1.5.2 第2课时 两平行直线间的距离(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

本讲义聚焦高中数学“两平行直线间的距离”核心知识点，承接点到直线距离，通过定义（公垂线段长）、公式（Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离d=|C1-C2|/√(A²+B²)）及使用条件（x,y系数对应相同）构建学习支架。 以“接通平行水管最省材料”问题引入，培养数学眼光，通过转化法、公式法及判断题强化公式条件，发展数学思维，结合菱形对边距离等实例提升数学语言表达能力，课中助力问题驱动教学，课后分层练习帮助学生查漏补缺。

第2课时　两平行直线间的距离 图中的a，b是两根互相平行的水管，由于工程需要，现在要用一根水管把它们接通. 【问题】　你认为选用哪根水管最节省材料？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 知识点　两条平行直线间的距离 1.定义：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的　公垂线段　的长. 2.图示： 3.公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0（A，B不同时为0，C1≠C2）之间的距离d＝　　. 提醒：（1）两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离；（2）运用两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）连接两平行直线上任意两点，即得两平行直线间的距离.（　×　） （2）若直线l1：x＋y－1＝0上有A（1，0），B（0，1），C（－1，2）三点，则点A，B，C到直线l2：x＋y＋1＝0的距离相等.（　√　） （3）已知直线l1：x＝x1，l2：2x＝x2，则直线l1，l2间的距离为｜x2－x1｜.（　×　） 2.已知直线l1：3x－y＋3＝0与l2：3x－y＋C＝0之间的距离为，则C＝（　　） A.13　　 B.13或－7　　 C.7 　　 D.7或－13 解析：B　因为l1∥l2，则＝，得C＝13或－7，故选B. 3.已知直线l1：3x－4y＋5＝0，l2：3x－4y－10＝0，则l1与l2的距离为　3　. 解析：由题意可知，l1∥l2，所以直线l1与l2的距离为d＝＝3. 题型一　两平行直线间的距离公式 （链接教科书第39页例5）（1）若倾斜角为45°的直线m被直线l1：x＋y－1＝0与l2：x＋y－3＝0所截得的线段为AB，则AB的长为（　B　） A.1 B. C. D.2 解析：由题意，可得直线m与直线l1，l2垂直，则由两平行直线间的距离公式，得AB＝＝. （2）分别过点A（－2，1）和点B（3，－5）的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是　5　. 解析：两直线方程分别是x＝－2和x＝3，故两条直线间的距离为d＝｜－2－3｜＝5. 规律方法 求两平行直线间的距离的方法 （1）转化法：将两平行线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.因为结果与点的选择无关，所以选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算； （2）公式法：直接利用公式计算，但要注意两直线方程中x，y的系数对应相等. 已知直线5x＋12y－3＝0与直线10x＋my＋20＝0平行，则它们之间的距离是（　　） A.1 B.2 C. D.4 解析：A　由两条直线平行可得＝，解得m＝24.则直线10x＋24y＋20＝0，即5x＋12y＋10＝0，由两条平行直线间的距离公式得d＝＝1. 题型二　两平行直线间距离的简单应用 （1）〔一题多解〕已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程是　2x－y＋1＝0　； 解析：法一　由题意可设l的方程为2x－y＋c＝0，于是有＝，即｜c－3｜＝｜c＋1｜，解得c＝1，则直线l的方程为2x－y＋1＝0. 法二　由题意知l必介于l1与l2中间，故设l的方程为2x－y＋c＝0，则c＝＝1.则直线l的方程为2x－y＋1＝0. （2）已知两条平行直线l1：3x＋4y＋5＝0，l2：6x＋by＋c＝0间的距离为3，则b＋c＝　－12或48　. 解析：将l1：3x＋4y＋5＝0改写为6x＋8y＋10＝0，因为两条直线平行，所以b＝8.由＝3，解得c＝－20或c＝40，所以b＋c＝－12或48. 规律方法 两平行直线间距离公式的应用 （1）若已知两平行直线间的距离求相关参数的值，可利用两平行直线间的距离公式建立关于参数的方程求解； （2）若已知两平行直线间的距离求直线方程，可设出直线方程，然后利用两平行直线间的距离公式列方程求解未知量，进而得出所求直线方程. 〔多选〕已知直线l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2，则直线l的方程为（　　） A.2x＋3y－8＝0 B.4x＋6y＋5＝0 C.6x＋9y－10＝0 D.12x＋18y－13＝0 解析：BD　设直线l：4x＋6y＋m＝0，m≠－2且m≠－9，直线l到直线l1和到直线l2的距离分别为d1，d2.则d1＝，d2＝.因为＝，所以＝，即2｜m＋2｜＝｜m＋9｜，解得m＝5或m＝－，所以直线l的方程为4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0.故选B、D. 题型三　分别过两定点的动平行直线间距离的最值问题 两条互相平行的直线分别过点A（6，2）和B（－3，－1），并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求： （1）d的变化范围； 解： 如图，显然有0＜d≤AB. 而AB＝＝3. 故所求的d的变化范围为（0，3]. （2）当d取最大值时，两条直线的方程. 解：由图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直.而kAB＝＝， 所以所求直线的斜率为－3. 故所求的直线方程分别为y－2＝－3（x－6）和y＋1＝－3（x＋3）， 即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0. 规律方法 应用数形结合思想求最值 （1）解决此类问题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决； （2）数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到.当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围. 　已知直线l1，l2是分别经过A（1，1），B（0，－1）两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是　x＋2y－3＝0　. 解析：当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距离最大.因为A（1，1），B（0，－1），所以kAB＝＝2，所以两条平行直线的斜率为－，所以直线l1的方程为y－1＝－（x－1），即x＋2y－3＝0. 1.直线x－y＝0与直线x－y＋2＝0之间的距离为（　　） A. B.1 C. D.2 解析：C　依题意，直线x－y＝0与直线x－y＋2＝0之间的距离为＝，故选C. 2.（2026·无锡月考）两条平行直线3x＋4y－12＝0与ax＋8y＋11＝0间的距离为（　　） A.　　　B.　 　　 D. 解析：C　直线3x＋4y－12＝0即直线6x＋8y－24＝0，由题意知，a＝6，故两条平行直线3x＋4y－12＝0与ax＋8y＋11＝0间的距离为＝. 3.已知P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则PQ的最小值为（　　） A. B. C. 解析：C　直线6x＋8y＋5＝0可化为3x＋4y＋＝0，易知直线3x＋4y－12＝0与3x＋4y＋＝0平行，故PQ的最小值即两平行直线间的距离，故PQmin＝＝. 4.直线l1，l2分别过点M（1，4），N（－3，1），它们分别绕点M和N旋转，但必须保持平行，那么它们之间的距离d的最大值是　5　. 解析：根据题意画出图形，如图所示，根据图形可得：当l1∥l2，且l1⊥MN，l2⊥MN时，l1与l2之间的距离为MN；当直线l1，l2分别绕点M，N旋转到l'1，l'2位置时，l'1∥l'2，但是l'1与MN不垂直，l'2与MN不垂直时，过M点向l'2引垂线，垂足为P，则l'1与l'2之间的距离为MP.因为MN＞MP，所以dmax＝MN＝＝5. 1.直线－＝1与y＝x＋1之间的距离为（　　） A. B. C. D.24 解析：B　两直线变形为3x－2y－12＝0与3x－2y＋2＝0，则两直线间的距离d＝＝＝.故选B. 2.若直线l1：2x－ay＋1＝0与l2：（a－1）x－y－1＝0平行，则l1与l2之间的距离为（　　） A. B. C. 解析：C　因为直线l1：2x－ay＋1＝0与l2：（a－1）x－y－1＝0平行，所以2×（－1）＝－a×（a－1），解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，l1：2x＋y＋1＝0与l2：－2x－y－1＝0重合，故舍去；当a＝2时，l1：2x－2y＋1＝0与l2：2x－2y－2＝0之间的距离d＝＝.故选C. 3.若直线2x＋y－3＝0与直线4x＋2y＋a＝0之间的距离不大于，则实数a的取值范围为（　　） A.（－∞，4] B.[－16，4] C.[－4，16] D.[4，16] 解析：B　直线2x＋y－3＝0化为4x＋2y－6＝0，则两直线之间的距离d＝≤，即｜a＋6｜≤10，解得－16≤a≤4，所以实数a的取值范围为[－16，4]，故选B. 4.已知m，n，a，b∈R，且满足3m＋4n＝6，3a＋4b＝1，则的最小值为（　　） A. B. C.1 D. 解析：C　（m，n）为直线3x＋4y＝6上的动点，（a，b）为直线3x＋4y＝1上的动点，可理解为两动点间距离，显然其最小值即两平行线间的距离d＝＝1.故选C. 5.〔多选〕到直线2x＋y＋1＝0的距离等于的直线方程可能为（　　） A.2x＋y－1＝0 B.2x＋y－2＝0 C.2x＋y＝0 D.2x＋y＋2＝0 解析：CD　因为所求直线与直线2x＋y＋1＝0的距离为，所以可得所求直线与已知直线平行，设所求直线方程为2x＋y＋c＝0（c≠1），则d＝＝，解得c＝0或c＝2，故所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0. 6.〔多选〕若P，Q分别为l1：3x＋4y＋5＝0，l2：ax＋8y＋c＝0上的动点，且l1∥l2，则下面说法正确的有（　　） A.直线l2的斜率为定值 B.当c＝25时，PQ的最小值为 C.当PQ的最小值为1时，c＝20 D.c≠10 解析：ABD　因为l1∥l2，所以＝≠，所以a＝6，c≠10，故A、D正确；因为PQ的最小值为两平行直线间的距离，所以当c＝25时，d＝＝，故B正确；当PQ的最小值为1时，d＝＝1，解得c＝20或c＝0，故C错误. 7.若两条平行直线Ax－2y－1＝0与6x－4y＋C＝0之间的距离为，则C＝　11或－15　. 解析：由直线Ax－2y－1＝0与6x－4y＋C＝0平行，可得A＝3，即两直线方程分别为6x－4y－2＝0，6x－4y＋C＝0，两平行直线间的距离为，可得＝，解得C＝11或－15. 8.直线l与直线x－2y＋4＝0平行，且直线l到直线x－2y＋4＝0的距离和原点到直线l的距离相等，则直线l的方程是　x－2y＋2＝0　. 解析：由题意设所求直线l的方程为x－2y＋C＝0（C≠4），则＝，解得C＝2，故直线l的方程为x－2y＋2＝0. 9.在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x＋2y＋1＝0和x＋2y＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x－4y＋c1＝0和3x－4y＋c2＝0，则｜c1－c2｜＝　2　. 解析：由题意得，菱形两组对边间的距离相等，所以＝，解得｜c1－c2｜＝2. 10.已知直线l1：2x＋y＋2＝0；l2：mx＋4y＋n＝0. （1）若l1⊥l2，求m的值； （2）若l1∥l2，且它们间的距离为，求m，n的值. 解：设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1＝－2，k2＝－. （1）若l1⊥l2，则k1k2＝＝－1，所以m＝－2. （2）若l1∥l2，则－2＝－，所以m＝8. 所以直线l2的方程可以化简为2x＋y＋＝0， 所以直线l1与l2间的距离为＝，所以n＝28或n＝－12. 11.〔多选〕若直线l被两平行直线l1：x＋y＋2＝0与直线l2：x＋y－2＝0所截的线段的长为2，则直线l的倾斜角为（　　） A.165° B.85° C.150° D.75° 解析：AD　依题意，作出图形，则AC＝2，因为直线l1：x＋y＋2＝0与直线l2：x＋y－2＝0平行，所以l1，l2间的距离为＝2，即AB＝2， 因为AB⊥BC，所以∠ACB＝45°，即直线l与直线l2的夹角为45°，因为直线l2的斜率为－，则倾斜角为120°，所以直线l的倾斜角为165°或75°.故选A、D. 12.已知点A，B分别是直线l1：2x＋y－2＝0与直线l2：4x＋2y＋1＝0上的点，则AB的取值范围是　［，＋∞）　. 解析：由＝≠可知直线l1∥l2，所以当AB⊥l1且AB⊥l2时，AB有最小值，其最小值为平行直线l1与l2的距离，直线l1的方程可化为4x＋2y－4＝0，所以ABmin＝＝，即AB的取值范围是［，＋∞）. 13.（2026·南京质检）设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是方程x2＋x＋c＝0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值为　　. 解析：由已知得两条直线间的距离是d＝，因为a，b是方程x2＋x＋c＝0的两个根，所以a＋b＝－1，ab＝c，则｜a－b｜＝＝，因为0≤c≤，所以≤≤，即≤d≤. 14.如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程. 解：设l2的方程为x＋y－b＝0（b＞1）， 则A（1，0），D（0，1），B（b，0），C（0，b）. ∴｜AD｜＝，｜BC｜＝b. 梯形的高h就是A点到直线l2的距离， 故h＝＝＝， 由梯形的面积公式得×＝4， ∴b2＝9，b＝±3. 又b＞1，∴b＝3. 从而得直线l2的方程是x＋y－3＝0. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $