培优课 对称问题(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

本讲义聚焦高中数学对称问题核心知识点，系统梳理中心对称（点与点、直线与点对称）、轴对称（点与直线、直线与直线对称）及应用（反射问题、距离最值），构建从几何性质直观想象到代数运算求解的学习支架，帮助学生逐步掌握对称问题的内在逻辑与解题方法。 该资料亮点在于“破题思维”表格引导题目信息解读，一题多解（如直线关于点对称的三种方法）培养数学思维，规律方法系统总结。结合直观想象分析对称几何关系，通过数学运算求解对称点坐标，如光的反射问题利用对称点转化，提升逻辑推理能力。课中辅助教师分层教学，课后助力学生自主复习、查漏补缺，强化知识应用。

培优课　对称问题 1.理解轴对称与中心对称的几何性质与代数性质（直观想象）. 2.灵活利用对称性求解反射问题与最值问题（数学运算）. 题型一　中心对称问题 （1）求点P（x0，y0）关于点A（a，b）的对称点P'的坐标； （2）〔一题多解〕求直线3x－y－4＝0关于点（2，－1）的对称直线l的方程. 【破题思维】 题目信息 信息解读 （1）求点P（x0，y0）关于点A（a，b）的对称点P'的坐标 联想到中点坐标公式：两点关于某点对称，则该点是这两点的中点 （2）求直线3x－y－4＝0关于点（2，－1）的对称直线l的方程 （1）直线3x－y－4＝0上的任意点关于点（2，－1）的对称点都在所求直线l上；（2）直线3x－y－4＝0与所求的直线l平行 解：（1）根据题意可知点A（a，b）为PP'的中点，设点P'的坐标为（x，y）， 则根据中点坐标公式， 得所以 所以点P'的坐标为（2a－x0，2b－y0）. （2）法一　设直线l上任意一点M的坐标为（x，y），则此点关于点（2，－1）的对称点为M1（4－x，－2－y）， 且M1在直线3x－y－4＝0上， 所以3（4－x）－（－2－y）－4＝0，即3x－y－10＝0. 所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0. 法二　在直线3x－y－4＝0上取两点A（0，－4），B（1，－1）， 则点A（0，－4）关于点（2，－1）的对称点为A1（4，2）， 点B（1，－1）关于点（2，－1）的对称点为B1（3，－1）. 可得直线A1B1的方程为3x－y－10＝0， 即所求直线l的方程为3x－y－10＝0. 法三　由平面几何知识易知所求直线l与直线3x－y－4＝0平行， 则可设l的方程为3x－y＋c＝0（c≠－4）. 在直线3x－y－4＝0上取一点（0，－4）， 则点（0，－4）关于点（2，－1）的对称点（4，2）在直线3x－y＋c＝0上， 所以3×4－2＋c＝0，所以c＝－10. 所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0. 规律方法 1.解决点关于点对称问题的方法 点P（x0，y0）关于点A（m，n）的对称点P'（x'，y'）可利用中点坐标公式求得，由得 2.解决直线关于点对称问题的方法 方法一：在已知直线上取两点，根据点的中心对称的方法求出对称点，再由对称点确定对称直线； 方法二：在已知直线上取一点，求出它关于已知点的对称点，再利用对称直线与原直线平行求直线方程； 特别地，直线Ax＋By＋C＝0关于原点对称的直线方程是A（－x）＋B（－y）＋C＝0. 1.（2026·扬州月考）若点P（3，4）是线段AB的中点，且点A的坐标为（－1，2），则点B的坐标为　（7，6）　. 解析：设点B（x，y），∵点P（3，4）是线段AB的中点，且点A的坐标为（－1，2），∴解得x＝7，y＝6，∴点B的坐标为（7，6）. 2.已知直线l1：2x＋y＋2＝0与l2：4x＋by＋c＝0关于点P（1，0）对称，则b＋c＝　－10　. 解析：在直线l1：2x＋y＋2＝0上取点M（－1，0），N（0，－2），M，N关于点P（1，0）对称的点分别为M1（3，0），N1（2，2）.∵点M1（3，0），N1（2，2）在直线l2：4x＋by＋c＝0上，∴12＋c＝0，8＋2b＋c＝0，解得c＝－12，b＝2，∴b＋c＝－10. 题型二　轴对称问题 （2026·宿迁质检）已知直线l：y＝3x＋3，求： （1）点P（4，5）关于直线l的对称点的坐标； （2）直线y＝x－2关于直线l的对称直线的方程. 【破题思维】 题目信息 信息读取 （1）求点P（4，5）关于直线l：y＝3x＋3的对称点的坐标 联想到点关于直线对称的两个核心条件：①两对称点的连线PP'与直线l垂直；②两对称点的中点在对称轴l上.需结合这两个条件列方程组求解对称点坐标 （2）直线y＝x－2关于直线l：y＝3x＋3的对称直线的方程 联想到直线关于直线对称的解题逻辑： 第一步：判断两直线的位置关系是相交还是平行. 第二步：根据两直线的位置关系选择适当的方法： （1）若两直线相交：①先求已知两直线的交点；②在已知直线上任取一点，求其关于该对称轴的对称点，由直线上的两点求其方程. （2）若两条直线平行：利用两平行直线与对称轴所在直线的距离相等求解 解：（1）设点P关于直线l的对称点为P'（x'，y'），则线段PP'的中点在直线l上，且直线PP'垂直于直线l，即解得 所以点P'的坐标为（－2，7）. （2）解方程组得 则点（－，－）在所求直线上. 在直线y＝x－2上任取一点M（2，0）， 设点M关于直线l的对称点为M'（x0，y0）， 则解得 点M'（－，）也在所求直线上. 由两点式得直线方程为＝， 化简得7x＋y＋22＝0，即为所求直线方程. 规律方法 1.求已知点关于某直线对称点的方法 已知P（x，y），直线l：Ax＋By＋C＝0，求点P关于直线l的对称点P'（x'，y'）可以分三步列方程组求解： 第一步，直线PP'和l垂直，故kPP'·kl＝－1（kl≠0）； 第二步，PP'的中点在直线l上，即（，）满足直线方程Ax＋By＋C＝0，得到A·＋B·＋C＝0； 第三步，联立两式可解出x'，y'. 2.求已知直线关于某直线对称直线（方程）的方法 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，求直线l1关于直线l2的对称直线的方程： （1）如果l1∥l2，则设所求直线方程为A1x＋B1y＋m＝0（m≠C1），然后在l1上找一点P，求出点P关于直线l2的对称点P'（x'，y'），再代入A1x＋B1y＋m＝0即可解出m； （2）如果l1不平行于l2，则先找出l1与l2的交点P，然后在l1上确定一点（不同于交点），找出这一点关于l2的对称点P'，由直线方程的两点式确定所求直线方程. 〔一题多解〕（2026·南京月考）已知直线l1：x－y＋3＝0，直线l：x－y－1＝0.若直线l1关于直线l的对称直线为l2，求直线l2的方程. 解：法一　因为l1∥l，所以l2∥l，设直线l2的方程为x－y＋m＝0（m≠3，m≠－1）. 因为直线l1，l2关于直线l对称，所以l1与l间的距离等于l2与l间的距离. 由两条平行直线间的距离公式，得＝，解得m＝－5或m＝3（舍去）. 所以直线l2的方程为x－y－5＝0. 法二　由题意知l1∥l2，设直线l2的方程为x－y＋m＝0（m≠3，m≠－1）. 在直线l1上取点M（0，3），设点M关于直线l的对称点为M'（a，b），于是有解得即点M'的坐标为（4，－1）. 把点M'的坐标代入l2的方程，得m＝－5，所以直线l2的方程为x－y－5＝0. 题型三　对称问题的应用 角度1　光的反射问题 已知光线从点A（－2，1）射出，经直线2x－y＋10＝0反射，且反射光线所在直线过点B（－8，－3），则反射光线所在直线的方程是（　　） A.x－3y－1＝0 B.3x－y＋21＝0 C.x＋3y＋17＝0 D.3x＋y＋15＝0 【破题思维】 题目信息 信息解读 光线从点A（－2，1）射出，经直线2x－y＋10＝0反射，且反射光线所在直线过点B（－8，－3） 联想到光的反射原理（对称点转化）： 反射光线的反向延长线，必过点A关于反射直线的对称点A' 求反射光线所在直线的方程 结合选项特征，可先通过“斜率匹配”快速排除部分选项：即先求A的对称点A'，再计算A'与B连线的斜率，求出反射光线的直线方程；也可由选项反推验证 解析：B　设A（－2，1）关于直线2x－y＋10＝0的对称点为C（x，y），则解得即C（－6，3），所以反射光线所在直线方程为y－3＝·（x＋6），即3x－y＋21＝0.故选B. 规律方法 利用对称解决光线反射问题的方法 　　根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线所在的直线关于法线对称，即入射光线上任一点关于法线对称的点都在反射光线上.利用点的对称关系可以求解. 角度2　利用对称解决有关最值问题 （2026·淮安月考）在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q.使得： （1）P到A（4，1）与B（0，4）的距离之差最大； （2）Q到A（4，1）与C（3，0）的距离之和最小. 【破题思维】 题目信息 信息解读 （1）在直线l：x－y－1＝0上找一点P，使P到A（4，1）与B（0，4）的距离之差最大 联想到三角形三边关系（距离差的最值）：若两点在直线同侧，距离差的最大值为两点间距离；若在异侧，先找其中一点关于直线的对称点，转化为同侧情况 （2）在直线l：x－y－1＝0上找一点Q，使Q到A（4，1）与C（3，0）的距离之和最小 联想到两点之间线段最短（距离和的最值）：若两点在直线异侧，距离和的最小值为两点间距离；若在同侧，先找其中一点关于直线的对称点，转化为异侧情况 解：（1）如图，设点B关于l的对称点B'的坐标为（a，b），连接BB'，则kBB'·kl＝－1，即×1＝－1， ∴a＋b－4＝0，　① ∵BB'的中点（，）在直线l上， ∴－－1＝0，即a－b－6＝0.　② 由①②得 ∴点B'的坐标为（5，－1）. 于是AB'所在直线的方程为＝， 即2x＋y－9＝0. 易知｜PB－PA｜＝｜PB'－PA｜，当且仅当P，B'，A三点共线时，｜PB'－PA｜最大. ∴联立直线l与AB'的方程，解得x＝，y＝， 即直线l与AB'的交点坐标为（，）. 故点P的坐标为（，）. （2）如图，设点C关于l的对称点为C'，可求得C'的坐标为（1，2）， ∴AC'所在直线的方程为x＋3y－7＝0. 易知QA＋QC＝QA＋QC'，当且仅当Q，A，C'三点共线时，QA＋QC'最小. ∴联立直线AC'与l的方程，解得x＝，y＝， 即直线AC'与l的交点坐标为（，）. 故点Q的坐标为（，）. 规律方法 利用对称性求距离最值问题的方法 　　要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之和（差）的最值问题，一般借助平面几何知识（三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差的绝对值小于第三边）及对称性解决.即： （1）若两点A，B位于直线l的同侧，要求直线l上到A，B距离之和最小的点，只需作A（或B）关于直线l的对称点A'（或B'），得直线A'B（或AB'）的方程，再求其与直线l的交点即可； （2）若两点A，B位于直线l的同侧，要求直线l上到A，B距离之差最大的点，则只需求出直线AB的方程，再求其与直线l的交点即可； （3）若两点A，B位于直线l的异侧，要求直线l上到A，B距离之差最大的点，则只需作A（或B）关于直线l的对称点A'（或B'），得直线A'B（或AB'）的方程，再求其与直线l的交点即可. 1.一条光线从点A（－1，3）射向x轴，经过x轴上的点P反射后经过点B（3，1），则点P的坐标为（　　） A.（0，0） B.（1，0） C.（2，0） D.（3，0） 解析：C　由题可得B（3，1）关于x轴的对称点为B'（3，－1），则直线AB'的方程为＝，可得y＝－x＋2，令y＝0，可得x＝2，所以点P（2，0）. 2.（2026·常州月考）已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A（2，0），B（－2，－4），在直线l上求一点P，使｜PB－PA｜最大. 解：易知A，B两点在直线l的同侧， 当且仅当A，B，P三点共线时，｜PB－PA｜取得最大值， 又直线AB的方程为y＝x－2， 则得 故所求的点P的坐标为（12，10）. 1.点A（－3，1），C（1，y）关于点B（－1，－3）对称，则y的值为（　　） A.－5 B.－6 C.－7 D.－8 解析：C　由已知得＝－3，解得y＝－7. 2.点（3，9）关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标是（　　） A.（－1，－3） B.（17，－9） C.（－1，3） D.（－17，9） 解析：A　设点（3，9）关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标为（a，b），则由解得即得该点坐标为（－1，－3）.故选A. 3.直线x－2y－1＝0关于直线y－x＝0对称的直线方程是（　　） A.2x－y＋1＝0 B.2x＋y－1＝0 C.2x＋y＋1＝0 D.x＋2y＋1＝0 解析：A　由得其交点为（－1，－1），则点（－1，－1）在所求直线上，在直线x－2y－1＝0上任取一点P（1，0），设点P关于直线y－x＝0的对称点为P'（x0，y0），则解得即P'（0，1），又点P'也在所求直线上，则所求直线方程为＝，即2x－y＋1＝0，故选A. 4.一束光线从原点O（0，0）出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P（－4，3），求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程. 解：如图，设原点关于l的对称点A的坐标为（a，b）， 由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得 解得∴A的坐标为（4，3）. ∴反射光线的反向延长线过A（4，3）， 又由反射光线过P（－4，3），A，P两点纵坐标相等， 故反射光线所在直线的方程为y＝3. 联立解得 由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y＝3. 由光的性质可知，光线从O到P的路程即为AP的长度，由A（4，3），P（－4，3）知，AP＝4－（－4）＝8，即光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8. 1.已知点A（x，5）关于点（1，y）的对称点为（－2，－3），则点P（x，y）到原点的距离是（　　） A.2 B.4 C.5 D. 解析：D　由题可知：⇒ 所以点P（x，y）到原点的距离是.故选D. 2.两直线l1：3x－2y－6＝0，l2：3x－2y＋8＝0，则直线l1关于直线l2对称的直线方程为（　　） A.3x－2y＋24＝0 B.3x－2y－10＝0 C.3x－2y－20＝0 D.3x－2y＋22＝0 解析：D　设所求直线方程为3x－2y＋c＝0（c≠－6，c≠8），由题意可知，所求直线到直线l2的距离等于直线l1，l2间的距离，∴＝.解得c＝22或c＝－6（舍去），∴所求直线的方程为3x－2y＋22＝0.故选D. 3.（2026·南通月考）如图所示，已知点A（4，0），B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是（　　） A.2 B.6 C.3 D.2 解析：A　由题意知，AB所在直线的方程为x＋y－4＝0.如图，点P关于直线AB的对称点为D（4，2），关于y轴的对称点为C（－2，0），连接MD，NC，易知PM＝MD，PN＝NC，所以PM＋MN＋NP＝MD＋MN＋NC＝CD，故光线所经过的路程为CD＝2. 4.若第一象限内的点（m，n）关于直线x＋y－2＝0的对称点在直线2x＋y＋3＝0上，则＋的最小值是（　　） A.25 B. C.17 D. 解析：B　设（m，n）关于直线x＋y－2＝0的对称点为（x1，y1），依据题意可得：解方程组得又∵对称点在直线2x＋y＋3＝0上，代入可得2n＋m＝9，且（m，n）在第一象限，则m＞0，n＞0，则（＋）（＋）＝＋＋＋≥2＋＝，当且仅当＝时，即m＝，n＝时，等号成立.故选B. 5.已知点A（－3，5），B（3，1），在直线l：y＝x上求一点P，使｜PA－PB｜的值最大，则P点的坐标为（　　） A.（0，0） B.（，） C.（，） D.（7，7） 解析：B　如图，设点B关于直线l的对称点B'的坐标为（a，b），连接BB'，则kBB'·kl＝－1，即＝－1，得a＋b－4＝0，①.又由BB'的中点（，）在直线l上，所以＝，即a－b＋2＝0，②.由①②解得所以B'（1，3），于是AB'所在直线方程为＝，即x＋2y－7＝0，易知｜PA－PB｜＝｜PA－PB'｜，当且仅当P，B'，A三点共线时｜PA－PB'｜最大，即由得其交点坐标为（，），故P点坐标为（，）.故选B. 6.〔多选〕已知直线l：y＝x，点A（0，－1），则（　　） A.过点A与l平行的直线的方程为y＝x－1 B.点A关于l对称的点的坐标为（0，1） C.点A到直线l的距离为 D.过点A与l垂直的直线的方程为y＝－x－1 解析：ACD　与直线y＝x平行的直线方程可设为y＝x＋m，代入点A（0，－1）得－1＝0＋m，即m＝－1，即平行线方程为y＝x－1，A正确；点A关于l的对称点坐标为（－1，0），B错；点A到直线l的距离为d＝＝，C正确；与直线l垂直的直线方程可设为y＝－x＋n，代入A点坐标得－1＝0＋n，n＝－1，即直线方程为y＝－x－1，D正确.故选A、C、D. 7.已知直线l：3x＋2y－1＝0与直线l1关于直线x＋y＝0对称，则l1的方程为　2x＋3y＋1＝0　. 解析：x＋y＝0与l：3x＋2y－1＝0不平行，故l1经过x＋y＝0与l：3x＋2y－1＝0的交点，联立解得即（1，－1）在l1上，取l：3x＋2y－1＝0上另一点（3，－4），设（3，－4）关于直线x＋y＝0的对称点为（m，n），则有解得l1过两点（1，－1）和（4，－3），故方程为＝，即2x＋3y＋1＝0. 8.已知两定点A（0，2），B（2，1），且点P是直线x＋y－1＝0上任意一点，则PA＋PB的最小值是　3　. 解析：设点A关于直线x＋y－1＝0的对称点为A1（x0，y0），则解得 即A1（－1，1），PA＋PB＝PA1＋PB≥A1B＝3，当且仅当A1，P，B共线时等号成立. 9.已知△ABC中A（3，－1），AB边上的中线CM所在直线方程为6x＋10y－59＝0，∠B的平分线方程BT为x－4y＋10＝0. （1）求顶点B的坐标； （2）求直线BC的方程. 解：（1）设B（x0，y0）， 则AB的中点M（，）在直线CM上. ∴6×＋10×－59＝0， ∴3x0＋5y0＋4－59＝0， 即3x0＋5y0－55＝0，　① 又点B在直线BT上，则x0－4y0＋10＝0，　② 由①②可得x0＝10，y0＝5，即B点的坐标为（10，5）. （2）设点A（3，－1）关于直线BT的对称点D的坐标为（a，b）， 则点D在直线BC上. 由题知得 ∴D（1，7），kBC＝kBD＝＝－， ∴直线BC的方程为y－5＝－（x－10），即2x＋9y－65＝0. 10.已知直线l：x－y＋3＝0，一束光线从点A（1，2）处射向x轴上一点B，又从点B反射到l上的一点C，最后从点C反射回点A. （1）试判断由此得到的△ABC的个数； （2）求直线BC的方程. 解：（1）如图，设B（m，0），点A关于x轴的对称点为A'（1，－2），点B关于直线x－y＋3＝0的对称点为B'（－3，m＋3）. 根据光学知识，直线AB'与直线BC关于直线l对称，点C在直线A'B上，点C又在直线B'A上，又直线A'B的方程为y＝（x－m）， 由得x＝. 又直线AB'的方程为y－2＝·（x－1）， 由得x＝. 所以＝，即3m2＋8m－3＝0， 解得m＝或－3. 当m＝时，符合题意； 当m＝－3时，点B在直线x－y＋3＝0上，不能构成三角形. 综上，符合题意的△ABC只有1个. （2）由（1）得m＝，则直线A'B的方程为3x＋y－1＝0， 即直线BC的方程为3x＋y－1＝0. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $