2.2 直线与圆的位置关系(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

本讲义聚焦高中数学“直线与圆的位置关系”核心知识点，系统梳理相交、相切、相离三种位置关系的定义及交点特征，详解几何法（圆心到直线距离与半径比较）和代数法（联立方程判别式）两种判断方法，衔接直线与圆的方程知识，为后续圆锥曲线学习搭建基础支架。 资料以“大漠孤烟直，长河落日圆”诗句创设情境，引导学生用数学眼光观察现实中的位置关系。通过一题多解（如位置关系判断的几何与代数方法）培养数学思维，强化逻辑推理与数学运算。课中例题解析与规律总结辅助教师教学，课后练习题及变式训练帮助学生查漏补缺，提升用数学语言解决问题的能力。

2.2　直线与圆的位置关系 课标 要求 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系（直观想象）. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.体会用代数方法处理几何问题的思想（数学运算、逻辑推理）. “大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象.如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察三幅太阳落山的图片. 【问题】　（1）图片中，地平线与太阳有怎样的位置关系？ （2）上述直线与圆的位置关系，怎样用代数方法表示？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 知识点　直线与圆的位置关系 1.直线与圆的三种位置关系 位置关系 交点个数 图示 相交 有　两个　公共点 相切 只有　一个　公共点 相离 　没有　公共点 2.直线与圆的位置关系的判断 位置关系 相交 相切 相离 判断方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d　＝　r d　＞　r 代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ＞0方程组有两组不同的解 Δ＝0方程组 仅有一组解 Δ＜0方程 组无解 【想一想】 1.若直线与圆只有一个公共点，则直线与圆一定相切吗？ 提示：一定. 2.若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离满足什么条件？ 提示：当直线与圆有公共点时，圆心到直线的距离小于或等于半径. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若直线与圆有公共点，则直线与圆相交.（　×　） （2）如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切.（　√　） （3）若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解.（　√　） （4）过圆外一点的直线与圆相离.（　×　） 2.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为（　　） A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离 解析：B　圆心（0，0）到直线y＝x＋1的距离d＝＝.因为0＜＜1，故直线与圆相交但直线不过圆心，选B. 3.直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m＝　2　. 解析：由于直线与圆相切，故＝，解得m＝0（舍去）或m＝2. 题型一　直线与圆位置关系的判断 〔一题多解〕（链接教科书第63页例1）已知直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝2，当b为何值时，直线与圆有两个公共点？只有一个公共点？没有公共点？ 解：法一（代数法）　由消去y得2x2＋2bx＋b2－2＝0， 判别式Δ＝（2b）2－4×2（b2－2）＝－4（b＋2）（b－2）. 当－2＜b＜2时，Δ＞0，直线与圆有两个公共点； 当b＝2或b＝－2时，Δ＝0，直线与圆只有一个公共点； 当b＜－2或b＞2时，Δ＜0，直线与圆没有公共点. 法二（几何法）　圆的半径r＝，圆心O（0，0）到直线y＝x＋b的距离为d＝. 当d＜r，｜b｜＜2，即－2＜b＜2时，直线与圆相交，直线与圆有两个公共点； 当d＝r，｜b｜＝2，即b＝2或b＝－2时，直线与圆相切，直线与圆只有一个公共点； 当d＞r，｜b｜＞2，即b＜－2或b＞2时，直线与圆相离，直线与圆没有公共点. 规律方法 判断直线与圆位置关系的方法 （1）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断； （2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断. 1.已知圆C： x2＋y2－4x＝0，l是过点P（3，0）的直线，则（　　） A.l与C相交 B.l与C相切 C.l与C相离 D.以上三个选项均有可能 解析：A　将点P（3，0）代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3＜0，∴点P（3，0）在圆内.∴过点P的直线l必与圆C相交. 2.若直线x－y＋1＝0与圆（x－a）2＋（y－1）2＝2没有公共点，则实数a的取值范围是（　　） A.（－∞，－）∪（，＋∞） B.（，＋∞） C.（－∞，－2）∪（2，＋∞） D.（2，＋∞） 解析：C　由题意得圆心坐标为（a，1），半径为，∴＞，∴｜a｜＞2，∴a＞2或a＜－2.∴实数a的取值范围是（－∞，－2）∪（2，＋∞）. 题型二　求圆的切线方程及切线长 （链接教科书第64页例2）过点M（2，4）向圆（x－1）2＋（y＋3）2＝1引切线，求其切线方程. 解：由于（2－1）2＋（4＋3）2＝50＞1，故点M在圆外. 当切线斜率存在时，设切线方程是y－4＝k（x－2）， 即kx－y＋4－2k＝0， 由于直线与圆相切，圆心为（1，－3），r＝1， 故＝1，解得k＝. 所以切线方程为24x－7y－20＝0. 又当切线斜率不存在时，直线x＝2与圆相切. 综上所述，所求切线方程为24x－7y－20＝0或x＝2. 【母题探究】 1.（变条件）若将本例中的点M的坐标改为（1，－2），其他条件不变，又如何求其切线方程？ 解：由于（1－1）2＋（－2＋3）2＝1，故点M在圆上， 设圆的圆心为C，则C（1，－3），显然CM的斜率不存在. 因为圆的切线垂直于经过切点的半径， 所以所求切线的斜率k＝0， 所以切线方程为y＝－2. 2.（变设问）若本例中的条件不变，如何求其切线长？ 解：由题知，设切线长为d， d＝＝＝7. 规律方法 1.过圆上一点（x0，y0）的切线方程的求法 先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程.如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0. 常用结论：①过圆x2＋y2＝r2上一点P（x0，y0）的切线方程为x0x＋y0y＝r2； ②过圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2上一点P（x0，y0）的切线方程为（x0－a）（x－a）＋（y0－b）（y－b）＝r2，若点P（x0，y0）在圆外，则上述方程为切点弦所在直线方程. 2.过圆外一点（x0，y0）的切线方程的求法 设切线方程为y－y0＝k（x－x0），由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，即得切线方程.当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条.一般不用联立方程组的方法求解. 3.求切线长（最值）的方法 根据圆的切线的几何性质求切线长问题，可转化为利用勾股定理求解；若求切线长最值问题可转化成圆心到直线的距离问题. 1.若直线x－y＋2＝0与圆O：（x－a）2＋y2＝2相切，则a＝（　　） A.0 B.－4或2 C.2 D.0或－4 解析：D　由圆O：（x－a）2＋y2＝2可得圆心O（a，0），半径r＝，因为直线x－y＋2＝0与圆O：（x－a）2＋y2＝2相切，所以圆心O（a，0）到直线x－y＋2＝0的距离d＝＝，整理可得｜a＋2｜＝2，所以a＝0或a＝－4，故选D. 2.由直线y＝x＋1上任一点向圆（x－3）2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为（　　） A.1　　　 B.2　　　 D.3 解析：C　圆心C（3，0）到y＝x＋1的距离d＝＝2.所以切线长的最小值为l＝＝. 题型三　弦长问题 〔一题多解〕（链接教科书第65页例3）求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长. 解：法一　由直线l与圆C的方程， 得消去y，得x2－3x＋2＝0. 设两交点坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2）， 由根与系数的关系有x1＋x2＝3，x1·x2＝2， AB＝ ＝ ＝＝. ∴弦长为. 法二　圆C：x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋（y－1）2＝5. 其圆心坐标为C（0，1），半径r＝，点C（0，1）到直线l的距离为d＝＝， ∴AB＝2＝， ∴弦长为. 规律方法 求弦长常用的3种方法 （1）利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系＋d2＝r2解题； （2）利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长； （3）利用弦长公式，设直线l：y＝kx＋b，与圆的两交点（x1，y1），（x2，y2），将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝｜x1－x2｜＝. 1.〔一题多解〕过圆x2＋y2＝8内的点P（－1，2）作直线l交圆于A，B两点，若直线l的倾斜角为π，则弦AB的长为　　. 解析：法一　设A（x1，y1），B（x2，y2）.由题意知直线l的方程为y－2＝－（x＋1），即x＋y－1＝0.由消去y，得2x2－2x－7＝0，所以x1＋x2＝1，x1x2＝－，所以AB＝·｜x1－x2｜＝·＝·＝（k为直线l的斜率）. 法二　由题意知直线l的方程为y－2＝－（x＋1），即x＋y－1＝0.圆心（0，0）到直线l的距离d＝＝，则有AB＝2×＝. 2.圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0截直线ax＋y－1＝0所得的弦长为2，则实数a＝　－　. 解析：圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0，即（x－1）2＋（y－4）2＝4，圆心为（1，4），半径r＝2.圆心到直线ax＋y－1＝0的距离是，则＝化简可得（a＋3）2＝a2＋1，解得a＝－. 1.直线l：x－y＝1与圆C：x2＋y2－4x＝0的位置关系是（　　） A.相离　　　　　　　　B.相切 C.相交 D.无法确定 解析：C　圆C的圆心为C（2，0），半径为2，圆心C到直线l的距离为d＝＝＜2，所以圆C与直线l相交. 2.已知圆的方程为x2＋y2＝1，则在y轴上截距为的切线方程为（　　） A.y＝x＋ B.y＝－x＋ C.y＝x＋或y＝－x＋ D.x＝1或y＝x＋ 解析：C　在y轴上截距为且斜率不存在的直线显然不是切线，故设切线方程为y＝kx＋，则＝1，所以k＝±1，故所求切线方程为y＝x＋或y＝－x＋. 3.求过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4x＝0所截得的弦长. 解：直线方程为y＝x，圆的方程为（x－2）2＋y2＝4， 圆心（2，0）到直线的距离为d＝＝， 弦长l＝2＝2＝2. 1.圆心为（3，0）且与直线x＋y＝0相切的圆的方程为（　　） A.（x－）2＋y2＝1 B.（x－3）2＋y2＝3 C.（x－）2＋y2＝3 D.（x－3）2＋y2＝9 解析：B　由题意知所求圆的半径r＝＝，故所求圆的方程为（x－3）2＋y2＝3，故选B. 2.〔一题多解〕直线x＋y＝0被圆x2＋y2－6x＋2y＋4＝0截得的弦长等于（　　） A.4 B.2 C.2 解析：A　法一　因为x2＋y2－6x＋2y＋4＝0，所以（x－3）2＋（y＋1）2＝6，圆心（3，－1）到直线x＋y＝0的距离为d＝＝，直线x＋y＝0被圆x2＋y2－6x＋2y＋4＝0截得的弦长l＝2＝4.故选A. 法二　设直线与圆交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，由消去y，得x2－4x＋2＝0，所以x1＋x2＝4，x1x2＝2，所以弦长AB＝×＝4. 3.若直线l：ax－by－4＝0与圆O：x2＋y2＝4相离，则点P（a，b）（　　） A.在圆O外 B.在圆O内 C.在圆O上 D.位置不确定 解析：B　若直线l：ax－by－4＝0与圆O：x2＋y2＝4相离，则点O到直线l的距离d＝＞2，即＜2.圆O：x2＋y2＝4，圆心O（0，0），半径r＝2，故PO＝＝＜2＝r，所以点P（a，b）在圆O内.故选B. 4.已知圆C与直线x＋y＋3＝0相切，直线mx＋y＋1＝0始终平分圆C的面积，则圆C的方程为（　　） A.x2＋y2－2y＝2 B.x2＋y2＋2y＝2 C.x2＋y2－2y＝1 D.x2＋y2＋2y＝1 解析：D　在直线mx＋y＋1＝0的方程中，令x＝0，得y＝－1，则直线mx＋y＋1＝0过定点（0，－1）.由于直线mx＋y＋1＝0始终平分圆C的面积，则点（0，－1）是圆C的圆心，又圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的半径r＝＝.因此，圆C的方程为x2＋（y＋1）2＝2，即x2＋y2＋2y＝1. 5.〔多选〕与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线方程为（　　） A.x＋y＝0 B.x－y＝0 C.x＝0 D.x＋y＝4 解析：ABD　圆C：x2＋y2－4x＋2＝0化为标准方程为（x－2）2＋y2＝2，即圆C是圆心为（2，0），半径为的圆.若所求直线过原点，可设所求直线为y＝kx，因为该直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即＝，解得k＝±1，所以y＝±x；若所求直线不过原点，因为该直线在两坐标轴上的截距相等，所以可设该直线方程为x＋y＝m（m≠0），因为该直线与圆相切，所以＝，解得m＝4或m＝0（舍），所以x＋y－4＝0.综上，满足条件的直线的方程为y＝x，y＝－x，x＋y－4＝0.故选A、B、D. 6.〔多选〕给定直线l：3x＋4y＝0和圆C：x2－4x＋y2＝m－5，则（　　） A.m的取值范围为（0，＋∞） B.当l与圆C相切时，m＝ C.当1＜m＜2时，l与圆C相离 D.当l与圆C相交时，m＞ 解析：BC　圆C：x2－4x＋y2＝m－5的标准方程为（x－2）2＋y2＝m－1，圆C的圆心为C（2，0），半径r＝，对于A：由r＝＞0，解得m＞1，故A错误；对于B：因为C（2，0）到直线l：3x＋4y＝0的距离为d＝＝，所以当l与圆C相切时，r＝＝，解得m＝，故B正确；对于C：当1＜m＜2时，0＜r＜1＜，所以l与圆C相离，故C正确；对于D：当l与圆C相交时，＞，解得m＞，故D错误.故选B、C. 7.已知圆（x－2）2＋y2＝9，则过点M（1，2）的最长弦与最短弦的弦长之和为　10　. 解析：设圆心为C，则C（2，0），过点M的弦为直径时，长度最长为2×3＝6，过点M的弦以M为中点且与CM垂直时，长度最短，最短为2＝2＝4，所以所求弦长之和为6＋4＝10. 8.直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0（a＜3）相交于A，B两点，若弦AB的中点为C（－2，3），则直线l的方程为　x－y＋5＝0　. 解析：由圆的一般方程可得圆心为M（－1，2）.由圆的性质易知M（－1，2）与C（－2，3）的连线与弦AB垂直，故有kAB×kMC＝－1⇒kAB＝1，故直线AB的方程为y－3＝x＋2，整理得x－y＋5＝0. 9.已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为　（x＋1）2＋y2＝2　. 解析：在x－y＋1＝0中，令y＝0得x＝－1，所以直线x－y＋1＝0与x轴的交点即圆心C的坐标为（－1，0）.因为直线x＋y＋3＝0与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即r＝＝，所以圆C的方程为（x＋1）2＋y2＝2. 10.已知圆C过点（1，1），圆心在x轴正半轴上，且与直线y＝x－4相切. （1）求圆C的标准方程； （2）已知过点P（1，3）的直线l交圆C于A，B两点，且AB＝2，求直线l的方程. 解：（1）由题意，设圆心坐标为C（a，0）（a＞0），由题意，得＝，解得a＝－6（舍）或a＝2，所以圆的半径为r＝＝，则圆C的标准方程为（x－2）2＋y2＝2. （2）若斜率不存在，则直线方程为x＝1，弦心距d＝1，半径为，则AB＝2＝2，符合题意； 若斜率存在，设直线方程为y－3＝k（x－1），即kx－y－k＋3＝0.弦心距d＝，得AB＝2＝2，解得k＝－， 故直线方程为y＝－x＋. 综上所述，直线l的方程为x＝1或y＝－x＋. 11.〔一题多解〕已知坐标原点到直线l的距离为2，且直线l与圆（x－3）2＋（y－4）2＝49相切，则满足条件的直线l有（　　） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析：A　法一　显然直线l存在斜率，设l：y＝kx＋b，则＝2，即b2＝4（k2＋1）①，又直线l与圆相切，所以＝7②，联立①②得，k＝－，b＝－，所以直线l的方程为y＝－x－.故满足条件的直线l只有一条. 法二　如图，设圆心为P（3，4），则OP＝5，又O到直线l的距离为2，且半径为7，P到l的距离为7，即当OP⊥l时符合题意，且只有这种情况符合题意，故满足条件的直线l只有一条. 12.（2026·宿迁质检）直线y＝x＋b与曲线x＝有且只有一个交点，则b满足（　　） A.｜b｜＝ B.－1＜b≤1或b＝－ C.－1≤b＜1 D.非以上答案 解析：B　曲线x＝含有限制条件，即x≥0，故曲线并非表示整个单位圆，仅仅是单位圆在y轴右侧（含与y轴的交点）的部分.在同一平面直角坐标系中，画出y＝x＋b与曲线x＝（即x2＋y2＝1，x≥0）的图象，如图所示.当直线与曲线相切时，b＝－，其他位置符合条件时需－1＜b≤1. 13.若圆M：x2＋y2－6x＋8y＝0上至少有3个点到直线l：y－1＝k（x－3）的距离为，则k的取值范围是　（－∞，－]∪[，＋∞）　. 解析：圆M的标准方程为（x－3）2＋（y＋4）2＝52，圆心M（3，－4），半径为5，要满足题意，由圆的几何性质得圆心M（3，－4）到直线l：y－1＝k（x－3）的距离不超过，则≤，即≤，解得k≥或k≤－，所以k的取值范围是（－∞，－]∪[，＋∞）. 14.如图，某公园内有一底面半径为2米的圆柱形建筑物，在其南面有一条东西走向的观景直道（图中用实线表示），建筑物的东西两侧有与直道平行的两段辅道（图中用虚线表示），观景直道与辅道相距5米.在建筑物底面中心O的北偏东45°方向且相距10米的点A处，有一台360°全景摄像头，其安装高度低于建筑物高度.请建立恰当的平面直角坐标系，并解决问题： （1）在西辅道上与建筑物底面中心O相距4米处有一游客，他是否在该摄像头的监控范围内？ （2）求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度. 解：（1）以O为原点，正东方向为x轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，则O（0，0），由题知OA＝10，∠AOx＝45°，则A（10，10），游客所在位置的坐标为（－4，0），记B（－4，0），则直线AB的方程为y＝（x＋4），即5x－7y＋20＝0，所以圆心O到直线AB的距离d＝＝＞＝2，所以直线AB与圆O相离，所以游客在该摄像头的监控范围内. （2）由图知，当过A的直线与圆O相切或相离时，摄像头不会被建筑物挡住，不妨设直线l过点A且和圆O相切， 若直线l垂直于x轴，则直线l不会和圆相切； 若直线l不垂直于x轴，设l：y－10＝k（x－10），整理得kx－y＋10－10k＝0，所以圆心O到直线l的距离为＝2，解得k＝或， 所以l：y－10＝（x－10）或y－10＝（x－10），即3x－4y＋10＝0或4x－3y－10＝0， 易知观景直道所在直线的方程为y＝－5，设两条与圆O相切的直线与直线y＝－5的交点分别为D，E，且D在E左侧， 由解得x＝－10， 由解得x＝－， 所以DE＝＝＝8.75，因此观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为8.75米. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $