第1章 12-单元整合练 直线与方程的综合应用（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（苏教版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了直线与方程的核心知识，涵盖直线方程形式、位置关系、距离公式及综合应用，通过知识框架将斜截式方程、平行垂直判定、点到直线距离等内容串联，构建完整的逻辑脉络。 其亮点在于采用“基础辨析-几何应用-拓展探究”的分层设计，如多选题通过直线方程形式判断培养数学思维，解答题结合正方形边长计算、动点轨迹分析发展数学眼光，助力学生巩固知识，教师精准把握学情提升复习效率。

第1章 直线与方程 第1讲　描述运动的基本概念 专题专项练 单元整合练　直线与方程的综合应用 第1讲　描述运动的基本概念 1.[多选题][2026江苏常州西夏墅高级中学学情调研]已知直线l:x+2y+c=0(c≠0),则下列说法正确的是          ( 　　　) A.直线l的斜截式方程是x=-2y-c B.直线l与直线x+2y=0平行 C.直线l与直线2x+y-1=0垂直 D.若直线l上任一点P向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度后得点Q,则点Q仍在直线l上     BD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,直线l的斜截式方程是y=- x- c,故A错误; 对于B,因为 = ≠ (c≠0),所以直线l与直线x+2y=0平行,故B正确; 对于C,因为1×2+2×1≠0,所以直线l与直线2x+y-1=0不垂直,故C错误; 对于D,设P(x,y),则x+2y+c=0,将点P向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度后,得点Q(x+2,y-1), 因为(x+2)+2(y-1)+c=x+2y+c=0,所以点Q仍在直线l上,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2026江苏南通启东中学月考]已知正方形ABCD中心的坐标为(2,3),若直线AB的方程为3x+4y +2=0,则与AB边垂直的两条边所在的直线方程为 (　　　　　) A.4x-3y+1=0　　　    B.4x-3y+7=0 C.4x-3y-19=0　　　    D.4x-3y+21=0     CD     解析　∵直线AB的方程为3x+4y+2=0, ∴直线AB的斜率为- ,故所求直线的斜率为 , 设其方程为4x-3y+c=0(c为常数), ∵正方形中心(2,3)到直线AB的距离d= =4, ∴正方形中心(2,3)到所求直线的距离为4,即 = =4,解得c=-19或c=21, ∴与AB边垂直的两条边所在的直线方程为4x-3y-19=0或4x-3y+21=0. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[多选题][2026江苏镇江重点高中学情调研]下列说法正确的是 (　　　) A.如果A·C<0,B·C>0,则直线Ax+By+C=0不经过第二象限 B.向量a=(2,-3)是直线2x+3y+4=0的一个方向向量 C.直线2x-y-1=0与直线x-2y+4=0关于直线x-y+1=0对称 D.“m=-2”是“直线mx+2y+3m-2=0与直线3x+(m-1)y+7=0平行”的充分不必要条件     AC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为A·C<0,B·C>0,所以A,B,C均不为0,故直线方程Ax+By+C=0可变形为y=- x- .因为B·C>0,所 以- <0,又因为A·C<0,所以A·C·B·C<0,即A·B<0,所以- >0,因此该直线的斜率大于0,在y轴上的截距小于 0,故该直线不经过第二象限,故A正确. 对于直线方程2x+3y+4=0,当y=0时,x=-2;当x=0时,y=- ,故该直线经过点(-2,0)和点 ,因此向量n=  是该直线的一个方向向量.因为向量n与向量a=(2,-3)不共线,所以向量a不是该直线的一个方向 向量,故B错误. 对于直线方程x-y+1=0,变形得y=x+1,故与该直线垂直的直线的方程为y=-x+b,b∈R.该垂线与直线2x-y-1 =0和直线x-2y+4=0分别交于点 和点 .易得两交点到直线x-y+1=0的距离均为  ,故两直线关于直线x-y+1=0对称,故C正确. 第1讲　描述运动的基本概念 若直线mx+2y+3m-2=0与直线3x+(m-1)y+7=0平行,则m(m-1)=2×3,解得m=3或m=-2,当m=3时,两直线重合, 舍去,故为充要条件,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[多选题][2026江苏常州高级中学阶段考试]下列四个命题中正确的有 (　　　) A.过点(3,1),且在x轴和y轴上的截距的绝对值相等的直线方程为x+y-4=0,x-y-2=0 B.若直线kx+y-k+1=0和以M(-3,1),N(3,2)为端点的线段相交,则实数k的取值范围为 ∪  C.若三条直线x+y=0,x-y=0,x+ay=3-a不能围成三角形,则实数a所有可能的取值组成的集合为{-1,1} D.若直线l沿x轴向左平移3个单位长度,再沿y轴向上平移2个单位长度后,回到原来的位置,则直线l的斜 率为-      BD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,直线y= x经过原点和点(3,1),也符合题意,故A错误; 对于B,直线kx+y-k+1=0即直线y+1=-k(x-1),故其斜率为-k,恒过定点(1,-1),记为P,   则kPN= = ,kPM= =- , 所以-k≥kPN= 或-k≤kPM=- , 解得k≤- 或k≥ ,故实数k的取值范围为 ∪ ,B正确; 对于C,当直线x+y=0,x+ay=3-a平行时, = ≠ ,解得a=1, 第1讲　描述运动的基本概念 当直线x-y=0,x+ay=3-a平行时, = ≠ ,解得a=-1, 易得直线x+y=0,x-y=0交于点(0,0), 当点(0,0)在直线x+ay=3-a上时,a=3,所以实数a的取值集合为{-1,1,3},故C错误; 对于D,当直线l的斜率不存在或l的斜率为0时,不满足要求,当直线l的斜率存在且不为0时,设其方程为y= kx+b(k≠0), 将直线l沿x轴向左平移3个单位长度,再沿y轴向上平移2个单位长度后, 得到平移后的直线方程为y=k(x+3)+b+2,即y=kx+3k+b+2,故3k+2=0,解得k=- ,故直线l的斜率为- ,故D正 确. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026湖北武汉第六中学月考]在平面直角坐标系中,已知动点P(a,b)到两直线l1:y=2x与l2:y=- x+1的距 离之和为 ,则 的取值范围是(　　　) A. ∪ 　　　　　    B.  C. ∪ 　　　　　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　将直线l1:y=2x与l2:y=- x+1的方程化为一般式,得l1:2x-y=0,l2:x+2y-2=0, 所以点P(a,b)到两直线的距离之和为 + = , 所以|2a-b|+|a+2b-2|=5①. 当 时,①式变形为3a+b=7; 当 时,①式变形为a-3b=3; 当 时,①式变形为-a+3b=7; 当 时,①式变形为3a+b=-3. 故动点P(a,b)的轨迹为如图所示的四边形ABCD, 第1讲　描述运动的基本概念  的几何意义为四边形ABCD边上任意一点与点E(-4,-1)连线的斜率. 由 得  由 得  所以C ,D , 所以kCE= =- ,kDE= = ,所以 的取值范围是 . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026辽宁大连第八中学月考]如图,已知直线l过点(3,4),且与直线3x-4y+2=0垂直,与x轴、y轴的正半轴 分别交于点A,B,点P为线段AB上一动点,且PQ∥OB,PQ交OA于点Q. (1)求线段AB的垂直平分线方程; (2)若△APQ的面积S△APQ与四边形OQPB的面积S四边形OQPB满足S△APQ= S四边形OQPB,请你确定点P在AB上的位 置,并求出线段PQ的长; (3)判断在y轴上是否存在点M,使△MPQ为等腰直角三角形,若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理 由.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为直线l与直线3x-4y+2=0垂直,所以直线l的斜率k=- , 又直线l过点(3,4),所以直线l的方程为y-4=- (x-3),即4x+3y-24=0. 令y=0,得x=6,即A(6,0);令x=0,得y=8,即B(0,8), 则线段AB的中点坐标为(3,4), 又直线l的斜率k=- , 所以线段AB的垂直平分线方程为y-4= (x-3),即3x-4y+7=0. (2)由(1)知直线l的方程为4x+3y-24=0,B(0,8), 因为S△APQ= S四边形OQPB,所以S△APQ= S△ABO. 由PQ∥OB,知△APQ与△ABO相似,于是有 = = ,即 = = ,得PQ=4, 第1讲　描述运动的基本概念 此时点P为线段AB的中点, 所以S△APQ= S四边形OQPB时,点P为线段AB的中点,且PQ=4. (3)假设在y轴上存在点M,使△MPQ为等腰直角三角形, 解题指导:直角不确定,故分∠PQM=90°、∠MPQ=90°和∠PMQ=90°三种情况进行讨论. 由(1)知直线l的方程为4x+3y-24=0, 如图1,当∠PQM=90°时,因为点M在y轴上,点Q在x轴的正半轴上,所以点M必与原点O重合,设Q(t,0),因为 MQ=PQ,所以P(t,t),于是有4t+3t-24=0,解得t= <6, 此时M(0,0)满足题意; 第1讲　描述运动的基本概念        如图2,当∠MPQ=90°时,由PQ∥OB,MP=PQ,知四边形OMPQ为正方形, 设Q(t1,0),则P(t1,t1),M(0,t1),于是有4t1+3t1-24=0,解得t1= <6, 此时M 满足题意; 如图3,当∠PMQ=90°时,由PQ∥OB,MQ=MP,得∠OQM=∠PQM=45°,即OM=OQ, 设Q(t2,0),则M(0,t2),P ,显然直线QM的斜率为-1,则直线PM的斜率为1, 第1讲　描述运动的基本概念 即 =1,解得t2= <6, 此时M 满足题意.   综上,y轴上存在点M(0,0)或M 或M ,使△MPQ为等腰直角三角形. 第1讲　描述运动的基本概念 $