第1章 直线与方程 章末整合提升〔含真题体验〕(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

本高中数学讲义聚焦直线方程的求法、两直线的平行与垂直、交点与距离问题，系统梳理直线方程五种形式的适用条件，两直线位置关系的判定方法，以及距离公式的应用，构建从基础到综合的学习支架。 资料通过“反思感悟”提炼直接法、待定系数法等解题思路，强调分类讨论与逻辑推理，如直线方程求法中截距是否为0的讨论，培养数学思维。一题多解与高考真题融入，提升运算能力与应用意识，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

培优一　直线方程的求法 　　掌握直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式与一般式方程，熟悉各种形式的方程的适用条件，在具体问题中会选择适当的直线方程形式求出直线的方程. （1）〔多选〕过点（－3，1）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程可能是（　AB　） A.x＋3y＝0 B.x＋y＋2＝0 C.x－y＋2＝0 D.x－3y＝0 解析：当截距均为0时，设直线的方程为y＝kx，将点（－3，1）的坐标代入得k＝－，此时直线的方程为x＋3y＝0；当截距均不为0时，设直线的方程为＋＝1，将点（－3，1）的坐标代入得a＝－2，此时直线的方程为x＋y＋2＝0. （2）已知一条直线经过点A（2，－），且它的倾斜角等于直线x－y＝0倾斜角的2倍，则这条直线的方程为　x－y－3＝0　. 解析：由已知得直线x－y＝0的斜率为，则其倾斜角为30°，故所求直线倾斜角为60°，斜率为，故所求直线的方程为y－（－）＝（x－2），即x－y－3＝0. 反思感悟 求解直线方程的两种方法 （1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程； （2）待定系数法：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程（组）；③解这个方程（组）求出参数；④把参数的值代入所设直线方程. 提醒：（1）应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在； （2）应用“截距式”方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0； （3）应用一般式Ax＋By＋C＝0确定直线的斜率时注意讨论B是否为0. 若一条直线经过点A（－2，2），并且与两坐标轴围成的三角形面积为1，则此直线的方程为　x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0　. 解析：由题意设直线方程为y＝k（x＋2）＋2，直线与两坐标轴交点为（－2－，0），（0，2k＋2）.∵与两坐标轴围成的三角形的面积为1，∴｜－2－｜·｜2k＋2｜＝1，∴｜｜｜2k＋2｜＝1，∴＝1.①k＞0时，（2k＋2）2＝2k，整理得2k2＋3k＋2＝0，无解.②k＜0时，（2k＋2）2＝－2k，整理得2k2＋5k＋2＝0，∴k＝－2或k＝－，则所求直线的方程为2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0. 培优二　两直线的平行与垂直 　　理解两直线平行与垂直的条件；能用斜率判定两直线的平行或垂直，并能利用两直线平行或垂直的条件解决相关问题. （1）若直线l1：2x＋my＋1＝0与直线l2：m2x－y＋＝0垂直，则实数m的值为（　C　） A.0 B.－或0 C.0或 解析：由于l1⊥l2，所以2×m2＋m×（－1）＝2m2－m＝m（2m－1）＝0，解得m＝0或m＝.故选C. （2）“a＝－”是“直线ax＋（a＋1）y＝0和直线2ax＋（1－a）y＋1＝0平行”的（　C　） A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：当a≠±1时，直线ax＋（a＋1）y＝0和直线2ax＋（1－a）y＋1＝0平行⇔－＝且≠⇔a＝0或a＝－，当a＝±1时，易知两直线不平行，所以“a＝－”是“直线ax＋（a＋1）y＝0和直线2ax＋（1－a）y＋1＝0平行”的充分不必要条件.故选C. 反思感悟 1.判定两条直线平行、垂直的方法 （1）若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1（注意斜率不存在时的特殊情形）； （2）一般式方程下的平行与垂直：l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 2.解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想” 1.已知l1的倾斜角为45°，l2经过点P（－2，－1），Q（3，m）.若l1⊥l2，则实数m＝（　　） A.6　　　　B.－6　 　　　C.5　　 　　D.－5 解析：B　因为＝tan 45°＝1，＝＝，且l1⊥l2，所以·＝1×＝－1，解得m＝－6，故选B. 2.若直线m1：x＋3by－5＝0与直线m2：2bx＋y＋2＝0平行，则b＝　±　. 解析：直线m1：x＋3by－5＝0与直线m2：2bx＋y＋2＝0平行，∴1＝6b2，且2≠2b×（－5），∴b2＝，∴b＝±. 培优三　两直线的交点与距离问题 1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标. 2.掌握平面上两点间的距离、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离. （1）若点（1，a）到直线y＝x＋1的距离是，则实数a的值为（　　） A.－1 B.5 C.－1或5 D.－3或3 解析：C　∵点（1，a）到直线y＝x＋1的距离是，∴＝，即｜a－2｜＝3，解得a＝－1或a＝5，∴实数a的值为－1或5. （2）若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：（a－2）x＋3y＋2a＝0平行，求直线l1与l2间的距离. 解：因为直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：（a－2）x＋3y＋2a＝0平行， 所以3－a（a－2）＝0且2a2－18≠0，解得a＝－1. 所以直线l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0， 所以直线l1与l2间的距离d＝＝. 反思感悟 两种距离的求解思路 （1）点到直线的距离：可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式； （2）两平行直线间的距离：①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的距离公式（利用公式前需把两平行线方程中x，y的系数化为对应相等的形式）. 　〔一题多解〕已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且点P（0，4）到直线l的距离为2，则这样的直线l的条数为（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 解析：C　法一　由得即直线l过点（1，2）.设点Q（1，2），因为PQ＝＝＞2，所以满足条件的直线l有2条. 法二　依题意，设经过直线l1与l2交点的直线l的方程为2x＋3y－8＋λ（x－2y＋3）＝0（λ∈R），即（2＋λ）x＋（3－2λ）y＋3λ－8＝0.由题意得＝2，化简得5λ2－8λ－36＝0，解得λ＝－2或λ＝，代入得直线l的方程为y＝2或4x－3y＋2＝0，所以直线l有2条. 1.〔一题多解〕（2020·全国Ⅲ卷）点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）距离的最大值为（　　） A.1 B. C. D.2 解析：B　法一　由点到直线的距离公式知点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）的距离d＝＝＝＝.当k＝0时，d＝1；当k≠0时，d＝＝，要使d最大，需k＞0且k＋最小，∴当k＝1时，dmax＝，故选B. 法二　记点A（0，－1），直线y＝k（x＋1）恒过点B（－1，0），当AB垂直于直线y＝k（x＋1）时，点A（0，－1）到直线y＝k（x＋1）的距离最大，且最大值为｜AB｜＝，故选B. 2.（天津高考）“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：C　当a＝2时，直线2x＋2y＝0与直线x＋y＝1平行；若直线ax＋2y＝0与直线x＋y＝1平行，则a－2＝0，即a＝2，故选C. 3.（福建高考）若直线＋＝1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a＋b的最小值等于（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 解析：C　把点（1，1）代入直线，得＋＝1，故a＋b＝（a＋b）（＋）＝2＋＋≥2＋2＝4.当且仅当a＝b＝2时取得最小值，故选C. 4.（江苏高考）如图，在平面直角坐标系xOy中，设△ABC的顶点分别为A（0，a），B（b，0），C（c，0），点P（0，p）是线段AO上的一点（异于端点），这里a，b，c，p均为非零实数，设直线BP，CP分别与边AC，AB交于点E，F，某同学已正确求得直线OE的方程为（－）x＋（－）y＝0，请你完成直线OF的方程： （　－　）x＋（－）y＝0. 解析：AB：＋＝1，CP：＋＝1，两式相减得OF：（－）x＋（－）y＝0. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $