2.1.3轨迹问题限时训练-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019） 选择性必修第一册

轨迹问题 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分 【基础巩固】 1．已知A，B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且AB＝6，若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是(　　) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝9 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝9 C．(x＋1)2＋(y－1)2＝9 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝9 2．已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，则圆C的圆心的轨迹是(　　) A．点 B．直线 C．线段 D．圆 3．在平面内，A(－a,0)，B(a,0)，C是动点，若·＝2，则点C的轨迹为(　　) A．线段 B．射线 C．圆 D．直线 4．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是(　　) A．x2＋y2＝4 B．x2－y2＝4 C．x2＋y2＝4(x≠±2) D．x2－y2＝4(x≠±2) 5．古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A，B的距离之比是常数λ(λ>0，λ≠1)的点M的轨迹是圆．若两定点A，B的距离为3，动点M满足MA＝2MB，则点M的轨迹围成区域的面积为(　　) A．π B．2π C．3π D．4π 6．已知等腰三角形ABC的底边BC对应的顶点是A(4,2)，底边的一个端点是B(3,5)，则底边另一个端点C的轨迹方程是(　　) A．(x－4)2＋(y－2)2＝10 B．(x＋4)2＋(y－2)2＝10 C．(x－4)2＋(y－2)2＝10(x≠3，x≠5) D．(x＋4)2＋(y－2)2＝10(x≠3，x≠5) 7．(5分)已知圆O：x2＋y2＝4及一点P(－1,0)，Q在圆O上运动一周，PQ的中点M形成轨迹C，则轨迹C的方程为__________________________． 8．(5分)圆x2＋y2＝8内有一点P(2，－1)，AB为过点P的弦，则AB的中点Q的轨迹方程为____________． 9．(10分)在边长为1的正方形ABCD中，边AB，BC上分别有一个动点Q，R，且BQ＝CR.求直线AR与DQ的交点P的轨迹方程． 10．(12分)已知圆C：x2＋y2－8x＋12＝0，点O是坐标原点，点A是圆C上一动点． (1)求线段OA的中点M的轨迹方程；(6分) (2)设P(x，y)是(1)中轨迹上一点，求的最大值和最小值．(6分) 【综合运用】 11．在等腰三角形ABC中，若一腰的两个端点分别是A(4,2)，B(－2,0)，A为顶点，则另一腰的一个端点C的轨迹方程是(　　) A．x2＋y2－8x－4y＝0 B．x2＋y2－8x－4y－20＝0(x≠－2，x≠10) C．x2＋y2＋8x＋4y－20＝0(x≠－2，x≠10) D．x2＋y2－8x－4y＋20＝0(x≠－2，x≠10) 12．已知定点P1(－1,0)，P2(1,0)，动点M满足MP1＝MP2，则构成△MP1P2面积的最大值是(　　) A. B．2 C. D．2 13．(5分)在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若|＋|＝||，则点C的轨迹为________________． 14．(5分)在平面直角坐标系xOy中，已知点P(2,4)，过点P的直线l与圆O：x2＋y2＝4交于不同的两点A，B.若线段AB的中点为M，则点M的轨迹方程为__________________． 【创新拓展】 15．(5分)树林的边界是直线l(如图CD所在的直线)，一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于l的垂线AC上的点A和点B处，AB＝BC＝a(a为正常数)，若兔子沿AD方向以速度2μ(μ为正常数)向树林逃跑，同时狼沿线段BM(M∈AD)方向以速度μ进行追击，若狼到达M处的时间不多于兔子到达M处的时间，狼就会吃掉兔子，则兔子的所有不幸点(即可能被狼吃掉的点)的区域面积S(a)＝________. 16． (13分)平面上有一条长度为定值k(k>0)的线段AB，到线段AB两个端点距离的平方和为k的点的轨迹是什么图形？说明理由． 轨迹问题 1．B　[设圆心M的坐标为(x，y)，则(x－1)2＋(y＋1)2＝2，即(x－1)2＋(y＋1)2＝9.] 2．D　[∵圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，∴(1－a)2＋(0－b)2＝1， ∴(a－1)2＋b2＝1， ∴圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1为半径的圆．] 3．C　[设C(x，y)， 所以＝(x＋a，y)，＝(x－a，y)， 由·＝2， 得(x－a)(x＋a)＋y2＝2， 即x2＋y2＝a2＋2，所以点C的轨迹为圆．] 4．C　[设P(x，y)，由条件知PM⊥PN，且PM，PN的斜率肯定存在，故kMP·kNP＝－1.即x2＋y2＝4，又当P，M，N三点共线时，不能构成三角形，所以x≠±2，即所求轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．] 5．D　[以点A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则可取B(3,0)．设M(x，y)，依题意有，＝2，化简整理得，x2＋y2－8x＋12＝0，即(x－4)2＋y2＝4，故点M的轨迹为圆，该圆的面积为4π.] 6．C　[设C(x，y)，由题意知，AB＝＝， 因为△ABC是以BC为底边的等腰三角形，于是有CA＝AB＝，即点C的轨迹是以A为圆心，为半径的圆，又点A，B，C构成三角形，即三点不可共线，则轨迹中需去掉点B(3,5)及点B关于点A对称的点(5，－1)，所以点C的轨迹方程为(x－4)2＋(y－2)2＝10(x≠3，x≠5)．] 7.2＋y2＝1 解析　设M(x，y)，则Q(2x＋1,2y)， 因为Q在圆x2＋y2＝4上， 所以(2x＋1)2＋4y2＝4，即2＋y2＝1， 所以轨迹C的方程是2＋y2＝1. 8．x2＋y2－2x＋y＝0 解析　设AB的中点为Q(x，y)， 若斜率存在且不为0， 则AB的斜率为k＝，又OQ⊥AB， 所以kOQ·k＝－1， 即·＝－1，整理得x2＋y2－2x＋y＝0， 点(2，－1)，(2,0)，(0,0)，(0，－1)也满足， 所以点Q的轨迹方程为x2＋y2－2x＋y＝0. 9．解　分别以AB，AD边所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系． 如图所示，则点A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)， 设动点P(x，y)，Q(t,0)(0≤t≤1)， 由BQ＝CR知，AQ＝BR，则R(1，t)． 当t≠0时，直线AR：y＝tx，① 直线DQ：＋y＝1，则1－y＝，② ①×②消去t，得y(1－y)＝tx·，化简得x2＋y2－y＝0. 当t＝0时，点P与原点重合，坐标(0,0)也满足上述方程． 故点P的轨迹方程为x2＋y2－y＝0. 10．解　(1)设M(x，y)，则A(2x,2y)，因为点A在圆C上，所以4x2＋4y2－16x＋12＝0，化简得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1. 所以点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1，它是圆心为D(2,0)，半径为1的圆． (2)设Q(0，－2)，所以＝PQ，由平面几何知识知， DQ－1≤PQ≤DQ＋1 ，又DQ＝2， 所以PQmin＝2－1，PQmax＝2＋1. 11．B　[设另一腰的一个端点C的坐标为(x，y)，由题设条件知AC＝AB，即(x－4)2＋(y－2)2＝(4＋2)2＋(2＋0)2，x≠10，x≠－2. 整理，得x2＋y2－8x－4y－20＝0(x≠－2，x≠10)，即为端点C的轨迹方程．] 12．B　[设M(x，y)，由MP1＝MP2, 可得＝·， 化简得(x－3)2＋y2＝8， 即M在以(3,0)为圆心，2为半径的圆上运动， 又＝P1P2·|yM|＝|yM|≤2， 即△MP1P2面积的最大值是2.] 13．以线段AB为直径的圆 解析　当点C与点A，B均不重合时， 设O为线段AB的中点， 则＋＝2. 因为|＋|＝||，所以||＝2||， 所以||＝||，所以AC⊥BC， 当点C与点A或B重合时也满足|＋|＝||，所以点C的轨迹为以线段AB为直径的圆． 14．(x－1)2＋(y－2)2＝5 解析　设点M(x，y)， ∵M是线段AB的中点， ∴MO⊥MP， 又∵＝(x，y)， ＝(x－2，y－4)， ∴x(x－2)＋y(y－4)＝0， 即x2＋y2－2x－4y＝0， 联立解得或 又∵M在圆O的内部， ∴点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－2)2＝5. 15.π 解析　建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,2a)，B(0，a)，设M(x，y)， 由≤，得 2≤，整理得x2＋2≤， ∴M在以为圆心，以a为半径的圆上及圆的内部， ∴S(a)＝π×2＝π. 16．解　如图以直线AB为x轴，线段AB的中点为原点，建立平面直角坐标系，则A，B，设P(x，y)为曲线上的任意一点， 因为点P到线段AB两个端点距离的平方和为k， 所以PA2＋PB2＝k，即2＋y2＋2＋y2＝k， 化简可得x2＋y2＝， 当0<k<2时，>0，曲线x2＋y2＝的轨迹为以原点为圆心，以为半径的圆， 当k＝2时，＝0，曲线x2＋y2＝的轨迹为点(0,0)， 当k>2时，<0，曲线x2＋y2＝的轨迹不存在． 学科网（北京）股份有限公司 $$