2.1 第1课时 圆的标准方程(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

该高中数学课件聚焦“圆的标准方程”第一课时，核心知识点包括圆的定义、标准方程及点与圆的位置关系。课堂以“月亮坐标方程”情境导入，从生活现象抽象出圆的几何要素，通过新知初探、提醒与想一想搭建从定义到方程的认知支架，衔接点与圆位置关系的判断方法。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，情境导入引导学生用数学眼光观察现实世界，典例研析中一题多解（如待定系数法与几何法求圆方程）培养数学思维，赵州桥问题等实际应用则强化用数学语言表达现实问题。采用情境教学与分层训练，学生能提升直观想象和数学运算素养，教师可依托系统资源优化教学流程。

2.1　圆的方程 第二章　圆与方程 1 课标要求 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标 准方程与一般方程（直观想象、数学运算）. 第1课时　圆的标准方程 第二章　圆与方程 3 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 5 　　月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮，在文学作品中也大量描写、吟咏月亮.有诗道：“明月四时好，何事喜中秋？瑶台宝鉴，宜挂玉宇最高头.放出白毫千丈，散作太虚一色，万象入吾眸.星斗避光彩，风露助清幽.” 【问题】　如果把天空看作一个平面，在上面建立一个平面直角坐标系， 那么月亮的坐标方程如何表示？ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 知识点一　圆的标准方程 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 提醒：（1）当圆心在坐标原点时，圆的方程为x2＋y2＝r2；（2）相同的 圆，建立的坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径 是不变的；（3）圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 【想一想】 若方程（x＋a）2＋（y＋b）2＝m2表示圆，则该圆的圆心坐标和圆的半 径各是什么？ 提示：圆心坐标为（－a，－b），半径为｜m｜（｜m｜＞0）. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 知识点二　点与圆的位置关系 点M（x0，y0）与圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2的位置关系及判断 方法 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点M在圆上 CM＝r （x0－a）2＋（y0－b）2＝r2 点M在圆外 CM＞r （x0－a）2＋（y0－b）2＞r2 点M在圆内 CM＜r （x0－a）2＋（y0－b）2＜r2 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）方程（x－a）2＋（y－b）2＝m2一定表示圆. （　×　） （2）确定一个圆的几何要素是圆心和半径. （　√　） （3）圆（x＋1）2＋（y＋2）2＝4的圆心坐标是（1，2），半径是4. （　×　） × √ × 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 圆心为（－2，3），半径为2的圆的方程是（　　） A. （x－2）2＋（y＋3）2＝2 B. （x＋2）2＋（y－3）2＝4 C. （x＋2）2＋（y－3）2＝2 D. （x－2）2＋（y＋3）2＝4 解析：　因为圆心为（－2，3），半径为2，所以圆的标准方程为（x＋ 2）2＋（y－3）2＝4.故选B. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. 点P（1，3）与以A（2，－1）为圆心，半径为5的圆的位置关系为 （　　） A. 点P在圆上 B. 点P在圆内 C. 点P在圆外 D. 无法确定 解析：∵AP＝ ＝ ＜5，∴点P在圆A的内部. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 典例研析>> 目录 14 题型一　求圆的标准方程 （链接教科书第56页例1）（1）与y轴相切，且圆心坐标为（－5，－ 3）的圆的标准方程为 ⁠； 解析：∵圆心坐标为（－5，－3），又与y轴相切，∴该圆的半径为5， ∴该圆的标准方程为（x＋5）2＋（y＋3）2＝25. （x＋5）2＋（y＋3）2＝25 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （2）〔一题多解〕求经过点P（1，1）和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y＋1＝0上的圆的标准方程. 解：法一（待定系数法）　设圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝ r2，则有 解得 ∴圆的标准方程是（x－4）2＋（y＋3）2＝25. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 法二（几何法）　由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线的方程为x＋y－ 1＝0. ∵弦的垂直平分线过圆心， ∴由 得 即圆心坐标为（4，－3），半径r＝ ＝5. ∴圆的标准方程是（x－4）2＋（y＋3）2＝25. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 规律方法 求圆的标准方程的两种方法 （1）待定系数法求圆的标准方程的一般步骤 （2）几何法：即利用平面几何知识，求出圆心和半径，然后写出圆的标 准方程. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 1. 圆心在y轴上，半径为5，且过点（3，－4），则圆的标准方程为 ⁠ ⁠. 解析：设圆心为C（0，b），则（3－0）2＋（－4－b）2＝52，∴b＝0或 b＝－8，∴圆心为（0，0）或（0，－8），又r＝5，∴圆的标准方程为x2 ＋y2＝25或x2＋（y＋8）2＝25. x2 ＋y2＝25或x2＋（y＋8）2＝25 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 〔一题多解〕已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，5），B（1， －2），C（－3，－4），求该三角形的外接圆的方程. 解：法一　设所求圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2. 因为A（0，5），B（1，－2），C（－3，－4）都在圆上，所以它们的 坐标都满足圆的标准方程， 于是有 解得 故所求圆的标准方程是（x＋3）2＋（y－1）2＝25. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 法二　因为A（0，5），B（1，－2），所以线段AB的中点的坐标为 ， 直线AB的斜率kAB＝ ＝－7，因此线段AB的垂直平分线的方程是y－ ＝ ，即x－7y＋10＝0. 同理可得线段BC的垂直平分线的方程是2x＋y＋5＝0. 由 得圆心的坐标为（－3，1）， 又圆的半径长r＝ ＝5， 故所求圆的标准方程是（x＋3）2＋（y－1）2＝25. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 题型二　点与圆的位置关系 （链接教科书第61页练习5题）（1）已知a，b是方程x2－x－ ＝0 的两个不相等的实数根，则点P（a，b）与圆C：x2＋y2＝8的位置关系 是（　A　） A. 点P在圆C内 B. 点P在圆C外 C. 点P在圆C上 D. 无法确定 解析：由题意，得a＋b＝1，ab＝－ ，∴a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝ 1＋2 ＜8，∴点P在圆C内. A 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （2）已知点P（2，1）和圆C：（ x＋ ）2＋（y－1）2＝1，若点P在圆 C上，则实数a＝ ；若点P在圆C外，则实数a的取值范围 为 ⁠. 解析：由圆C的方程为（ x＋ ）2＋（y－1）2＝1，当点P在圆C上时， 由（ 2＋ ）2＋（1－1）2＝1，解得a＝－2或a＝－6.当点P在圆C外 时，由（ 2＋ ）2＋（1－1）2＞1，解得a＜－6或a＞－2. －2或－6 a＜－6或a＞－2 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 规律方法 判断点与圆位置关系的两种方法 （1）几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小； （2）代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，比较式子两边的大小，并 作出判断. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 已知点（a＋1，a－1）在圆x2＋（y－a）2＝a2＋4外，则实数a的取值 范围为（　　） A. （－∞，1） B. （1，＋∞） C. （0，1） D. （ ，＋∞） 解析：圆x2＋（y－a）2＝a2＋4的圆心为（0，a），半径r＝ ，因为点（a＋1，a－1）在圆x2＋（y－a）2＝a2＋4外，所以点（a＋1，a－1）到圆心（0，a）的距离大于半径，即 ＞ ，解得a＞1，故a的取值范围为（1，＋∞）. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 题型三　圆的标准方程的实际应用 （链接教科书第56页例2）赵州桥位于我国河北省，是我国现存最 早、保存最好的巨大石拱桥.如图所示，赵州桥是一座空腹式的圆弧形石 拱桥，利用解析几何的方法，用赵州桥的跨度a和圆拱高b表示出赵州桥 圆弧所在圆的半径. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解：作出示意图如图所示，其中AB表示跨度，O为AB中点，OC为圆拱 高.以O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，根据已知条件 有B ，C（0，b）. 可以看出，圆弧所在圆的圆心在y轴上，因此可设圆心的 坐标为（0，t），半径为r，因为点B，C都在圆上， 所以 由此可解得r＝ . 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 规律方法 求与圆的方程有关的实际应用问题的解题步骤 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m.现有一船，宽10 m，水面以上高3m， 这条船能否从桥下通过？ 解：建立如图所示的坐标系，使圆心C在y轴上.依题意，有A（－10， 0），B（10，0），P（0，4），D（－5，0），E（5，0）. 设这座圆拱桥的拱圆的方程是（x－a）2＋（y－b）2＝r2， 于是有 解得 所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x2＋（y＋10.5）2＝ 14.52（0≤y≤4）.把点D的横坐标x＝－5代入上式， 得y≈3.1.由于船在水面以上高3 m，3＜3.1，所以该船可以从桥下通过. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 1. 圆C：（x－2）2＋（y＋1）2＝3的圆心坐标为（　　） A. （2，1） B. （2，－1） C. （－2，1） D. （－2，－1） 解析：　结合圆的标准方程可知，圆C的圆心坐标为（2，－1）. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 点P（m，5）与圆x2＋y2＝24的位置关系是（　　） A. 在圆外 B. 在圆内 C. 在圆上 D. 不确定 解析：　因为m2＋25＞24，所以点P在圆外. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. （2026·盐城月考）以两点A（－3，－1）和B（5，5）为直径端点的 圆的标准方程是 ⁠. 解析：∵AB为直径，∴AB的中点（1，2）为圆心， AB＝ ＝5为半径，∴该圆的标准方程为（x－1）2＋ （y－2）2＝25. （x－1）2＋（y－2）2＝25　 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 4. 如图是一个圆曲隧道的截面，点O为截面圆的圆心，若路面AB宽为10 m，净高CD为7 m，则此隧道圆的半径是 m. 解析：∵OD⊥AB，∴AD＝DB＝ AB＝ ×10＝5（m），在Rt△OAD 中，设半径OA＝R m，则OD＝CD－R＝7－R，∴OA2＝OD2＋AD2， 即R2＝（7－R）2＋52，解得R＝ .∴此隧道圆的半径是 m. ​ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 课时作业 >> 目录 34 1. 以（1，－1）为圆心，2为半径的圆的标准方程为（　　） A. （x－1）2＋（y＋1）2＝4 B. （x－1）2＋（y＋1）2＝2 C. （x－1）2＋（y－1）2＝2 D. （x＋1）2＋（y＋1）2＝4 解析：　由圆的标准方程知（x－1）2＋（y＋1）2＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 若直线x＋y＋a＝0过圆（x－1）2＋（y＋2）2＝2的圆心，则实数a的 值为（　　） A. －1 B. 1 C. 0 D. 2 解析：由圆的标准方程（x－1）2＋（y＋2）2＝2，可得圆心坐标为（1，－2），因为直线x＋y＋a＝0过圆心（1，－2），所以1－2＋a＝0，解得a＝1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. 已知圆M过点O（0，0），A（2，0），B（2，－2），则圆M的标准 方程是（　　） A. （x－1）2＋（y＋1）2＝2 B. （x－1）2＋（y－1）2＝2 C. （x＋1）2＋（y＋1）2＝2 D. （x＋1）2＋（y－1）2＝2 解析： 　由点O（0，0），A（2，0）在圆M上，故圆心在直线x＝1 上，由点A（2，0），B（2，－2）在圆M上，故圆心在直线y＝－1上， 即圆心M（1，－1），半径r＝ ＝ ，故方程为（x－1）2＋（y ＋1）2＝2，故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 4. 已知圆（x－a）2＋（y－1）2＝2a（0＜a＜1），则原点O在（　　） A. 圆内 B. 圆外 C. 圆上 D. 圆上或圆外 解析：　由圆的标准方程（x－a）2＋（y－1）2＝2a，知圆心为（a， 1），则原点与圆心的距离为 .∵0＜a＜1，∴ ＞ ＝ r，即原点在圆外. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 5. 〔多选〕以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个 交点的圆的标准方程可能为（　　） A. x2＋（y－4）2＝20 B. （x－4）2＋y2＝20 C. x2＋（y－2）2＝20 D. （x－2）2＋y2＝20 解析：令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝2.所以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的交点分别为A（0，4），B（2，0），AB＝ ＝2 ，以A为圆心，过B点的圆的标准方程为x2＋（y－4）2＝20.以B为圆心，过A点的圆的标准方程为（x－2）2＋y2＝20. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 6. 〔多选〕已知直线l：ax－y＋b＝0，圆M：（x－a）2＋（y＋b）2 ＝a2＋b2，则l与M在同一平面直角坐标系中的图形可能是（　　） 解析：圆M的圆心为（a，－b），且过原点，可排除A项；B项中由直线l可知，a＞0，b＜0，∴圆心（a，－b）在第一象限，满足条件；C项中由直线l可知a＜0，b＞0，∴圆心（a，－b）在第三象限，满足条件；D项中由直线l可知a＜0，b＜0，∴圆心（a，－b）在第二象限，与图形不符.故选B、C. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 7. 写出符合条件：圆心在直线y＝x＋1上，且与x轴相切的一个圆的标准 方程为 ⁠. 解析：设圆心为（1，2），满足圆心在直线y＝x＋1上，半径为2，满足圆 心（1，2）到x轴的距离等于半径，所以圆的标准方程为（x－1）2＋（y －2）2＝4. （x－1）2＋（y－2）2＝4（答案不唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 8. 与圆C：（x－1）2＋y2＝36同圆心，且面积等于圆C面积的一半的圆 的标准方程为 ⁠. 解析：圆C的半径R＝6，设所求圆的半径为r，则 ＝ ，所以r2＝18， 又圆心坐标为（1，0），则所求圆的标准方程为（x－1）2＋y2＝18. （x－1）2＋y2＝18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 9. 已知三点A（3，2），B（5，－3），C（－1，3），以点P（2，－ 1）为圆心作一个圆，使A，B，C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点 在圆内，则这个圆的标准方程为 ⁠. 解析：要使A，B，C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，则 圆的半径是PA，PB，PC中的中间值.因为PA＝ ，PB＝ ，PC＝ 5，所以PA＜PB＜PC，所以圆的半径r＝PB＝ .故所求圆的标准方 程为（x－2）2＋（y＋1）2＝13. （x－2）2＋（y＋1）2＝13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 10. 〔一题多解〕已知圆过点A（1，－2），B（－1，4）. （1）求周长最小的圆的方程； 解：当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即圆心为线段AB的中点（0，1），半径r＝ AB＝ . 则所求圆的方程为x2＋（y－1）2＝10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （2）求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程. 解：法一　直线AB的斜率k＝ ＝－3，故线段AB的垂直平分线的方程是y－1＝ x，即x－3y＋3＝0. 由 解得 即圆心的坐标是（3，2）. ∴r2＝（3－1）2＋（2＋2）2＝20. ∴所求圆的方程是（x－3）2＋（y－2）2＝20. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 法二　设圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2. 则 ⇒ ∴所求圆的方程为（x－3）2＋（y－2）2＝20. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 11. （2026·南通月考）若圆C与圆（x＋2）2＋（y－1）2＝1关于原点对 称，则圆C的方程是（　　） A. （x－2）2＋（y＋1）2＝1 B. （x－2）2＋（y－1）2＝1 C. （x－1）2＋（y＋2）2＝1 D. （x＋1）2＋（y－2）2＝1 解析：由两圆关于原点对称可知圆C的圆心坐标为（2，－1），半径为1，所以圆C的方程为（x－2）2＋（y＋1）2＝1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 12. 〔多选〕（2026·扬州月考）设圆Ck：（x－k）2＋（y－k）2＝4 （k∈R），则下列说法正确的是（　　） A. 无论k如何变化，圆心Ck都在一条直线上 B. 所有圆Ck均不经过点（3，0） C. 经过点（2，2）的圆Ck有且只有一个 D. 所有圆Ck的面积均为4π √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解析：易知圆心Ck（k，k）在直线y＝x上，∴A中说法正确；令（3－k）2＋（0－k）2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4＜0，∴方程2k2－6k＋5＝0无解，∴B中说法正确；令（2－k）2＋（2－k）2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8＞0，∴k2－4k＋2＝0有两个不相等的实数根，∴经过点（2，2）的圆Ck有两个，∴C中说法错误；易知圆Ck的半径为2，∴圆Ck的面积为4π，∴D中说法正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 13. 若圆C与x轴和y轴均相切，且过点（1，2），则圆C的半径长为 ⁠ ⁠. 解析：根据题意，若圆C与x轴和y轴均相切，则圆心C在直线y＝x或y＝ －x上，当圆心C在y＝x上时，设圆心C的坐标为（a，a），此时圆的 标准方程为（x－a）2＋（y－a）2＝a2，将（1，2）代入可得（1－a）2 ＋（2－a）2＝a2，即a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，此时圆的半径长 为1或5；当圆心C在y＝－x上时，设圆心C的坐标为（a，－a），此时 圆的标准方程为（x－a）2＋（y＋a）2＝a2，将（1，2）代入可得（1－ a）2＋（2＋a）2＝a2，即a2＋2a＋5＝0，方程无解，综上所述，圆的半 径长为1或5. 1 或5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 14. 已知圆C：（x－3）2＋（y－4）2＝1，点A（0，－1），B（0， 1），设P是圆C上的动点，令d＝PA2＋PB2，求d的最大值及最小值. 解：设P（x，y），则d＝PA2＋PB2＝2（x2＋y2）＋2. ∵CO2＝32＋42＝25， ∴（5－1）2≤x2＋y2≤（5＋1）2， 即16≤x2＋y2≤36. ∴d的最小值为2×16＋2＝34， 最大值为2×36＋2＝74. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 $