2.2 直线与圆的位置关系(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

该高中数学课件聚焦“直线与圆的位置关系”，通过“大漠孤烟直”诗句情境导入，从太阳与地平线的位置关系引出相交、相切、相离三种关系，衔接圆的方程知识，为几何法、代数法判断及应用搭建学习支架。 其亮点在于情境化导入培养数学眼光，一题多解（如位置关系判断的代数与几何法）发展数学思维，规律方法总结（如切线方程、弦长公式）强化数学语言。实例有摄像头监控问题，助力学生提升直观想象和运算能力，为教师提供系统教学资源。

2.2　直线与圆的位置关系 第二章　圆与方程 1 课标要求 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系（直观想象）. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.体会用代数方法处理几何问题的思想（数学运算、逻辑推理）. 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 4 “大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日 落时分塞外特有的景象.如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直 线，观察三幅太阳落山的图片. 【问题】　（1）图片中，地平线与太阳有怎样的位置关系？ （2）上述直线与圆的位置关系，怎样用代数方法表示？ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 知识点　直线与圆的位置关系 1. 直线与圆的三种位置关系 位置关系 交点个数 图示 相交 有 ⁠公共点 相切 只有 ⁠公共点 相离 ⁠公共点 两个　 一个　 没有　 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 直线与圆的位置关系的判断 位置关系 相交 相切 相离 判断方法 几何法：设圆心到直线的距离 d＝ d＜r d ⁠r d ⁠r 代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ＞0方程 组有两组 不同的解 Δ＝0方程组仅有一组解 Δ＜0方程组无解 ＝　 ＞ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 【想一想】 1. 若直线与圆只有一个公共点，则直线与圆一定相切吗？ 提示：一定. 2. 若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离满足什么条件？ 提示：当直线与圆有公共点时，圆心到直线的距离小于或等于半径. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若直线与圆有公共点，则直线与圆相交. （　×　） （2）如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切. （　√　） （3）若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到 的一元二次方程无解. （　√　） （4）过圆外一点的直线与圆相离. （　×　） × √ √ × 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为（　　） A. 相切 B. 相交但直线不过圆心 C. 直线过圆心 D. 相离 解析：圆心（0，0）到直线y＝x＋1的距离d＝ ＝ .因为0＜ ＜1，故直线与圆相交但直线不过圆心，选B. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. 直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m＝ ⁠. 解析：由于直线与圆相切，故 ＝ ，解得m＝0（舍去）或m ＝2. 2 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 典例研析>> 目录 12 题型一　直线与圆位置关系的判断 〔一题多解〕（链接教科书第63页例1）已知直线y＝x＋b与圆x2＋ y2＝2，当b为何值时，直线与圆有两个公共点？只有一个公共点？没有公 共点？ 解：法一（代数法）　由 消去y得2x2＋2bx＋b2－2＝0， 判别式Δ＝（2b）2－4×2（b2－2）＝－4（b＋2）（b－2）. 当－2＜b＜2时，Δ＞0，直线与圆有两个公共点； 当b＝2或b＝－2时，Δ＝0，直线与圆只有一个公共点； 当b＜－2或b＞2时，Δ＜0，直线与圆没有公共点. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 法二（几何法）　圆的半径r＝ ，圆心O（0，0）到直线y＝x＋b的距 离为d＝ . 当d＜r，｜b｜＜2，即－2＜b＜2时，直线与圆相交，直线与圆有两个公 共点； 当d＝r，｜b｜＝2，即b＝2或b＝－2时，直线与圆相切，直线与圆只有 一个公共点； 当d＞r，｜b｜＞2，即b＜－2或b＞2时，直线与圆相离，直线与圆没有 公共点. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 规律方法 判断直线与圆位置关系的方法 （1）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断； （2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 1. 已知圆C： x2＋y2－4x＝0，l是过点P（3，0）的直线，则（　　） A. l与C相交 B. l与C相切 C. l与C相离 D. 以上三个选项均有可能 解析：　将点P（3，0）代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3＜ 0，∴点P（3，0）在圆内.∴过点P的直线l必与圆C相交. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 若直线x－y＋1＝0与圆（x－a）2＋（y－1）2＝2没有公共点，则实 数a的取值范围是（　　） A. （－∞，－ ）∪（ ，＋∞） B. （ ，＋∞） C. （－∞，－2）∪（2，＋∞） D. （2，＋∞） 解析：由题意得圆心坐标为（a，1），半径为 ，∴ ＞ ，∴｜a｜＞2，∴a＞2或a＜－2.∴实数a的取值范围是（－∞，－2）∪（2，＋∞）. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 题型二　求圆的切线方程及切线长 （链接教科书第64页例2）过点M（2，4）向圆（x－1）2＋（y＋3） 2＝1引切线，求其切线方程. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解：由于（2－1）2＋（4＋3）2＝50＞1，故点M在圆外. 当切线斜率存在时，设切线方程是y－4＝k（x－2）， 即kx－y＋4－2k＝0， 由于直线与圆相切，圆心为（1，－3），r＝1， 故 ＝1，解得k＝ . 所以切线方程为24x－7y－20＝0. 又当切线斜率不存在时，直线x＝2与圆相切. 综上所述，所求切线方程为24x－7y－20＝0或x＝2. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 【母题探究】 1. （变条件）若将本例中的点M的坐标改为（1，－2），其他条件不变， 又如何求其切线方程？ 解：由于（1－1）2＋（－2＋3）2＝1，故点M在圆上， 设圆的圆心为C，则C（1，－3），显然CM的斜率不存在. 因为圆的切线垂直于经过切点的半径， 所以所求切线的斜率k＝0， 所以切线方程为y＝－2. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. （变设问）若本例中的条件不变，如何求其切线长？ 解：由题知，设切线长为d， d＝ ＝ ＝7. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 规律方法 1. 过圆上一点（x0，y0）的切线方程的求法 先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－ ，由点斜 式可得切线方程.如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝ y0或x＝x0. 常用结论：①过圆x2＋y2＝r2上一点P（x0，y0）的切线方程为x0x＋y0y ＝r2； ②过圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2上一点P（x0，y0）的切线方程为（x0 －a）（x－a）＋（y0－b）（y－b）＝r2，若点P（x0，y0）在圆外， 则上述方程为切点弦所在直线方程. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 过圆外一点（x0，y0）的切线方程的求法 设切线方程为y－y0＝k（x－x0），由圆心到直线的距离等于半径建立方 程，可求得k，即得切线方程.当用此法只求出一个方程时，另一个方程应 为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的 切线有两条.一般不用联立方程组的方法求解. 3. 求切线长（最值）的方法 根据圆的切线的几何性质求切线长问题，可转化为利用勾股定理求解；若 求切线长最值问题可转化成圆心到直线的距离问题. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 1. 若直线x－y＋2＝0与圆O：（x－a）2＋y2＝2相切，则a＝（　　） A. 0 B. －4或2 C. 2 D. 0或－4 解析：　由圆O：（x－a）2＋y2＝2可得圆心O（a，0），半径r＝ ，因为直线x－y＋2＝0与圆O：（x－a）2＋y2＝2相切，所以圆心O （a，0）到直线x－y＋2＝0的距离d＝ ＝ ，整理可得｜ a＋2｜＝2，所以a＝0或a＝－4，故选D. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 由直线y＝x＋1上任一点向圆（x－3）2＋y2＝1引切线，则该切线长的 最小值为（　　） A. 1　　　 B. 2 　　　 D. 3 解析：　圆心C（3，0）到y＝x＋1的距离d＝ ＝2 .所以切 线长的最小值为l＝ ＝ . √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 题型三　弦长问题 〔一题多解〕（链接教科书第65页例3）求直线l：3x＋y－6＝0被圆 C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长. 解：法一　由直线l与圆C的方程， 得 消去y，得x2－3x＋2＝0. 设两交点坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2）， 由根与系数的关系有x1＋x2＝3，x1·x2＝2， AB＝ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 ＝ ＝ ＝ . ∴弦长为 . 法二　圆C：x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋（y－1）2＝5. 其圆心坐标为C（0，1），半径r＝ ，点C（0，1）到直线l的距离为d ＝ ＝ ， ∴AB＝2 ＝ ，∴弦长为 . 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 规律方法 求弦长常用的3种方法 （1）利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系 ＋d2 ＝r2解题； （2）利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后， 直接用两点间距离公式计算弦长； （3）利用弦长公式，设直线l：y＝kx＋b，与圆的两交点（x1，y1）， （x2，y2），将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦 长l＝ ｜x1－x2｜＝ . 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 1. 〔一题多解〕过圆x2＋y2＝8内的点P（－1，2）作直线l交圆于A，B 两点，若直线l的倾斜角为 π，则弦AB的长为 　​ 　. 解析：法一　设A（x1，y1），B（x2，y2）.由题意知直线l的方程为y－ 2＝－（x＋1），即x＋y－1＝0.由 消去y，得2x2－2x－ 7＝0，所以x1＋x2＝1，x1x2＝－ ，所以AB＝ ·｜x1－x2｜＝ · ＝ · ＝ （k为直 线l的斜率）. ​ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 法二　由题意知直线l的方程为y－2＝－（x＋1），即x＋y－1＝0.圆心 （0，0）到直线l的距离d＝ ＝ ，则有AB＝2× ＝ . 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0截直线ax＋y－1＝0所得的弦长为2 ，则 实数a＝ ⁠. 解析：圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0，即（x－1）2＋（y－4）2＝4，圆心为 （1，4），半径r＝2.圆心到直线ax＋y－1＝0的距离是 ，则 ＝ 化简可得（a＋3）2＝a2＋1，解得a＝－ . － 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 1. 直线l：x－y＝1与圆C：x2＋y2－4x＝0的位置关系是（　　） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定 解析：　圆C的圆心为C（2，0），半径为2，圆心C到直线l的距离为d ＝ ＝ ＜2，所以圆C与直线l相交. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 已知圆的方程为x2＋y2＝1，则在y轴上截距为 的切线方程为（　　） A. y＝x＋ B. y＝－x＋ C. y＝x＋ 或y＝－x＋ D. x＝1或y＝x＋ 解析：　在y轴上截距为 且斜率不存在的直线显然不是切线，故设切 线方程为y＝kx＋ ，则 ＝1，所以k＝±1，故所求切线方程为y ＝x＋ 或y＝－x＋ . √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. 求过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4x＝0所截得的弦长. 解：直线方程为y＝ x，圆的方程为（x－2）2＋y2＝4， 圆心（2，0）到直线的距离为d＝ ＝ ， 弦长l＝2 ＝2 ＝2. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 课时作业 >> 目录 35 1. 圆心为（3，0）且与直线x＋ y＝0相切的圆的方程为（　　） A. （x－ ）2＋y2＝1 B. （x－3）2＋y2＝3 C. （x－ ）2＋y2＝3 D. （x－3）2＋y2＝9 解析：　由题意知所求圆的半径r＝ ＝ ，故所求圆的方程 为（x－3）2＋y2＝3，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 〔一题多解〕直线x＋y＝0被圆x2＋y2－6x＋2y＋4＝0截得的弦长等于 （　　） A. 4 B. 2 C. 2 解析：　法一　因为x2＋y2－6x＋2y＋4＝0，所以（x－3）2＋（y＋ 1）2＝6，圆心（3，－1）到直线x＋y＝0的距离为d＝ ＝ ，直 线x＋y＝0被圆x2＋y2－6x＋2y＋4＝0截得的弦长l＝ 2 ＝4.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 法二　设直线与圆交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，由 消去y，得x2－4x＋2＝0，所以x1＋x2＝4， x1x2＝2，所以弦长AB＝ × ＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. 若直线l：ax－by－4＝0与圆O：x2＋y2＝4相离，则点P（a，b） （　　） A. 在圆O外 B. 在圆O内 C. 在圆O上 D. 位置不确定 √ 解析： 　若直线l：ax－by－4＝0与圆O：x2＋y2＝4相离，则点O到直 线l的距离d＝ ＞2，即 ＜2.圆O：x2＋y2＝4，圆心O （0，0），半径r＝2，故PO＝ ＝ ＜2 ＝r，所以点P（a，b）在圆O内.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 4. 已知圆C与直线x＋y＋3＝0相切，直线mx＋y＋1＝0始终平分圆C的 面积，则圆C的方程为（　　） A. x2＋y2－2y＝2 B. x2＋y2＋2y＝2 C. x2＋y2－2y＝1 D. x2＋y2＋2y＝1 解析：在直线mx＋y＋1＝0的方程中，令x＝0，得y＝－1，则直线mx＋y＋1＝0过定点（0，－1）.由于直线mx＋y＋1＝0始终平分圆C的面积，则点（0，－1）是圆C的圆心，又圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的半径r＝ ＝ .因此，圆C的方程为x2＋（y＋1）2＝2，即x2＋y2＋2y＝1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 5. 〔多选〕与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等 的直线方程为（　　） A. x＋y＝0 B. x－y＝0 C. x＝0 D. x＋y＝4 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解析：圆C：x2＋y2－4x＋2＝0化为标准方程为（x－2）2＋y2＝2，即圆C是圆心为（2，0），半径为 的圆.若所求直线过原点，可设所求直线为y＝kx，因为该直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即 ＝ ，解得k＝±1，所以y＝±x；若所求直线不过原点，因为该直线在两坐标轴上的截距相等，所以可设该直线方程为x＋y＝m（m≠0），因为该直线与圆相切，所以 ＝ ，解得m＝4或m＝0（舍），所以x＋y－4＝0.综上，满足条件的直线的方程为y＝x，y＝－x，x＋y－4＝0.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 6. 〔多选〕给定直线l：3x＋4y＝0和圆C：x2－4x＋y2＝m－5，则 （　　） A. m的取值范围为（0，＋∞） B. 当l与圆C相切时，m＝ C. 当1＜m＜2时，l与圆C相离 D. 当l与圆C相交时，m＞ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解析：圆C：x2－4x＋y2＝m－5的标准方程为（x－2）2＋y2＝m－1，圆C的圆心为C（2，0），半径r＝ ，对于A：由r＝ ＞ 0，解得m＞1，故A错误；对于B：因为C（2，0）到直线l：3x＋4y＝0 的距离为d＝ ＝ ，所以当l与圆C相切时，r＝ ＝ ， 解得m＝ ，故B正确；对于C：当1＜m＜2时，0＜r＜1＜ ，所以l与圆 C相离，故C正确；对于D：当l与圆C相交时， ＞ ，解得m＞ ，故D错误.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 7. 已知圆（x－2）2＋y2＝9，则过点M（1，2）的最长弦与最短弦的弦长 之和为 ⁠. 解析：设圆心为C，则C（2，0），过点M的弦为直径时，长度最长为 2×3＝6，过点M的弦以M为中点且与CM垂直时，长度最短，最短为 2 ＝2 ＝4，所以所求弦长之和为6＋4＝10. 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 8. 直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0（a＜3）相交于A，B两点，若弦 AB的中点为C（－2，3），则直线l的方程为 ⁠. 解析：由圆的一般方程可得圆心为M（－1，2）.由圆的性质易知M（－ 1，2）与C（－2，3）的连线与弦AB垂直，故有kAB×kMC＝－1⇒kAB＝ 1，故直线AB的方程为y－3＝x＋2，整理得x－y＋5＝0. x－y＋5＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 9. 已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y ＋3＝0相切，则圆C的方程为 ⁠. 解析：在x－y＋1＝0中，令y＝0得x＝－1，所以直线x－y＋1＝0与x轴 的交点即圆心C的坐标为（－1，0）.因为直线x＋y＋3＝0与圆相切，所 以圆心到直线的距离等于半径，即r＝ ＝ ，所以圆C的方程 为（x＋1）2＋y2＝2. （x＋1）2＋y2＝2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 10. 已知圆C过点（1，1），圆心在x轴正半轴上，且与直线y＝x－4相 切. （1）求圆C的标准方程； 解：由题意，设圆心坐标为C（a，0）（a＞0），由题意，得 ＝ ，解得a＝－6（舍）或a＝2，所以 圆的半径为r＝ ＝ ，则圆C的标准方程为（x－2）2＋y2＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （2）已知过点P（1，3）的直线l交圆C于A，B两点，且AB＝2，求直 线l的方程. 解：若斜率不存在，则直线方程为x＝1，弦心距d＝1，半径为 ， 则AB＝2 ＝2，符合题意； 若斜率存在，设直线方程为y－3＝k（x－1），即kx－y－k＋3＝0.弦心 距d＝ ，得AB＝2 ＝2，解得k＝－ ， 故直线方程为y＝－ x＋ . 综上所述，直线l的方程为x＝1或y＝－ x＋ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 11. 〔一题多解〕已知坐标原点到直线l的距离为2，且直线l与圆（x－ 3）2＋（y－4）2＝49相切，则满足条件的直线l有（　　） A. 1条 B. 2条 解析：法一　显然直线l存在斜率，设l：y＝kx＋b，则 ＝2，即b2＝4（k2＋1）①，又直线l与圆相切，所以 ＝7②，联立①②得，k＝－ ，b＝－ ，所以直线l的方程为y＝－ x－ .故满足条件的直线l只有一条. C. 3条 D. 4条 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 法二　如图，设圆心为P（3，4），则OP＝5，又O到直线l的距离为2，且半径为7，P到l的距离为7，即当OP⊥l时符合题意，且只有这种情况符合题意，故满足条件的直线l只有一条. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 12. （2026·宿迁质检）直线y＝x＋b与曲线x＝ 有且只有一个 交点，则b满足（　　） A. ｜b｜＝ B. －1＜b≤1或b＝－ C. －1≤b＜1 D. 非以上答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解析：　曲线x＝ 含有限制条件，即x≥0，故曲 线并非表示整个单位圆，仅仅是单位圆在y轴右侧（含与y 轴的交点）的部分.在同一平面直角坐标系中，画出y＝x＋ b与曲线x＝ （即x2＋y2＝1，x≥0）的图象，如图 所示.当直线与曲线相切时，b＝－ ，其他位置符合条件 时需－1＜b≤1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 13. 若圆M：x2＋y2－6x＋8y＝0上至少有3个点到直线l：y－1＝k（x－ 3）的距离为 ，则k的取值范围是 　（－∞，－ ]∪[，＋∞）　. 解析：圆M的标准方程为（x－3）2＋（y＋4）2＝52，圆心M（3，－ 4），半径为5，要满足题意，由圆的几何性质得圆心M（3，－4）到直线 l：y－1＝k（x－3）的距离不超过 ，则 ≤ ，即 ≤ ，解得k≥ 或k≤－ ，所以k的取值范围是（－∞，－ ]∪[，＋∞）. （－∞，－ ]∪[，＋∞） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 14. 如图，某公园内有一底面半径为2米的圆柱形建 筑物，在其南面有一条东西走向的观景直道（图中 用实线表示），建筑物的东西两侧有与直道平行的 两段辅道（图中用虚线表示），观景直道与辅道相 距5米.在建筑物底面中心O的北偏东45°方向且相距10 米的点A处，有一台360°全景摄像头，其安装高度低于建筑物高度.请建立恰当的平面直角坐标系，并解决问题： （1）在西辅道上与建筑物底面中心O相距4米处有一游客，他是否在该摄 像头的监控范围内？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解：以O为原点，正东方向为x轴的正方向，建立如图 所示的平面直角坐标系，则O（0，0），由题知 OA＝10 ，∠AOx＝45°，则A（10，10）， 游客所在位置的坐标为（－4，0），记B（－4， 0），则直线AB的方程为y＝ （x＋4），即 5x－7y＋20＝0，所以圆心O到直线AB的距离d＝＝ ＞ ＝2，所以直线AB与圆O相离，所以游客在该摄像头的监控范围内. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （2）求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度. 解：由图知，当过A的直线与圆O相切或相离时，摄像头不会被建筑物挡住，不妨设直线l过点A且和圆O相切， 若直线l垂直于x轴，则直线l不会和圆相切； 若直线l不垂直于x轴，设l：y－10＝k（x－10），整理得kx－y＋10－10k＝0，所以圆心O到直线l的距离为 ＝2，解得k＝ 或 ， 所以l：y－10＝ （x－10）或y－10＝ （x－10），即3x－4y＋10＝0或4x－3y－10＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 易知观景直道所在直线的方程为y＝－5，设两条与圆O相切的直线与直 线y＝－5的交点分别为D，E，且D在E左侧， 由 解得x＝－10， 由 解得x＝－ ， 所以DE＝ ＝ ＝8.75，因此观景直道不在该摄像头 的监控范围内的长度为8.75米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 $