2.3 圆与圆的位置关系(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

本讲义聚焦高中数学“圆与圆的位置关系”核心知识点，系统梳理外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系，通过几何法（圆心距与半径关系）和代数法（方程组解的个数）进行判定，衔接圆的方程、直线与圆位置关系等前序知识，搭建完整知识支架。 该资料以日食现象引入，培养直观想象，通过几何法与代数法对比强化逻辑推理，题型分层设计（位置关系判断、参数求解、公共弦问题）结合例题与练习，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生巩固知识，提升数学运算与问题解决能力。

2.3　圆与圆的位置关系 课标 要求 1.能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系（直观想象）. 2.能用圆和圆的方程解决一些简单的问题，体会用代数方法处理几何问题的思想（数学运算、逻辑推理）. 日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日.日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生.日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食.我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的？ 【问题】　如图1为某次拍到的日环食全过程，可以用两个圆来表示变化过程. 图1 　　根据图2，结合平面几何，思考圆与圆的位置关系有几种？ 图2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　圆与圆的位置关系 1.位置关系：圆与圆的位置关系有五种，分别为　外离　、　外切　、　相交　、　内切　、　内含　. 2.判定方法 （1）几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下： 位置关系 公共点个数 圆心距与半径的关系 图示 两圆外离 0 d＞　r1＋r2　 两圆内含 d＜　｜r1－r2｜　 续表 位置关系 公共点个数 圆心距与半径的关系 图示 两圆相交 2 ｜r1－r2｜＜d＜r1＋r2 两圆内切 1 d＝　｜r1－r2｜　 两圆外切 d＝　r1＋r2　 （2）代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0（＋－4F1＞0）， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0（＋－4F2＞0）， 联立方程组 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组无解 方程组仅有一组解 方程组有两组不同的解 两个圆　没有　公共点 两个圆有且只有　一个　公共点 两个圆有　两个　公共点 外离 内含 外切 内切 相交 提醒：判断两圆的位置关系时，应优先使用几何法，因为利用代数法判断两圆位置关系时，若方程组无解或有一组解时，无法准确判断两圆的位置关系. 【想一想】 1.当两圆的方程组成的方程组无解时，两圆是否一定外离？ 提示：不一定，还可能内含. 2.在外离、外切、相交、内切和内含的位置关系下，两圆的公切线条数分别为多少？ 提示：外离有四条公切线、外切有三条公切线、相交有两条公切线、内切有一条公切线、内含无公切线. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.（　×　） （2）如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.（　×　） （3）从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.（　×　） 2.圆（x＋2）2＋y2＝4与圆（x－2）2＋（y－1）2＝9的位置关系为（　　） A.内切　　　B.相交 C.外切　 　D.相离 解析：B　两圆的圆心分别为（－2，0），（2，1），半径分别为r＝2，R＝3，两圆的圆心距离为＝，则R－r＜＜R＋r，所以两圆相交. 3.圆C1：（x＋2）2＋（y－m）2＝9与圆C2：（x－m）2＋（y＋1）2＝4外切，则m的值为（　　） A.2 B.－5 C.2或－5 D.不确定 解析：C　圆C1：（x＋2）2＋（y－m）2＝9的圆心为（－2，m），半径长为3，圆C2：（x－m）2＋（y＋1）2＝4的圆心为（m，－1），半径长为2.依题意有＝3＋2，即m2＋3m－10＝0，解得m＝2或m＝－5. 4.已知两圆x2＋y2＝10和（x－1）2＋（y－3）2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是　x＋3y＝0　. 解析：圆的方程（x－1）2＋（y－3）2＝20可化为x2＋y2－2x－6y＝10.又x2＋y2＝10，两式相减得2x＋6y＝0，即x＋3y＝0. 题型一　圆与圆位置关系的判断 角度1　两圆位置关系的判断 （链接教科书第68页例1）（1）圆C1：（x＋2）2＋（y－2）2＝1和圆C2：（x－2）2＋（y－5）2＝9的位置关系是（　A　） A.外离　 　 B.相交　 　 C.内切　 　 D.外切 解析：由题意得圆C1的圆心为C1（－2，2），半径r1＝1，圆C2的圆心为C2（2，5），半径r2＝3，圆心距C1C2＝＝5＞1＋3＝r1＋r2，所以两圆外离. （2）两圆C1：x2＋（y－3）2＝4与C2：（x－4）2＋y2＝9的公切线有（　C　） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析：由圆C1：x2＋（y－3）2＝4，圆C2：（x－4）2＋y2＝9，可得圆心C1（0，3），r1＝2；圆心C2（4，0），r2＝3，所以C1C2＝＝5＝r1＋r2，故两圆外切，共有3条公切线，故选C. 规律方法 判断两圆位置关系的方法 （1）几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法； （2）代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数判断两圆位置关系. 角度2　已知两圆位置关系求参数 已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0（a＞0），圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0（a＞0）.试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为： （1）相切；（2）相交；（3）外离；（4）内含. 解：圆C1，C2的方程，经配方后可得 C1：（x－a）2＋（y－1）2＝16， C2：（x－2a）2＋（y－1）2＝1， ∴圆心C1（a，1），C2（2a，1），半径r1＝4，r2＝1. ∴C1C2＝＝a. （1）当C1C2＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切； 当C1C2＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切. （2）当3＜C1C2＜5，即3＜a＜5时，两圆相交. （3）当C1C2＞5，即a＞5时，两圆外离. （4）当C1C2＜3，即0＜a＜3时，两圆内含. 规律方法 　　根据圆与圆的位置关系得出圆心距和半径的关系列出关系式，求出参数的值或取值范围，注意相切和相离均包括两种情况. 1.已知两圆分别为圆C1：x2＋y2＝81和圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0，这两圆的位置关系是（　　） A.相离 B.相交 C.内切 D.外切 解析：C　圆C1的圆心为C1（0，0），半径长r1＝9；圆C2的方程化为标准形式为（x－3）2＋（y－4）2＝42，圆心为C2（3，4），半径长r2＝4，所以C1C2＝＝5.因为r1－r2＝5，所以C1C2＝r1－r2，所以圆C1和圆C2内切. 2.（2026·苏州月考）若圆x2＋y2＝r2与x2＋y2＋2x－4y＋4＝0有公共点，则r的取值范围是　[－1，＋1]　.　 解析：由x2＋y2＋2x－4y＋4＝0得（x＋1）2＋（y－2）2＝1，两圆圆心之间的距离为＝.因为两圆有公共点，所以｜r－1｜≤≤r＋1，所以－1≤r≤＋1. 题型二　两圆相切问题 （链接教科书第69页例2）已知以C（4，－3）为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，求圆C的方程. 解：设圆C的半径为r，因为圆心距d＝＝5， 所以当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，r＝4，当圆C与圆O内切时，r－1＝5，r＝6， 所以圆C的方程为（x－4）2＋（y＋3）2＝16或（x－4）2＋（y＋3）2＝36. 规律方法 处理两圆相切问题的两个步骤 若圆C1：（x－1）2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－8x＋8y＋m＝0相切，则m＝（　　） A.16 B.7 C.－4或16 D.7或16 解析：C　圆C1：（x－1）2＋y2＝1的圆心坐标为（1，0），半径为1；将圆C2：x2＋y2－8x＋8y＋m＝0化为（x－4）2＋（y＋4）2＝32－m，则圆C2是以（4，－4）为圆心，为半径的圆.由题意，两个圆内切时，两圆的圆心距等于半径之差的绝对值，可得5＝｜－1｜，解得m＝－4；两个圆外切时，两圆的圆心距等于半径之和，可得5＝＋1，解得m＝16.综上，m的值为－4或16. 题型三　两圆相交问题 〔一题多解〕（链接教科书第70页练习5题）已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0. （1）求两圆公共弦所在直线的方程及弦长； 解：设两圆交点为A（x1，y1），B（x2，y2）， 则A，B两点坐标是方程组 的解. ①－②，得x－y＋4＝0. ∵A，B两点的坐标都满足此方程， ∴x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程. 又圆C1的圆心（－3，0），r＝， ∴C1到直线AB的距离d＝＝， ∴AB＝2＝2＝5，即两圆的公共弦长为5. （2）求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程. 解：法一　解方程组 得两圆的交点A（－1，3），B（－6，－2）. 设所求圆的圆心为（a，b），因为圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4. 则＝， 解得a＝，故圆心为（ ，－），半径为. 故圆的方程为（ x－）2＋（ y＋）2＝， 即x2＋y2－x＋7y－32＝0. 法二　设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ（x2＋y2＋6y－28）＝0（λ≠－1），其圆心为（ －，－），代入x－y－4＝0， 解得λ＝－7. 故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0. 规律方法 处理两圆相交的有关问题的方法 　　设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交， （1）公共弦所在直线方程的求法：将两圆方程相减，即得公共弦所在的直线方程为（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0； （2）公共弦长的求法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长； ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解. （3）过两圆交点的圆系方程的设法：过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ（x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0（λ≠－1）. 圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在的直线被圆C3：（x－1）2＋（y－1）2＝所截得的弦长为　　. 解析：由题意将两圆的方程相减，可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为x＋y－1＝0.又圆C3的圆心坐标为（1，1），其到直线l的距离为d＝＝，设圆C3的半径为r，由条件知，r2－d2＝－＝，所以弦长为2×＝. 1.圆（x＋3）2＋（y－2）2＝1和圆（x－3）2＋（y＋6）2＝144的位置关系是（　　） A.相切 B.内含 C.相交 D.外离 解析：B　因为两圆的圆心距d＝＝10＜12－1＝11，所以两圆内含. 2.圆x2＋y2－2x＋F＝0和圆x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0的公共弦所在的直线方程是x－y＋1＝0，则（　　） A.E＝－4，F＝8 B.E＝4，F＝－8 C.E＝－4，F＝－8 D.E＝4，F＝8 解析：C　由题意联立两圆方程相减得4x＋Ey－4－F＝0，则＝－1，＝1，解得E＝－4，F＝－8.故选C. 3.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0（a＞0）的公共弦长为2，则a＝　1　. 解析：将两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为y＝，圆心（0，0）到直线的距离为d＝＝＝1，所以a＝1. 4.已知以C（3，4）为圆心的圆与圆x2＋y2＝1外切，求圆C的方程. 解：设圆C的半径为r，则圆C的方程为（x－3）2＋（y－4）2＝r2. 由题意得两圆圆心距d＝＝5， 因为两圆外切，所以圆心距等于两圆半径之和，即5＝r＋1，解得r＝4. 故圆C的方程为（x－3）2＋（y－4）2＝16. 1.〔一题多解〕两圆C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0的位置关系是（　　） A.外离 B.相切 C.相交 D.内含 解析：C　法一（几何法）　把两圆的方程分别配方，化为标准方程得C1：（x－1）2＋y2＝4，C2：（x－2）2＋（y＋1）2＝2，所以两圆圆心分别为C1（1，0），C2（2，－1），半径分别为r1＝2，r2＝，则圆心距C1C2＝＝，r1＋r2＝2＋，r1－r2＝2－，故r1－r2＜C1C2＜r1＋r2，两圆相交. 法二（代数法）　联立方程 解得即方程组有2组解，也就是说两圆的交点个数为2，故可判断两圆相交. 2.〔一题多解〕圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（　　） A.x＋y＋3＝0 B.2x－y－5＝0 C.3x－y－9＝0 D.4x－3y＋7＝0 解析：C　法一　AB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心（2，－3）代入，即可排除A、B、D. 法二　由已知得圆x2＋y2－4x＋6y＝0与圆x2＋y2－6x＝0的公共弦方程为lAB：－4x＋6y＝－6x，即y＝－x.设两圆的公共弦AB的垂直平分线为l1，由几何性质知＝3，且l1必过圆心（3，0）（或（2，－3）），∴l1的方程为y＝3（x－3），即3x－y－9＝0.故选C. 3.已知m是正实数，则“m≥16”是“圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：（x－4）2＋（y＋3）2＝m（m＞0）有公共点”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：B　圆x2＋y2＝1的圆心C1（0，0），半径r1＝1，圆（x－4）2＋（y＋3）2＝m的圆心C2（4，－3），半径r2＝，则C1C2＝＝5，两圆有公共点⇔｜－1｜≤5≤＋1，解得16≤m≤36，显然[16，36]⫋[16，＋∞）.故“m≥16”是“圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：（x－4）2＋（y＋3）2＝m有公共点”的必要不充分条件. 4.我们把圆心在一条直线上，且相邻两圆彼此外切的一组圆叫做“串圆”.在如图所示的“串圆”中，圆C1和圆C3的方程分别为x2＋y2＝1和（x－4）2＋（y－2）2＝1，若直线ax＋2by－2＝0（a，b＞0）始终平分圆C2的周长，则a＋b＝（　　） A. B.1 C. D.2 解析：B　若直线ax＋2by－2＝0（a，b＞0）始终平分圆C2的周长，则该直线经过圆C2的圆心，由圆外切的关系知C2为线段C1C3的中点，圆C1的圆心的坐标为（0，0），圆C3的圆心的坐标为（4，2），所以圆C2的圆心的坐标为（2，1），可得a＋b＝1. 5.〔多选〕半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋（y－3）2＝1内切，则此圆的方程可以是（　　） A.（x－4）2＋（y－6）2＝6 B.（x＋4）2＋（y－6）2＝6 C.（x－4）2＋（y－6）2＝36 D.（x＋4）2＋（y－6）2＝36 解析：CD　由题意可设圆的方程为（x－a）2＋（y－6）2＝36，又由两圆内切，得＝5，所以a2＝16，所以a＝±4，所求圆的方程为（x－4）2＋（y－6）2＝36或（x＋4）2＋（y－6）2＝36. 6.〔多选〕已知点A（1，0），B（1，6），圆C：x2＋y2－10x－12y＋m＝0，若在圆C上存在唯一的点P使∠APB＝90°，则m＝（　　） A.－3 B.3 C.57 D.－57 解析：AC　由题意得，只需以AB为直径的圆与圆C有且仅有一个公共点，即两圆相切.因为A（1，0），B（1，6），所以以AB为直径的圆M的方程为（x－1）2＋（y－3）2＝9，圆C：（x－5）2＋（y－6）2＝61－m.因为两圆相切，所以CM＝｜3±｜，即5＝｜3±｜，解得m＝57或m＝－3. 7.已知圆C1：x2＋y2＝1，圆C2：（x－2）2＋y2＝1，则C1，C2的公切线方程为　y＝1（或y＝－1或x＝1）　.（写出一个即可） 解析：由题知圆C1，C2的半径均为1，圆心分别为C1（0，0），C2（2，0），则C1C2＝2，则C1，C2外切，如图，结合图象可知，C1，C2的公切线方程为y＝1，y＝－1，x＝1. 8.两圆交于点A（1，3）和B（m，1），两圆的圆心都在直线x－y＋4＝0上，则m＝　3　. 解析：由题意知直线AB与两圆圆心所在直线垂直，所以×1＝－1，解得m＝3. 9.过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程是　x2＋y2－3x＋y－1＝0　. 解析：设圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ（x2＋y2－2y－4）＝0，则（1＋λ）x2－4x＋（1＋λ）y2＋（2－2λ）y－4λ＝0，把圆心代入l：2x＋4y－1＝0的方程，可得λ＝，所以所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0. 10.已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0. （1）若直线l1过定点A（1，1），且与圆C相切，求l1的方程； （2）若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x－y＋2＝0上，且与圆C外切，求圆D的方程. 解：（1）圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0化为标准方程为（x－3）2＋（y－4）2＝4，所以圆C的圆心为（3，4），半径为2. ①若直线l1的斜率不存在，即直线为x＝1，符合题意； ②若直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为y－1＝k（x－1），即kx－y－k＋1＝0. 由题意知，圆心（3，4）到直线l1的距离等于半径2，所以＝2，即＝2，解得k＝，所以直线方程为5x－12y＋7＝0. 综上，所求l1的方程为x＝1或5x－12y＋7＝0. （2）依题意，设D（a，a＋2）. 又已知圆C的圆心为（3，4），半径为2，由两圆外切，可知CD＝5，所以＝5，解得a＝－1或a＝6. 所以D（－1，1）或D（6，8），所以所求圆D的方程为（x＋1）2＋（y－1）2＝9或（x－6）2＋（y－8）2＝9. 11.若直线l与圆C1：（x＋1）2＋y2＝1，圆C2：（x－1）2＋y2＝4都相切，切点分别为A，B，则AB＝（　　） A.1 B. C. D.2 解析：C　如图所示，设直线l交x轴于点M，由于直线l与圆C1：（x＋1）2＋y2＝1，圆C2：（x－1）2＋y2＝4都相切，切点分别为A，B，则AC1⊥l，BC2⊥l，∴AC1∥BC2，∵BC2＝2＝2AC1，∴C1为MC2的中点，A为BM的中点，∴MC1＝C1C2＝2，由勾股定理可得AB＝MA＝＝. 12.〔多选〕圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，则有（　　） A.公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0 B.线段AB中垂线的方程为x＋y－1＝0 C.公共弦AB的长为 D.P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为＋1 解析：ABD　对于A，由圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，两式作差可得4x－4y＝0，即公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0，故A正确；对于B，圆O1：x2＋y2－2x＝0的圆心为（1，0），又kAB＝1，则线段AB中垂线的斜率为－1，即线段AB中垂线的方程为y－0＝－1×（x－1），整理可得x＋y－1＝0，故B正确；对于C，圆O1：x2＋y2－2x＝0，圆心O1（1，0）到直线x－y＝0的距离d＝＝，半径r＝1，所以AB＝2＝，故C不正确；对于D，P为圆O1上一动点，圆心O1（1，0）到直线x－y＝0的距离为d＝，半径r＝1，即P到直线AB距离的最大值为＋1，故D正确. 13.已知圆C1：x2＋y2－kx＋2y＝0与圆C2：x2＋y2＋ky－2＝0的公共弦所在直线恒过点P（a，b），且点P在直线mx－ny－2＝0上，则mn的取值范围是　（－∞，1]　. 解析：由圆C1：x2＋y2－kx＋2y＝0，圆C2：x2＋y2＋ky－2＝0，得圆C1与圆C2的公共弦所在直线方程为k（x＋y）－2y－2＝0，求得定点P（1，－1），又P（1，－1）在直线mx－ny－2＝0上，得m＋n＝2，即n＝2－m.所以mn＝（2－m）m＝－（m－1）2＋1，所以mn的取值范围是（－∞，1]. 14.已知圆A：x2＋（y＋1）2＝1，圆B：（x－4）2＋（y－3）2＝1. （1）过圆心A的直线l截圆B所得的弦长为，求直线l的斜率； （2）若动圆P同时平分圆A与圆B的周长. ①求动圆圆心P的轨迹方程； ②问动圆P是否过定点？若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由. 解：（1）由题意知，直线l的斜率存在，且圆心A（0，－1），设直线l的方程为y＝kx－1，由弦长可得圆心B（4，3）到直线l的距离为， 即＝，化简得12k2－25k＋12＝0，解得k＝或k＝. （2）①由已知可得PA＝PB，故圆心P在线段AB的中垂线上. ∵直线AB的斜率为1，∴圆心P所在直线的斜率为－1，且该直线过点（2，1），∴圆心P在直线x＋y－3＝0上.即动圆圆心P的轨迹方程为x＋y－3＝0. ②设P（m，3－m），则动圆P的半径为＝， ∴动圆P的方程为（x－m）2＋（y＋m－3）2＝m2＋（3－m＋1）2＋1， 即x2＋y2－6y－8－2m（x－y－1）＝0. 由 得或故动圆P过定点（2＋，1＋），（2－，1－）. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $