x－1）2＋（y－1）2＝ 所截得的弦长为 　​ 　. 解析：由题意将两圆的方程相减，可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的 方程为x＋y－1＝0.又圆C3的圆心坐标为（1，1），其到直线l的距离为d ＝ ＝ ，设圆C3的半径为r，由条件知，r2－d2＝ － ＝ ， 所以弦长为2× ＝ . ​ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 1. 圆（x＋3）2＋（y－2）2＝1和圆（x－3）2＋（y＋6）2＝144的位置关 系是（　　） A. 相切 B. 内含 C. 相交 D. 外离 解析：　因为两圆的圆心距d＝ ＝10＜12－ 1＝11，所以两圆内含. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 圆x2＋y2－2x＋F＝0和圆x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0的公共弦所在的直线 方程是x－y＋1＝0，则（　　） A. E＝－4，F＝8 B. E＝4，F＝－8 C. E＝－4，F＝－8 D. E＝4，F＝8 解析：　由题意联立两圆方程 相减得4x＋ Ey－4－F＝0，则 ＝－1， ＝1，解得E＝－4，F＝－8.故选C. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. 若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0（a＞0）的公共弦长为2 ， 则a＝ ⁠. 解析：将两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为y＝ ，圆心（0， 0）到直线的距离为d＝ ＝ ＝1，所以a＝1. 1 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 4. 已知以C（3，4）为圆心的圆与圆x2＋y2＝1外切，求圆C的方程. 解：设圆C的半径为r，则圆C的方程为（x－3）2＋（y－4）2＝r2. 由题意得两圆圆心距d＝ ＝5， 因为两圆外切，所以圆心距等于两圆半径之和，即5＝r＋1，解得r＝4. 故圆C的方程为（x－3）2＋（y－4）2＝16. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 课时作业 >> 目录 41 1. 〔一题多解〕两圆C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝ 0的位置关系是（　　） A. 外离 B. 相切 C. 相交 D. 内含 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解析：　法一（几何法）　把两圆的方程分别配方，化为标准方程得C1：（x－1）2＋y2＝4，C2：（x－2）2＋（y＋1）2＝2，所以两圆圆心分别为C1（1，0），C2（2，－1），半径分别为r1＝2，r2＝ ，则圆心 距C1C2＝ ＝ ，r1＋r2＝2＋ ，r1－r2＝2－ ，故r1－r2＜C1C2＜r1＋r2，两圆相交. 法二（代数法）　联立方程 解得 即方程组有2组解，也就是说两圆的交点个数 为2，故可判断两圆相交. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 〔一题多解〕圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两 点，则AB的垂直平分线的方程是（　　） A. x＋y＋3＝0 B. 2x－y－5＝0 C. 3x－y－9＝0 D. 4x－3y＋7＝0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解析：　法一　AB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心（2，－3）代 入，即可排除A、B、D. 法二　由已知得圆x2＋y2－4x＋6y＝0与圆x2＋y2－6x＝0的公共弦方程为 lAB：－4x＋6y＝－6x，即y＝－ x.设两圆的公共弦AB的垂直平分线为 l1，由几何性质知 ＝3，且l1必过圆心（3，0）（或（2，－3）），∴l1 的方程为y＝3（x－3），即3x－y－9＝0.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. 已知m是正实数，则“m≥16”是“圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：（x－ 4）2＋（y＋3）2＝m（m＞0）有公共点”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解析：圆x2＋y2＝1的圆心C1（0，0），半径r1＝1，圆（x－4）2＋（y＋3）2＝m的圆心C2（4，－3），半径r2＝ ，则C1C2＝ ＝5，两圆有公共点⇔｜ －1｜≤5≤ ＋1，解得16≤m≤36，显然[16，36]⫋[16，＋∞）.故“m≥16”是“圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：（x－4）2＋（y＋3）2＝m有公共点”的必要不充分条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 4. 我们把圆心在一条直线上，且相邻两圆彼此外切的一组圆叫做“串 圆”.在如图所示的“串圆”中，圆C1和圆C3的方程分别为x2＋y2＝1和 （x－4）2＋（y－2）2＝1，若直线ax＋2by－2＝0 （a，b＞0）始终平分圆C2的周长，则a＋b＝（　） A. B. 1 C. D. 2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解析： 　若直线ax＋2by－2＝0（a，b＞0）始终平分圆C2的周长，则 该直线经过圆C2的圆心，由圆外切的关系知C2为线段C1C3的中点，圆C1 的圆心的坐标为（0，0），圆C3的圆心的坐标为（4，2），所以圆C2的圆 心的坐标为（2，1），可得a＋b＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 5. 〔多选〕半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋（y－3）2＝1内切，则此 圆的方程可以是（　　） A. （x－4）2＋（y－6）2＝6 B. （x＋4）2＋（y－6）2＝6 C. （x－4）2＋（y－6）2＝36 D. （x＋4）2＋（y－6）2＝36 解析：由题意可设圆的方程为（x－a）2＋（y－6）2＝36，又由两圆内切，得 ＝5，所以a2＝16，所以a＝±4，所求圆的方程为（x－4）2＋（y－6）2＝36或（x＋4）2＋（y－6）2＝36. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 6. 〔多选〕已知点A（1，0），B（1，6），圆C：x2＋y2－10x－12y＋ m＝0，若在圆C上存在唯一的点P使∠APB＝90°，则m＝（　　） A. －3 B. 3 C. 57 D. －57 解析：由题意得，只需以AB为直径的圆与圆C有且仅有一个公共点，即两圆相切.因为A（1，0），B（1，6），所以以AB为直径的圆M的方程为（x－1）2＋（y－3）2＝9，圆C：（x－5）2＋（y－6）2＝61－m.因为两圆相切，所以CM＝｜3± ｜，即5＝｜3± ｜，解得m＝57或m＝－3. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 7. 已知圆C1：x2＋y2＝1，圆C2：（x－2）2＋y2＝1，则C1，C2的公切线 方程为 .（写出一个即可） 解析：由题知圆C1，C2的半径均为1，圆心分别为C1（0，0），C2（2，0），则C1C2＝2，则C1，C2外切，如图，结合图象可知，C1，C2的公切线方程为y＝1，y＝－1，x＝1. y＝1（或y＝－1或x＝1） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 8. 两圆交于点A（1，3）和B（m，1），两圆的圆心都在直线x－y＋4＝ 0上，则m＝ ⁠. 解析：由题意知直线AB与两圆圆心所在直线垂直，所以 ×1＝－1，解 得m＝3. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 9. 过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线 l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程是 ⁠. 解析：设圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ（x2＋y2－2y－4）＝0，则（1＋ λ）x2－4x＋（1＋λ）y2＋（2－2λ）y－4λ＝0，把圆心 代入 l：2x＋4y－1＝0的方程，可得λ＝ ，所以所求圆的方程为x2＋y2－3x＋ y－1＝0. x2＋y2－3x＋y－1＝0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 10. 已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0. （1）若直线l1过定点A（1，1），且与圆C相切，求l1的方程； 解：圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0化为标准方程为（x－3）2＋（y－4）2＝4，所以圆C的圆心为（3，4），半径为2. ①若直线l1的斜率不存在，即直线为x＝1，符合题意； ②若直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为y－1＝k（x－1），即kx－y －k＋1＝0. 由题意知，圆心（3，4）到直线l1的距离等于半径2，所以 ＝ 2，即 ＝2，解得k＝ ，所以直线方程为5x－12y＋7＝0. 综上，所求l1的方程为x＝1或5x－12y＋7＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （2）若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x－y＋2＝0上，且与圆C外切， 求圆D的方程. 解：依题意，设D（a，a＋2）. 又已知圆C的圆心为（3，4），半径为2，由两圆外切，可知CD＝5，所 以 ＝5，解得a＝－1或a＝6. 所以D（－1，1）或D（6，8），所以所求圆D的方程为（x＋1）2＋（y －1）2＝9或（x－6）2＋（y－8）2＝9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 11. 若直线l与圆C1：（x＋1）2＋y2＝1，圆C2：（x－1）2＋y2＝4都相 切，切点分别为A，B，则AB＝（　　） A. 1 B. C. D. 2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解析：如图所示，设直线l交x轴于点M，由于直线l与圆C1：（x＋1）2＋y2＝1，圆C2：（x－1）2＋y2＝4都相切，切点分别为A，B，则AC1⊥l，BC2⊥l，∴AC1∥BC2，∵BC2＝2＝2AC1，∴C1为MC2的中点，A为BM的中点，∴MC1＝C1C2＝2，由勾股定理可得AB＝MA＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 12. 〔多选〕圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点 为A，B，则有（　　） A. 公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0 B. 线段AB中垂线的方程为x＋y－1＝0 C. 公共弦AB的长为 D. P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为 ＋1 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解析：对于A，由圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，两式作差可得4x－4y＝0，即公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0，故A正确；对于B，圆O1：x2＋y2－2x＝0的圆心为（1，0），又kAB＝1，则线段AB中垂线的斜率为－1，即线段AB中垂线的方程为y－0＝－1×（x－1），整理可得x＋y－1＝0，故B正确；对于C，圆O1：x2＋y2－2x＝0，圆心O1（1，0）到直线x－y＝0的距离d＝ ＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 半径r＝1，所以AB＝2 ＝ ，故C不正确；对于D，P为圆O1上一动点，圆心O1（1，0）到直线x－y＝0的距离为d＝ ，半径r＝1，即P到直线AB距离的最大值为 ＋1，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 13. 已知圆C1：x2＋y2－kx＋2y＝0与圆C2：x2＋y2＋ky－2＝0的公共弦 所在直线恒过点P（a，b），且点P在直线mx－ny－2＝0上，则mn的取 值范围是 ⁠. 解析：由圆C1：x2＋y2－kx＋2y＝0，圆C2：x2＋y2＋ky－2＝0，得圆C1 与圆C2的公共弦所在直线方程为k（x＋y）－2y－2＝0，求得定点P （1，－1），又P（1，－1）在直线mx－ny－2＝0上，得m＋n＝2，即 n＝2－m.所以mn＝（2－m）m＝－（m－1）2＋1，所以mn的取值范围 是（－∞，1]. （－∞，1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 14. 已知圆A：x2＋（y＋1）2＝1，圆B：（x－4）2＋（y－3）2＝1. （1）过圆心A的直线l截圆B所得的弦长为 ，求直线l的斜率； 解：由题意知，直线l的斜率存在，且圆心A（0，－1），设直线l的方程为y＝kx－1，由弦长可得圆心B（4，3）到直线l的距离为 ，即 ＝ ，化简得12k2－25k＋12＝0，解得k＝ 或k＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （2）若动圆P同时平分圆A与圆B的周长. ①求动圆圆心P的轨迹方程； ②问动圆P是否过定点？若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明 理由. 解：①由已知可得PA＝PB，故圆心P在线段AB的中垂线上. ∵直线AB的斜率为1，∴圆心P所在直线的斜率为－1，且该直线过点 （2，1），∴圆心P在直线x＋y－3＝0上.即动圆圆心P的轨迹方程为x ＋y－3＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 ②设P（m，3－m），则动圆P的半径为 ＝ ， ∴动圆P的方程为（x－m）2＋（y＋m－3）2＝m2＋（3－m＋1）2＋1， 即x2＋y2－6y－8－2m（x－y－1）＝0. 由 得 或 故动圆P过定点（2＋ ，1＋ ），（2－ ，1－ ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 $