2.1 第2课时 圆的一般方程(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

本讲义聚焦圆的一般方程核心知识点，从圆的标准方程展开入手，系统梳理一般方程的概念、表示圆的条件（D²+E²-4F>0）、圆心（-D/2,-E/2）与半径公式，构建从标准到一般的知识学习支架。 资料以问题驱动设计，通过“展开标准方程”“判断方程是否为圆”等问题培养数学眼光，一题多解（如配方与公式法辨析圆）提升数学思维，规律方法总结助力数学语言表达。课中便于教师引导探究，课后练习题覆盖基础与拓展，帮助学生查漏补缺。

第2课时　圆的一般方程 　　在上一节，我们已经知道圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2. 【问题】　（1）如果把圆的标准方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2中的括号展开、整理之后，得到的方程形式是什么样的？是否所有圆的方程都能化成这种形式？ （2）形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程，它一定表示圆吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　 知识点　圆的一般方程 1.概念：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（　D2＋E2－4F＞0　）叫作圆的一般方程. 2.圆的一般方程对应的圆心和半径 圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）表示的圆的圆心为　　，半径长为　　. 提醒：圆的一般方程具有的特点：①x2，y2项的系数均为1；②没有xy项；③只有D2＋E2－4F＞0时才表示圆. 【想一想】 圆上的点组成的点集和它的方程的解集之间有怎样的关系？ 提示：圆上任一点的坐标都是其方程的解，反过来，以方程的任一解为坐标的点都在圆上. 　　 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）圆的一般方程可以化为圆的标准方程.（　√　） （2）方程x2＋y2＋x＋1＝0表示一个圆.（　×　） （3）二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程.（　×　） （4）若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.（　√　） 2.圆x2＋y2－2x－6y＝0的圆心坐标为（　　） A.（－1，－3）　　　B.（－1，3） C.（1，3） D.（1，－3） 解析：C　圆x2＋y2－2x－6y＝0即（x－1）2＋（y－3）2＝10，则圆心为（1，3），故选C. 3.方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一个圆，则实数k的取值范围为（　　） A. B. C. 解析：A　方程表示圆⇔1＋1－4k＞0⇔k＜. 4.已知方程x2＋y2－2x＋2＋k＝0表示半径为1的圆，求实数k的值. 解：由题设知（x－1）2＋y2＝－（1＋k）表示半径为1的圆，所以－（1＋k）＝1⇒k＝－2. 题型一　圆的一般方程的辨析 〔一题多解〕（链接教科书第61页练习4题）判断下列二元二次方程是否表示圆.如果是，请求出圆的圆心坐标及半径. （1）x2＋y2－4y＝0； 解：方程可变形为x2＋（y－2）2＝4，表示圆心坐标是（0，2），半径是2的圆. （2）x2＋y2－4ax－2ay＋6a2＝0； 解：方程可变形为（x－2a）2＋（y－a）2＝a2. 当a＝0时，方程表示点（0，0），不表示圆；当a≠0时，方程表示圆心坐标是（2a，a），半径是｜a｜的圆. （3）4x2＋4y2－4x＋12y＋11＝0. 解：方程可变形为x2＋y2－x＋3y＋＝0， 法一　由D2＋E2－4F＝（－1）2＋32－4×＝－1＜0，不表示任何图形. 法二　方程可变形为（x－）2＋（y＋）2＝－，故方程不表示任何图形. 规律方法 二元二次方程表示圆的判断方法 　　任何一个圆的方程都可化为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式，但形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程不一定表示圆.判断它是否表示圆可以有以下两种方法： （1）计算D2＋E2－4F，若其值为正，则表示圆；若其值为0，则表示一个点；若其值为负，则不表示任何图形； （2）将该方程配方为（x＋）2＋（y＋）2＝，根据圆的标准方程来判断. 1.〔多选〕已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0的直径为4，则（　　） A.m＝－1 B.m＝1 C.圆心为（－1，－2） D.圆心为（1，－2） 解析：BD　根据题意，圆C：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0，即（x－1）2＋（y＋2）2＝5－m，其圆心为（1，－2），半径为，若其直径为4，则＝2，解得m＝1.故选B、D. 2.若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0（a≠0）表示圆，则圆心坐标和半径分别为　（ －，）　，　　. 解析：方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0（a≠0），可化为（ x＋）2＋（ y－）2＝，故圆心坐标为（ －，），半径为. 题型二　求圆的一般方程 （链接教科书第58页例3）求满足下列条件的圆的方程： （1）过点A（－4，0），B（0，2）和原点； 解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由已知条件得解得 故所求圆的方程为x2＋y2＋4x－2y＝0. （2）〔一题多解〕圆心在直线y＝x上，与x轴相交于（－1，0），（3，0）两点. 解：法一　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为（－，－）. 因为圆心在直线y＝x上，且圆过（－1，0），（3，0）两点， 所以解得 所以圆的方程为x2＋y2－2x－2y－3＝0. 法二　因为圆与x轴相交于（－1，0），（3，0）两点， 所以圆心在直线x＝1上. 又圆心在直线y＝x上，所以圆心坐标为（1，1）. 所以圆的半径为＝， 所以圆的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝5. 规律方法 待定系数法求圆的一般方程的步骤 （1）根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0； （2）根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组； （3）解此方程组，求出D，E，F的值； （4）将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程. （2026·南通月考）已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0的圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为，求圆C的一般方程. 解：由题意得圆心C（－，－）， 因为圆心在直线x＋y－1＝0上， 所以－－－1＝0，即D＋E＝－2，　① 又半径r＝＝， 所以D2＋E2＝20，　② 由①②可得或 又圆心在第二象限，所以－＜0，即D＞0. 所以所以圆C的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. 题型三　与圆有关的对称问题 （链接教科书第62页习题11题）（1）与圆C：x2＋y2－6x＋12y－36＝0关于点A（－1，2）对称的圆的方程为（　A　） A.（x＋5）2＋（y－10）2＝81 B.（x－5）2＋（y＋10）2＝81 C.（x＋5）2＋（y＋10）2＝81 D.（x－5）2＋（y－10）2＝81 解析：将圆C的一般方程化为标准方程为（x－3）2＋（y＋6）2＝81，即圆心为C（3，－6），半径为9.设圆C'与圆C关于点A（－1，2）对称，则点C'与点C关于点A（－1，2）对称.即C'（－5，10），半径不变.故圆C'的方程为（x＋5）2＋（y－10）2＝81. （2）已知圆x2＋y2＋ax＋by＋1＝0关于直线x＋y＝1对称的圆的方程为x2＋y2＝1，则a＋b＝　－4　. 解析：圆x2＋y2＝1的圆心是坐标原点O（0，0），半径为1，易得点O（0，0）关于直线x＋y＝1对称的点的坐标为（1，1），所以圆x2＋y2＝1关于直线x＋y＝1对称的圆的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝1，化为一般式为x2＋y2－2x－2y＋1＝0，所以a＝b＝－2，即a＋b＝－4. 规律方法 与圆有关的对称问题的求解思路 （1）两圆关于一点对称：①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置；②两圆关于点对称，则此点为两圆圆心连线的中点； （2）两圆关于直线对称：①求已知圆关于某直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置；②两圆关于直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线. 圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b的取值范围是　（－∞，4）　. 解析：由题意可得圆的方程为（x－1）2＋（y＋3）2＝10－5a，故圆心为（1，－3），半径为，由题意可得，圆心（1，－3）在直线y＝x＋2b上，∴－3＝1＋2b，且10－5a＞0，∴b＝－2，a＜2，∴a－b＜4. 1.方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是（　　） A.一个点 B.一个圆 C.一条直线 D.不存在 解析：A　方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即（x－1）2＋（y＋2）2＝0，则方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示点（1，－2）. 2.〔一题多解〕若方程x2＋y2－2y－m＝0表示的图形是圆，则实数m的取值范围为（　　） A.（－∞，1） B.（1，＋∞） C.（－∞，－1） D.（－1，＋∞） 解析：D　法一　因为方程表示的图形是圆，所以4＋4m＞0，解得m＞－1.故实数m的取值范围为（－1，＋∞）. 法二　方程x2＋y2－2y－m＝0可化为x2＋（y－1）2＝m＋1，因为方程表示的图形是圆，所以m＋1＞0，解得m＞－1.故实数m的取值范围为（－1，＋∞）.故选D. 3.若圆x2＋y2－2kx＋2y－4＝0关于直线2x－y＋3＝0对称，则实数k＝　－2　. 解析：由条件可知，直线2x－y＋3＝0经过圆的圆心（k，－1），则2k－（－1）＋3＝0，解得k＝－2. 4.求圆心在直线2x－y－3＝0上，且过点（5，2）和（3，－2）的圆的一般方程. 解：设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则圆心为. ∵圆心在直线2x－y－3＝0上， ∴2×－－3＝0.　① 又∵点（5，2）和（3，－2）在圆上， ∴52＋22＋5D＋2E＋F＝0.　② 32＋（－2）2＋3D－2E＋F＝0.　③ 解①②③组成的方程组，得D＝－4，E＝－2，F＝－5. ∴所求圆的一般方程为x2＋y2－4x－2y－5＝0. 1.圆的方程为（x－1）（x＋2）＋（y－2）（y＋4）＝0，则圆心坐标为（　　） A.（1，－1） B. C.（－1，2） D. 解析：D　将圆的方程化为标准方程，得＋（y＋1）2＝，所以圆心坐标为. 2.已知圆C的圆心坐标为（2，－3），且点（－1，－1）在圆上，则圆C的方程为（　　） A.x2＋y2－4x＋6y＋8＝0　 B.x2＋y2－4x＋6y－8＝0 C.x2＋y2－4x－6y＝0 D.x2＋y2－4x＋6y＝0 解析：D　易知圆C的半径为，所以圆C的标准方程为（x－2）2＋（y＋3）2＝13，展开得一般方程为x2＋y2－4x＋6y＝0. 3.（2026·镇江月考）若a∈{－2，0，1，}，则方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圆的个数为（　　） A.0　　　　B.1 C.2　　 　　D.3 解析：B　若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a2＋（2a）2－4（2a2＋a－1）＞0，即3a2＋4a－4＜0，解得－2＜a＜.∴当a∈{－2，0，1，}时，只有a＝0时，方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆.故选B. 4.若当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y＝（k－1）x＋2的倾斜角为（　　） A. B. C. 解析：C　x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0化为标准方程为（x＋）2＋（y＋1）2＝1－k2，所以当k＝0时圆的半径最大，面积也最大，此时直线的斜率为－1，故倾斜角为. 5.〔多选〕下列关于圆x2＋y2－4x－1＝0的说法正确的是（　　） A.关于点（2，0）对称 B.关于直线y＝0对称 C.关于直线x＋3y－2＝0对称 D.关于直线x－y＋2＝0对称 解析：ABC　x2＋y2－4x－1＝0化为标准形式为（x－2）2＋y2＝5，所以圆心的坐标为（2，0）.对于A，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点（2，0）是圆心，所以A正确；对于B，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y＝0过圆心，所以B正确；对于C，直线x＋3y－2＝0过圆心，所以C正确；对于D，直线x－y＋2＝0不过圆心，所以D项不正确.故选A、B、C. 6.〔多选〕（2026·淮安月考）已知圆心为C的圆x2＋y2－4x＋6y＋11＝0与点A（0，－5），则（　　） A.圆C的半径为2 B.点A在圆C外 C.点A与圆C上任一点距离的最大值为3 D.点A与圆C上任一点距离的最小值为 解析：BCD　依题意，圆C：（x－2）2＋（y＋3）2＝2，则圆心C（2，－3），半径r＝，A不正确；因点A（0，－5），则AC＝2＞r，点A在圆C外，B正确；因点A在圆C外，在圆C上任取点P，则PA≤PC＋CA＝r＋CA＝3，当且仅当点P，C，A共线，且P在线段AC延长线上时取“＝”，C正确；在圆C上任取点M，则MA≥CA－MC＝CA－r＝，当且仅当点C，M，A共线，且M在线段CA上时取“＝”，D正确.故选B、C、D. 7.已知a∈R，方程a2x2＋（a＋2）y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是　（－2，－4）　，半径是　5　. 解析：∵方程a2x2＋（a＋2）y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，∴a2＝a＋2≠0，解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，方程化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得（x＋2）2＋（y＋4）2＝25，所得圆的圆心坐标为（－2，－4），半径为5；当a＝2时，方程化为x2＋y2＋x＋2y＋＝0，此时D2＋E2－4F＝1＋4－4×＝－5＜0，方程不表示圆. 8.已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称图形，则b＝　4　，a的取值范围是　（－∞，5）　. 解析：由题意知，直线y＝2x＋b过圆心，而圆心坐标为（－1，2），代入直线方程，得b＝4，圆的方程化为标准方程为（x＋1）2＋（y－2）2＝5－a，所以a＜5. 9.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M（0，）在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的一般方程为　x2＋y2－4x－5＝0　. 解析：设圆C的圆心坐标为（a，0）（a＞0），由题意可得＝，解得a＝2（a＝－2舍去），所以圆C的半径为＝3，所以圆C的一般方程为x2＋y2－4x－5＝0. 10.已知方程x2＋y2－2（t＋3）x＋2（1－4t2）y＋16t4＋9＝0表示一个圆. （1）求t的取值范围； （2）求该圆的圆心坐标和半径； （3）求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程. 解：（1）圆的方程可化为[x－（t＋3）]2＋[y＋（1－4t2）]2＝1＋6t－7t2. 由1＋6t－7t2＞0，即7t2－6t－1＜0，得－＜t＜1. 故t的取值范围是（－，1）. （2）由（1）知，圆的圆心坐标为（t＋3，4t2－1），半径为. （3）r＝ ＝≤. 所以r的最大值为，此时t＝， 故此时圆的标准方程为（x－）2＋（y＋）2＝. 11.圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0关于直线x－y－1＝0对称的圆的方程是x2＋y2－4x＋3＝0，则a的值为（　　） A.0　　　　B.1 C.2　　 　　D.3 解析：C　由于圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0的圆心为M（ ，1），圆x2＋y2－4x＋3＝0的圆心为N（2，0），又两圆关于直线x－y－1＝0对称，故有×1＝－1，解得a＝2. 12.〔多选〕若曲线C：x2＋y2－2ax＋4ay＋5a2－16＝0上所有的点均在第二象限内，则实数a的值可以为（　　） A.－3 B.－4 C.－5 D.－6 解析：CD　曲线C：x2＋y2－2ax＋4ay＋5a2－16＝0，即（x－a）2＋（y＋2a）2＝16，可得圆心C（a，－2a），半径为4.由题意可得即解得a＜－4，则实数a的取值范围是（－∞，－4），故选C、D. 13.已知圆C：x2＋y2＋2x－2my－4－4m＝0（m∈R），则当圆C的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为　＋1　. 解析：由x2＋y2＋2x－2my－4－4m＝0得（x＋1）2＋（y－m）2＝m2＋4m＋5，因此圆心C（－1，m），半径r＝＝≥1，当且仅当m＝－2时，半径最小，即圆C的面积也最小.此时圆心C（－1，－2），半径r＝1，则圆心到坐标原点的距离d＝＝＞r，即原点在圆C外.则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为d＋r＝＋1. 14.〔一题多解〕如图，在四边形ABCD中，AB＝6，CD＝3，且AB∥CD，AD＝BC，AB与CD间的距离为3.求四边形ABCD的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径. 解：法一　由题意可知A（－3，0），B（3，0），C（，3）. 设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则解得 故所求圆的方程为x2＋y2－y－9＝0，其圆心坐标为，半径长为＝. 法二　由题意，可得点B的坐标是（3，0），点C的坐标是. 线段BC的中点坐标是，直线BC的斜率kBC＝－2. 线段BC的垂直平分线的方程是y－＝，与方程x＝0联立，解得y＝. 所以四边形ABCD外接圆的圆心E的坐标是. 半径长EB＝＝. 所以四边形ABCD的外接圆的方程是x2＋＝， 这个圆的圆心坐标是，半径长是. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $