2.1 第1课时 圆的标准方程(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

本讲义聚焦圆的标准方程核心知识点，从回顾确定圆的几何要素（圆心和半径）切入，在平面直角坐标系中推导圆的标准方程，结合点与圆位置关系的两种判断方法（距离法、方程法），构建从几何要素到代数表达再到实际应用的学习支架。 资料以“月亮坐标方程”情境引入激发兴趣，通过一题多解（如待定系数法与几何法求圆方程）培养数学思维，结合赵州桥、圆拱桥等实际问题体现数学眼光，分层练习覆盖基础与提升，助力课中教学与课后查漏，提升数学语言表达与问题解决能力。

2.1　圆的方程 课标 要求 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程（直观想象、数学运算）. 第1课时　圆的标准方程 　　月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮，在文学作品中也大量描写、吟咏月亮.有诗道：“明月四时好，何事喜中秋？瑶台宝鉴，宜挂玉宇最高头.放出白毫千丈，散作太虚一色，万象入吾眸.星斗避光彩，风露助清幽.” 【问题】　如果把天空看作一个平面，在上面建立一个平面直角坐标系，那么月亮的坐标方程如何表示？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　圆的标准方程 　 提醒：（1）当圆心在坐标原点时，圆的方程为x2＋y2＝r2；（2）相同的圆，建立的坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的；（3）圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上. 【想一想】 若方程（x＋a）2＋（y＋b）2＝m2表示圆，则该圆的圆心坐标和圆的半径各是什么？ 提示：圆心坐标为（－a，－b），半径为｜m｜（｜m｜＞0）. 知识点二　点与圆的位置关系 点M（x0，y0）与圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2的位置关系及判断方法 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点M在圆上 CM＝r （x0－a）2＋（y0－b）2＝r2 点M在圆外 CM＞r （x0－a）2＋（y0－b）2＞r2 点M在圆内 CM＜r （x0－a）2＋（y0－b）2＜r2 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）方程（x－a）2＋（y－b）2＝m2一定表示圆.（　×　） （2）确定一个圆的几何要素是圆心和半径.（　√　） （3）圆（x＋1）2＋（y＋2）2＝4的圆心坐标是（1，2），半径是4.（　×　） 2.圆心为（－2，3），半径为2的圆的方程是（　　） A.（x－2）2＋（y＋3）2＝2 B.（x＋2）2＋（y－3）2＝4 C.（x＋2）2＋（y－3）2＝2 D.（x－2）2＋（y＋3）2＝4 解析：B　因为圆心为（－2，3），半径为2，所以圆的标准方程为（x＋2）2＋（y－3）2＝4.故选B. 3.点P（1，3）与以A（2，－1）为圆心，半径为5的圆的位置关系为（　　） A.点P在圆上 B.点P在圆内 C.点P在圆外 D.无法确定 解析：B　∵AP＝＝＜5，∴点P在圆A的内部. 题型一　求圆的标准方程 （链接教科书第56页例1）（1）与y轴相切，且圆心坐标为（－5，－3）的圆的标准方程为　（x＋5）2＋（y＋3）2＝25　； 解析：∵圆心坐标为（－5，－3），又与y轴相切，∴该圆的半径为5，∴该圆的标准方程为（x＋5）2＋（y＋3）2＝25. （2）〔一题多解〕求经过点P（1，1）和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程. 解：法一（待定系数法）　设圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2， 则有解得 ∴圆的标准方程是（x－4）2＋（y＋3）2＝25. 法二（几何法）　由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线的方程为x＋y－1＝0. ∵弦的垂直平分线过圆心， ∴由得 即圆心坐标为（4，－3），半径r＝＝5. ∴圆的标准方程是（x－4）2＋（y＋3）2＝25. 规律方法 求圆的标准方程的两种方法 （1）待定系数法求圆的标准方程的一般步骤 （2）几何法：即利用平面几何知识，求出圆心和半径，然后写出圆的标准方程. 1.圆心在y轴上，半径为5，且过点（3，－4），则圆的标准方程为　x2＋y2＝25或x2＋（y＋8）2＝25　. 解析：设圆心为C（0，b），则（3－0）2＋（－4－b）2＝52，∴b＝0或b＝－8，∴圆心为（0，0）或（0，－8），又r＝5，∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋（y＋8）2＝25. 2.〔一题多解〕已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，5），B（1，－2），C（－3，－4），求该三角形的外接圆的方程. 解：法一　设所求圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2. 因为A（0，5），B（1，－2），C（－3，－4）都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的标准方程， 于是有解得 故所求圆的标准方程是（x＋3）2＋（y－1）2＝25. 法二　因为A（0，5），B（1，－2），所以线段AB的中点的坐标为， 直线AB的斜率kAB＝＝－7，因此线段AB的垂直平分线的方程是y－＝，即x－7y＋10＝0. 同理可得线段BC的垂直平分线的方程是2x＋y＋5＝0. 由得圆心的坐标为（－3，1）， 又圆的半径长r＝＝5， 故所求圆的标准方程是（x＋3）2＋（y－1）2＝25. 题型二　点与圆的位置关系 （链接教科书第61页练习5题）（1）已知a，b是方程x2－x－＝0的两个不相等的实数根，则点P（a，b）与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是（　A　） A.点P在圆C内 B.点P在圆C外 C.点P在圆C上 D.无法确定 解析：由题意，得a＋b＝1，ab＝－，∴a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝1＋2＜8，∴点P在圆C内. （2）已知点P（2，1）和圆C：（ x＋）2＋（y－1）2＝1，若点P在圆C上，则实数a＝　－2或－6　；若点P在圆C外，则实数a的取值范围为　a＜－6或a＞－2　. 解析：由圆C的方程为（ x＋）2＋（y－1）2＝1，当点P在圆C上时，由（ 2＋）2＋（1－1）2＝1，解得a＝－2或a＝－6.当点P在圆C外时，由（ 2＋）2＋（1－1）2＞1，解得a＜－6或a＞－2. 规律方法 判断点与圆位置关系的两种方法 （1）几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小； （2）代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，比较式子两边的大小，并作出判断. 已知点（a＋1，a－1）在圆x2＋（y－a）2＝a2＋4外，则实数a的取值范围为（　　） A.（－∞，1） B.（1，＋∞） C.（0，1） D.（，＋∞） 解析：B　圆x2＋（y－a）2＝a2＋4的圆心为（0，a），半径r＝，因为点（a＋1，a－1）在圆x2＋（y－a）2＝a2＋4外，所以点（a＋1，a－1）到圆心（0，a）的距离大于半径，即＞，解得a＞1，故a的取值范围为（1，＋∞）. 题型三　圆的标准方程的实际应用 （链接教科书第56页例2）赵州桥位于我国河北省，是我国现存最早、保存最好的巨大石拱桥.如图所示，赵州桥是一座空腹式的圆弧形石拱桥，利用解析几何的方法，用赵州桥的跨度a和圆拱高b表示出赵州桥圆弧所在圆的半径. 解：作出示意图如图所示，其中AB表示跨度，O为AB中点，OC为圆拱高.以O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，根据已知条件有B，C（0，b）. 可以看出，圆弧所在圆的圆心在y轴上，因此可设圆心的坐标为（0，t），半径为r， 因为点B，C都在圆上， 所以 由此可解得r＝. 规律方法 求与圆的方程有关的实际应用问题的解题步骤 某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m.现有一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过？ 解：建立如图所示的坐标系，使圆心C在y轴上.依题意，有A（－10，0），B（10，0），P（0，4），D（－5，0），E（5，0）. 设这座圆拱桥的拱圆的方程是（x－a）2＋（y－b）2＝r2， 于是有解得 所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x2＋（y＋10.5）2＝14.52（0≤y≤4）.把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1.由于船在水面以上高3 m，3＜3.1，所以该船可以从桥下通过. 1.圆C：（x－2）2＋（y＋1）2＝3的圆心坐标为（　　） A.（2，1） B.（2，－1） C.（－2，1） D.（－2，－1） 解析：B　结合圆的标准方程可知，圆C的圆心坐标为（2，－1）. 2.点P（m，5）与圆x2＋y2＝24的位置关系是（　　） A.在圆外 B.在圆内 C.在圆上 D.不确定 解析：A　因为m2＋25＞24，所以点P在圆外. 3.（2026·盐城月考）以两点A（－3，－1）和B（5，5）为直径端点的圆的标准方程是　（x－1）2＋（y－2）2＝25　. 解析：∵AB为直径，∴AB的中点（1，2）为圆心，AB＝＝5为半径，∴该圆的标准方程为（x－1）2＋（y－2）2＝25. 4.如图是一个圆曲隧道的截面，点O为截面圆的圆心，若路面AB宽为10 m，净高CD为7 m，则此隧道圆的半径是　　m. 解析：∵OD⊥AB，∴AD＝DB＝AB＝×10＝5（m），在Rt△OAD中，设半径OA＝R m，则OD＝CD－R＝7－R，∴OA2＝OD2＋AD2，即R2＝（7－R）2＋52，解得R＝.∴此隧道圆的半径是 m. 1.以（1，－1）为圆心，2为半径的圆的标准方程为（　　） A.（x－1）2＋（y＋1）2＝4 B.（x－1）2＋（y＋1）2＝2 C.（x－1）2＋（y－1）2＝2 D.（x＋1）2＋（y＋1）2＝4 解析：A　由圆的标准方程知（x－1）2＋（y＋1）2＝4. 2.若直线x＋y＋a＝0过圆（x－1）2＋（y＋2）2＝2的圆心，则实数a的值为（　　） A.－1 B.1 C.0 D.2 解析：B　由圆的标准方程（x－1）2＋（y＋2）2＝2，可得圆心坐标为（1，－2），因为直线x＋y＋a＝0过圆心（1，－2），所以1－2＋a＝0，解得a＝1. 3.已知圆M过点O（0，0），A（2，0），B（2，－2），则圆M的标准方程是（　　） A.（x－1）2＋（y＋1）2＝2 B.（x－1）2＋（y－1）2＝2 C.（x＋1）2＋（y＋1）2＝2 D.（x＋1）2＋（y－1）2＝2 解析：A　由点O（0，0），A（2，0）在圆M上，故圆心在直线x＝1上，由点A（2，0），B（2，－2）在圆M上，故圆心在直线y＝－1上，即圆心M（1，－1），半径r＝＝，故方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝2，故选A. 4.已知圆（x－a）2＋（y－1）2＝2a（0＜a＜1），则原点O在（　　） A.圆内 B.圆外 C.圆上 D.圆上或圆外 解析：B　由圆的标准方程（x－a）2＋（y－1）2＝2a，知圆心为（a，1），则原点与圆心的距离为.∵0＜a＜1，∴＞＝r，即原点在圆外. 5.〔多选〕以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的标准方程可能为（　　） A.x2＋（y－4）2＝20 B.（x－4）2＋y2＝20 C.x2＋（y－2）2＝20 D.（x－2）2＋y2＝20 解析：AD　令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝2.所以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的交点分别为A（0，4），B（2，0），AB＝＝2，以A为圆心，过B点的圆的标准方程为x2＋（y－4）2＝20.以B为圆心，过A点的圆的标准方程为（x－2）2＋y2＝20. 6.〔多选〕已知直线l：ax－y＋b＝0，圆M：（x－a）2＋（y＋b）2＝a2＋b2，则l与M在同一平面直角坐标系中的图形可能是（　　） 解析：BC　圆M的圆心为（a，－b），且过原点，可排除A项；B项中由直线l可知，a＞0，b＜0，∴圆心（a，－b）在第一象限，满足条件；C项中由直线l可知a＜0，b＞0，∴圆心（a，－b）在第三象限，满足条件；D项中由直线l可知a＜0，b＜0，∴圆心（a，－b）在第二象限，与图形不符.故选B、C. 7.写出符合条件：圆心在直线y＝x＋1上，且与x轴相切的一个圆的标准方程为　（x－1）2＋（y－2）2＝4（答案不唯一）　. 解析：设圆心为（1，2），满足圆心在直线y＝x＋1上，半径为2，满足圆心（1，2）到x轴的距离等于半径，所以圆的标准方程为（x－1）2＋（y－2）2＝4. 8.与圆C：（x－1）2＋y2＝36同圆心，且面积等于圆C面积的一半的圆的标准方程为　（x－1）2＋y2＝18　. 解析：圆C的半径R＝6，设所求圆的半径为r，则＝，所以r2＝18，又圆心坐标为（1，0），则所求圆的标准方程为（x－1）2＋y2＝18. 9.已知三点A（3，2），B（5，－3），C（－1，3），以点P（2，－1）为圆心作一个圆，使A，B，C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，则这个圆的标准方程为　（x－2）2＋（y＋1）2＝13　. 解析：要使A，B，C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，则圆的半径是PA，PB，PC中的中间值.因为PA＝，PB＝，PC＝5，所以PA＜PB＜PC，所以圆的半径r＝PB＝.故所求圆的标准方程为（x－2）2＋（y＋1）2＝13. 10.〔一题多解〕已知圆过点A（1，－2），B（－1，4）. （1）求周长最小的圆的方程； （2）求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程. 解：（1）当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即圆心为线段AB的中点（0，1），半径r＝AB＝. 则所求圆的方程为x2＋（y－1）2＝10. （2）法一　直线AB的斜率k＝＝－3，故线段AB的垂直平分线的方程是y－1＝x，即x－3y＋3＝0. 由解得 即圆心的坐标是（3，2）. ∴r2＝（3－1）2＋（2＋2）2＝20. ∴所求圆的方程是（x－3）2＋（y－2）2＝20. 法二　设圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2. 则⇒ ∴所求圆的方程为（x－3）2＋（y－2）2＝20. 11.（2026·南通月考）若圆C与圆（x＋2）2＋（y－1）2＝1关于原点对称，则圆C的方程是（　　） A.（x－2）2＋（y＋1）2＝1 B.（x－2）2＋（y－1）2＝1 C.（x－1）2＋（y＋2）2＝1 D.（x＋1）2＋（y－2）2＝1 解析：A　由两圆关于原点对称可知圆C的圆心坐标为（2，－1），半径为1，所以圆C的方程为（x－2）2＋（y＋1）2＝1. 12.〔多选〕（2026·扬州月考）设圆Ck：（x－k）2＋（y－k）2＝4（k∈R），则下列说法正确的是（　　） A.无论k如何变化，圆心Ck都在一条直线上 B.所有圆Ck均不经过点（3，0） C.经过点（2，2）的圆Ck有且只有一个 D.所有圆Ck的面积均为4π 解析：ABD　易知圆心Ck（k，k）在直线y＝x上，∴A中说法正确；令（3－k）2＋（0－k）2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4＜0，∴方程2k2－6k＋5＝0无解，∴B中说法正确；令（2－k）2＋（2－k）2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8＞0，∴k2－4k＋2＝0有两个不相等的实数根，∴经过点（2，2）的圆Ck有两个，∴C中说法错误；易知圆Ck的半径为2，∴圆Ck的面积为4π，∴D中说法正确. 13.若圆C与x轴和y轴均相切，且过点（1，2），则圆C的半径长为　1或5　. 解析：根据题意，若圆C与x轴和y轴均相切，则圆心C在直线y＝x或y＝－x上，当圆心C在y＝x上时，设圆心C的坐标为（a，a），此时圆的标准方程为（x－a）2＋（y－a）2＝a2，将（1，2）代入可得（1－a）2＋（2－a）2＝a2，即a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，此时圆的半径长为1或5；当圆心C在y＝－x上时，设圆心C的坐标为（a，－a），此时圆的标准方程为（x－a）2＋（y＋a）2＝a2，将（1，2）代入可得（1－a）2＋（2＋a）2＝a2，即a2＋2a＋5＝0，方程无解，综上所述，圆的半径长为1或5. 14.已知圆C：（x－3）2＋（y－4）2＝1，点A（0，－1），B（0，1），设P是圆C上的动点，令d＝PA2＋PB2，求d的最大值及最小值. 解：设P（x，y），则d＝PA2＋PB2＝2（x2＋y2）＋2. ∵CO2＝32＋42＝25， ∴（5－1）2≤x2＋y2≤（5＋1）2， 即16≤x2＋y2≤36. ∴d的最小值为2×16＋2＝34， 最大值为2×36＋2＝74. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $