2.1 第3课时 与圆有关的轨迹问题(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

本讲义聚焦高中数学“与圆有关的轨迹问题”核心知识点，系统梳理直接法、定义法、代入法三种求轨迹方程的方法，构建从圆的性质应用到轨迹方程推导的完整学习支架。 资料通过题型分类、规律总结与例题解析结合，培养学生数学思维中的推理能力和几何直观，如定义法利用圆的定义简化推导，代入法通过坐标转化强化模型意识。课中助力教师分层教学，课后练习题帮助学生巩固方法，查漏补缺。

第3课时　与圆有关的轨迹问题 题型一　直接法求轨迹方程 点B（1，1）是圆x2＋y2＝4内一点，P，Q为圆上的动点.若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程. 解：设线段PQ的中点N（x，y）， 在Rt△PBQ中，PN＝BN. 设O为坐标原点，连接ON（图略），则ON⊥PQ， ∴OP2＝ON2＋PN2＝ON2＋BN2， ∴x2＋y2＋（x－1）2＋（y－1）2＝4， 整理得x2＋y2－x－y－1＝0， ∴线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. 规律方法 直接法求轨迹方程的两种常见类型及解题策略 　　直接法求轨迹方程，就是设出动点的坐标（x，y），然后根据题目中的等量关系列出x，y之间的关系并化简.主要有以下两种常见类型： （1）题目给出等量关系，求轨迹方程：可直接代入，得出方程； （2）题中未明确给出等量关系，求轨迹方程：可利用已知条件寻找等量关系，得出方程. 提醒：求出曲线的方程后要注意验证方程的纯粹性和完备性. 已知动点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为，则动点M的轨迹方程为　x2＋y2＋2x－3＝0　. 解析：设动点M（x，y），∵动点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为，∴＝，化简得动点M的轨迹方程为x2＋y2＋2x－3＝0. 题型二　定义法求轨迹方程 由圆x2＋y2＝9外一点P（5，12）引圆的割线交圆于A，B两点，求弦AB的中点M的轨迹. 解：如图，∵点M是AB的中点，∴OM⊥AB，∴点M的轨迹是以OP为直径的圆，圆心为（ ，6），半径为＝.∴圆的方程为（ x－）2＋（y－6）2＝（ ）2，化简得x2＋y2－5x－12y＝0.故点M的轨迹为圆x2＋y2－5x－12y＝0在圆x2＋y2＝9内的部分. 规律方法 定义法求轨迹方程的策略 （1）当动点满足到定点的距离等于定长时，直接求圆心、半径得圆的方程； （2）注意轨迹与轨迹方程的区别. （2026·连云港月考）线段AB长度为4，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB中点的轨迹所围成图形的面积为（　　） A.2 B.4 C.2π D.4π 解析：D　∵OA⊥OB，设P为线段AB中点，∴OP＝AB＝2，设P（x，y），则＝2，即x2＋y2＝4.则线段AB中点的轨迹是以坐标原点为圆心，2为半径的圆，故线段AB中点的轨迹所围成图形的面积为4π.故选D. 题型三　代入法求轨迹方程 已知圆C：（x－3）2＋y2＝9，D是圆C上的动点，点E（2，4），若动点M满足＝2，则点M的轨迹方程为（　　） A.2x＋y＋3＝0 B.xy＝9 C.（x－1）2＋（y－8）2＝9 D.（x－8）2＋（y－1）2＝9 解析：C　设M（x，y），D（a，b），由＝2，得所以又因为点D在圆C：（x－3）2＋y2＝9上，所以（4－x－3）2＋（8－y）2＝9，即（x－1）2＋（y－8）2＝9，故选C. 规律方法 代入法求轨迹方程的步骤 （1）设动点P（x，y），相关动点M（x0，y0）； （2）利用条件求出两动点坐标之间的关系 （3）代入相关动点的轨迹方程； （4）化简、整理，得出所求轨迹方程. 其步骤可以总结为“一设、二找、三代、四化简”. 已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程. 解：以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系（如图）， 则A（－2，0），B（2，0），设C（x，y），BC的中点D（x0，y0）. ∴　① ∵AD＝3，∴（x0＋2）2＋＝9.　② 将①代入②，整理得（x＋6）2＋y2＝36. ∵点C不能在x轴上，∴y≠0. 综上，点C的轨迹是以（－6，0）为圆心，6为半径的圆，去掉（－12，0）和（0，0）两点. 轨迹方程为（x＋6）2＋y2＝36（y≠0）. 1.已知点A的坐标是（－1，0），点M满足MA＝2，那么点M的轨迹方程是（　　） A.x2＋y2＋2x－3＝0 B.x2＋y2－2x－3＝0 C.x2＋y2＋2y－3＝0 D.x2＋y2－2y－3＝0 解析：A　由A（－1，0），点M满足MA＝2，由圆的定义知，点M的轨迹为圆，其圆心为A（－1，0），半径r＝2，故其方程为（x＋1）2＋（y－0）2＝4，即x2＋y2＋2x－3＝0，故选A. 2.点P（4，－2）与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是（　　） A.（x－2）2＋（y＋1）2＝1 B.（x－2）2＋（y＋1）2＝4 C.（x＋4）2＋（y－2）2＝4 D.（x＋2）2＋（y－1）2＝1 解析：A　设圆上任一点为Q（x0，y0），PQ的中点为M（x，y），则解得因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以＋＝4，即（2x－4）2＋（2y＋2）2＝4，化简得（x－2）2＋（y＋1）2＝1. 3.已知动点M到点（8，0）的距离等于点M到点（2，0）的距离的2倍，则点M的轨迹方程是　x2＋y2＝16　. 解析：设M（x，y），则＝2，整理可得点M的轨迹方程为x2＋y2＝16. 1.已知圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝1过点A（1，0），则圆C的圆心的轨迹是（　　） A.点 B.直线 C.线段 D.圆 解析：D　由圆C的方程知，圆心C的坐标为（a，b），半径r＝1，因为A（1，0）为圆C上一点，所以AC＝＝1，即（a－1）2＋b2＝1，所以圆心C的轨迹是以点A为圆心，以1为半径的圆. 2.已知Rt△ABC的斜边为AB，且A（－1，0），B（3，0），则直角顶点C的轨迹方程为（　　） A.（x－1）2＋y2＝4 B.x2＋（y－1）2＝4 C.（x－1）2＋y2＝4（x≠3，且x≠－1） D.x2＋（y－1）2＝4（x≠3，且x≠－1） 解析：C　设AB的中点为D，由中点坐标公式，得D（1，0）.由直角三角形的性质，知CD＝AB＝2.由圆的定义，知动点C的轨迹是以D（1，0）为圆心，以2为半径长的圆（因为A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点）.设C（x，y），则直角顶点C的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝4（x≠3，且x≠－1）. 3.古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A，B的距离之比是常数λ（λ＞0，λ≠1）的点M的轨迹是圆.若两定点A，B的距离为3，动点M满足MA＝2MB，则点M的轨迹围成区域的面积为（　　） A.π B.2π C.3π D.4π 解析：D　以点A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（图略），则可取B（3，0）.设M（x，y），依题意有＝2，化简整理得，x2＋y2－8x＋12＝0，即（x－4）2＋y2＝4，故点M的轨迹为圆，该圆的面积为4π. 4.已知线段AB的端点B的坐标为（4，3），端点A在圆x2＋y2＝4上运动，则线段AB的中点M的轨迹所围成图形的面积为（　　） A.4π B.π C.π D. 解析：C　设线段AB的中点M（x，y），A（x0，y0），则即因为端点A在圆x2＋y2＝4上运动，所以＋＝4，即（2x－4）2＋（2y－3）2＝4，整理得：（x－2）2＋（y－）2＝1，所以点M的轨迹是圆心为（2，），半径为r＝1的圆.所以该圆的面积为S＝πr2＝π.故选C. 5.已知等腰三角形ABC的底边BC对应的顶点是A（4，2），底边的一个端点是B（3，5），则底边另一个端点C的轨迹方程是（　　） A.（x－4）2＋（y－2）2＝10 B.（x＋4）2＋（y－2）2＝10 C.（x－4）2＋（y－2）2＝10（x≠3，x≠5） D.（x＋4）2＋（y－2）2＝10（x≠3，x≠5） 解析：C　设C（x，y），由AB＝＝，得（x－4）2＋（y－2）2＝10，又点A，B，C组成三角形，所以点C不能在直线AB上，易得直线AB的方程为y＝－3x＋14，若C点在直线AB上，则C（x，－3x＋14），由AC＝＝，得x＝3或x＝5，故x≠3且x≠5，故选C. 6.〔多选〕如果点P的坐标（x，y）满足以下方程，则点P的轨迹是圆的有（　　） A.x2＋y2＝0 B.x2＋y2－2x＋4y＋6＝0 C.x2＋y2＋2ax－b2＝0（ab≠0） D.（θ为参数，r≠0） 解析：CD　对A，由圆的标准方程可知，r2≠0，所以方程x2＋y2＝0不表示圆，A错误；对B，由x2＋y2－2x＋4y＋6＝0，得（x－1）2＋（y＋2）2＝－1＜0，可知该方程不表示圆，B错误；对C，由x2＋y2＋2ax－b2＝0，得（x＋a）2＋y2＝a2＋b2，因为ab≠0，所以a≠0，b≠0，所以a2＋b2＞0，由圆的标准方程可知，该方程表示圆心为（－a，0），半径为的圆，C正确；对D，由（θ为参数，r≠0），得（x－a）2＋（y－b）2＝r2cos2θ＋r2sin2θ＝r2，因为r≠0，所以r2＞0，该方程表示圆心为（a，b），半径为｜r｜的圆，D正确.故选C、D. 7.（2026·连云港月考）已知圆O：x2＋y2＝4及一点P（－1，0），Q在圆O上运动一周，PQ的中点M形成轨迹C，则轨迹C的方程为　（x＋）2＋y2＝1　. 解析：设M（x，y），则Q（2x＋1，2y），因为Q在圆x2＋y2＝4上，所以（2x＋1）2＋4y2＝4，即（x＋）2＋y2＝1，所以轨迹C的方程是（x＋）2＋y2＝1. 8.圆x2＋y2＝8内有一点P（2，－1），AB为过点P的弦，则AB的中点Q的轨迹方程为　x2＋y2－2x＋y＝0　. 解析：设AB的中点为Q（x，y），若AB的斜率不存在，则Q（2，0），若AB的斜率为0，则Q（0，－1），若AB的斜率存在且不为0，则AB的斜率为k＝，又OQ⊥AB，所以kOQ·k＝－1，即·＝－1，整理得x2＋y2－2x＋y＝0，点（2，0），（0，－1）也满足，所以点Q的轨迹方程为x2＋y2－2x＋y＝0. 9.已知平面上到两直线y＝x与y＝kx的距离平方和为1的点的轨迹是一个圆，则实数k＝　－1　. 解析：设此点的坐标为（x，y），则依题意有（）2＋（）2＝1，化简得（＋）x2＋（＋）·y2－（＋1）xy＝1，此方程要表示圆，则＋1＝0，且＝，解得k＝－1. 10.已知线段AB的端点B在圆C1：x2＋（y－4）2＝16上运动，端点A的坐标为（4，0），线段AB的中点为M. （1）试求M点的轨迹C2的方程； （2）若圆C1与曲线C2交于C，D两点，试求线段CD的长. 解：（1）设M（x，y），B（x'，y'），则由题意可得解得 ∵点B在圆C1：x2＋（y－4）2＝16上， ∴（2x－4）2＋（2y－4）2＝16，即（x－2）2＋（y－2）2＝4. ∴M点的轨迹C2的方程为（x－2）2＋（y－2）2＝4. （2）由方程组得直线CD的方程为x－y－1＝0， 圆C1的圆心C1（0，4）到直线CD的距离d＝＝， 又圆C1的半径为4， ∴线段CD的长为2＝. 11.〔多选〕已知A，B是平面内两个定点，且AB＝6，则满足下列条件的动点P的轨迹为圆的是（　　） A.PA＋PB＝6 B.·＝－1 C.PA＝2PB D.PA2＋PB2＝18 解析：BC　PA＋PB＝6＝AB，显然P的轨迹是线段AB，故A错误；以AB中点O为原点，建立平面直角坐标系，设A（－3，0），B（3，0），设P（x，y），则＝（－3－x，－y），＝（3－x，－y），已知·＝－1，则x2＋y2＝8，所以点P的轨迹是圆，故B正确；由两点间距离公式得PA＝，PB＝，代入PA＝2PB中化简得x2－10x＋y2＋9＝0，即（x－5）2＋y2＝16，故P的轨迹是圆，故C正确；代入PA2＋PB2＝18中化简得x2＋y2＝0，显然P的轨迹是一个点，故D错误.故选B、C. 12.存在如下结论：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.现已知在平面直角坐标系中A（－2，0），B（2，0），动点P满足PA＝λPB（λ＞0），若点P的轨迹为一条直线，则λ＝　1　；若λ＝2，则点P的轨迹方程为　x2＋y2－x＋4＝0　. 解析：设P（x，y），由PA＝λPB（λ＞0），可得＝λ，两边平方，整理得点P的轨迹方程为（1－λ2）x2＋（1－λ2）y2＋4（1＋λ2）x＋4－4λ2＝0.若点P的轨迹为一条直线，则解得λ＝1或λ＝－1（舍去）.若λ＝2，则点P的轨迹方程为3x2＋3y2－20x＋12＝0，即x2＋y2－x＋4＝0. 13.如图所示，过圆O：x2＋y2＝4与y轴正半轴交点A作此圆的切线l，M为l上任一点，过M作圆O的另一条切线，切点为Q，则△MAQ垂心P的轨迹方程为　x2＋（y－2）2＝4（x≠0）　. 解析：连接OQ（图略），则由OQ⊥MQ，AP⊥MQ，得OQ∥AP.同理，OA∥PQ.又OA＝OQ，所以OAPQ为菱形，所以PA＝OA＝2.设P（x，y），Q（x0，y0），则又＋＝4，所以x2＋（y－2）2＝4（x≠0）. 14.已知点M（－2，0），N（1，0），点P（x，y）满足PM＝2PN. （1）求点P（x，y）的轨迹方程； （2）求PM＋PN的最大值. 解：（1）由PM＝2PN可知， ＝2，化简得（x－2）2＋y2＝4， 即点P（x，y）的轨迹为以C（2，0）为圆心，半径为2的圆，方程为（x－2）2＋y2＝4. （2）由题意可知，PN＝PM，所以PM＋PN＝PM， 点M（－2，0）在圆外，所以PM的最大值为MC＋r＝4＋2＝6， 所以PM＋PN的最大值为×6＝9. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $