1.5.1 平面上两点间的距离(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

本讲义聚焦平面上两点间的距离公式这一核心知识点，从公路旁公交站选址的实际问题引入，系统梳理公式推导过程，涵盖两点坐标距离公式、原点距离特例及平行坐标轴时的简化形式，搭建从情境到公式再到应用的学习支架。 该资料以真实情境培养直观想象，通过判断正误、一题多解等设计提升数学运算能力，坐标法证明几何问题强化逻辑推理。课中助力教师情境化授课，课后练习题与规律总结帮助学生巩固知识，查漏补缺。

1.5.1　平面上两点间的距离 课标要求 　　探索并掌握平面上两点间的距离公式（直观想象、数学运算、逻辑推理）. 　　在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现计划在公路上某处建一个公交站点C，以方便居住在两个小区住户的出行. 【问题】　如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　两点间的距离公式 条件 点P1（x1，y1），P2（x2，y2） 结论 P1P2＝　 特例 点P（x，y）到原点O（0，0）的距离OP＝　 提醒：（1）两点间的距离公式与两点的先后顺序无关；（2）当直线P1P2平行于x轴时，P1P2＝｜x2－x1｜；当直线P1P2平行于y轴时，P1P2＝｜y2－y1｜. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）点P1（0，a），点P2（b，0）之间的距离为a－b.（　×　） （2）当A（x1，y1），B（x2，y2）两点的连线与坐标轴平行或垂直时，两点间的距离公式不适用.（　×　） （3）已知A（a，0），B（0，b），则线段AB的中点坐标为（，）.（　√　） 2.已知A（－2，3），B（－2，－3），则AB＝（　　） A.2　　　　B.4　 　　　C.6　　 　　D.10 解析：C　AB＝＝6. 3.已知点A（－2，－1），B（a，3），且AB＝5，则a的值为（　　） A.1 B.－5 C.1或－5 D.－1或5 解析：C　∵AB＝＝5，∴a＝－5或a＝1. 题型一　两点间的距离公式 （链接教科书第34页例1（1））（1）直线y＝x上的两点P，Q的横坐标分别是1，5，则PQ＝（　B　） A.4 B.4 C.2 D.2 解析：由题意得P（1，1），Q（5，5），∴PQ＝＝4. （2）已知△ABC的顶点坐标为A（－1，5），B（－2，－1），C（4，3），M是BC边上的中点，则AM＝　2　. 解析：由B（－2，－1），C（4，3），∴M点的坐标为（1，1），故AM＝＝2. 规律方法 1.求两点间距离的方法 首先根据题目条件确定点的坐标，再代入两点间的距离公式求值，代入时注意点的坐标的对应位置要准确. 2.已知P1（x1，y1），P2（x2，y2），则P1P2中点M坐标为（，）. 　已知△ABC的顶点为A（2，3），B（－1，0），C（2，0），则△ABC的周长为　6＋3　. 解析：AB＝＝3，BC＝＝3，AC＝＝3， 故△ABC的周长为3＋3＋3＝6＋3. 题型二　两点间距离公式的应用 （链接教科书第34页例1（2））（1）已知点P（a，2），A（－2，－3），B（1，1），若PA＝PB，则a＝　－　； 解析：因为点P（a，2），A（－2，－3），B（1，1），且PA＝PB，则＝，解得a＝－. （2）〔一题多解〕已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（－3，1），B（3，－3），C（1，7），试判断△ABC的形状. 解：法一　∵AB＝＝2， AC＝＝2， 又BC＝＝2， ∴AB2＋AC2＝BC2，且AB＝AC， ∴△ABC是等腰直角三角形. 法二　∵kAC＝＝，kAB＝＝－， 则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB. 又AC＝＝2， AB＝＝2， ∴AC＝AB，∴△ABC是等腰直角三角形. 规律方法 1.判断三角形形状的解题策略 （1）先采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向； （2）根据两点间的距离公式分别求出三边的长，确定是等腰、等边、还是直角三角形. 2.由两点间的距离求参数值（范围），一般可将条件转化为含参数的方程或不等式（方程组或不等式组）求解. 1.已知点M（－1，4），N（7，0），y轴上一点P满足PM＝PN，则点P的坐标为（　　） A.（0，－3） B.（0，－4） C.（0，－6） D.（0，－7） 解析：B　由于点P在y轴上，设P（0，b），又M（－1，4），N（7，0），PM＝PN，∴＝，解得b＝－4.故点P的坐标为（0，－4），故选B. 2.在已知直线2x－y＝0上存在一点P，使它到点M（5，8）的距离为5，则直线PM的方程为　4x－3y＋4＝0或24x－7y－64＝0　. 解析：∵点P在直线2x－y＝0上，∴可设P点坐标为（a，2a），∴＝5，即5a2－42a＋64＝0，解得a＝2或a＝，∴点P的坐标为（2，4）或（，）.∴直线PM的方程为＝或＝，即4x－3y＋4＝0或24x－7y－64＝0. 题型三　坐标法的应用 （链接教科书第36页例3）在△ABC中，AD是BC边上的中线，试建立适当的直角坐标系，求证：AB2＋AC2＝2（AD2＋DC2）. 证明：以BC边所在直线为x轴，D为原点，建立平面直角坐标系，如图所示， 设A（b，c），C（a，0）， 则B（－a，0）. 因为AB2＝（a＋b）2＋c2， AC2＝（a－b）2＋c2， AD2＝b2＋c2，DC2＝a2， 所以AB2＋AC2＝2（a2＋b2＋c2）， AD2＋DC2＝a2＋b2＋c2， 所以AB2＋AC2＝2（AD2＋DC2）. 规律方法 利用坐标法解平面几何问题的四个步骤 （1）建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上； （2）用坐标表示有关的点； （3）将几何关系转化为坐标运算； （4）把代数运算结果“翻译”成几何关系. 已知等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：AC＝BD. 证明：如图所示，建立平面直角坐标系，设A（0，0），B（a，0），C（b，c）， 则点D的坐标是（a－b，c）. ∴AC＝＝， BD＝＝. 故AC＝BD. 1.已知点（x，y）到原点的距离等于1，则实数x，y满足的条件是（　　） A.x2－y2＝1 B.x2＋y2＝0 C.＝1 D.＝0 解析：C　由两点间的距离公式得＝1. 2.A（2，1），B（4，2）两点间的距离为（　　） A.3 B.3 C. D.2 解析：C　由两点间的距离公式得AB＝＝，故选C. 3.已知点M（x，－4）与点N（2，3）间的距离为7，则x＝　9或－5　. 解析：由MN＝7，得MN＝ ＝7，即x2－4x－45＝0，解得x＝9或x＝－5.故所求x的值为9或－5. 4.已知△ABC的顶点坐标为A（－1，5），B（－2，－1），C（2，3），求BC边上的中线长. 解：BC的中点坐标为（0，1）， 则BC边上的中线长为＝. 1.已知点A（7，4），B（4，8），则A，B两点间的距离为（　　） A.25 B.5 C.4 D. 解析：B　由两点间的距离公式得AB＝＝＝5. 2.已知直线l1：x＋2y－5＝0，直线l2：3x－y－1＝0的交点为A，O为坐标原点，则点A到原点的距离为（　　） A.1 B.2 C. 解析：C　解方程组得即A（1，2），而O为坐标原点，则AO＝＝，所以点A到原点的距离为. 3.已知坐标平面内三点A（3，2），B（0，5），C（4，6），则△ABC的形状是（　　） A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 解析：C　由两点间的距离公式，可得AB＝，BC＝CA＝，且BC2＋CA2≠AB2，∴△ABC为等腰三角形. 4.过点M（－2，a），N（a，4）的直线的斜率为，则MN＝（　　） A.2 B.2 C.4 D.4 解析：B　∵过点M（－2，a），N（a，4）的直线的斜率k＝＝，解得a＝2，∴M（－2，2），N（2，4），∴MN＝＝2.故选B. 5.直线l1：3ax－y－2＝0和直线l2：（2a－1）x＋5ay－1＝0分别过定点A和B，则AB＝（　　） A. B. C. 解析：A　直线l1：y＝3ax－2过定点A（0，－2），直线l2：a（2x＋5y）－（x＋1）＝0过定点B（－1，），所以AB＝＝. 6.〔多选〕直线x＋y－1＝0上与点P（－2，3）的距离等于的点的坐标可能是（　　） A.（－4，5） B.（－3，4） C.（－1，2） D.（0，1） 解析：BC　设所求点的坐标为（x0，y0），有x0＋y0－1＝0，且＝，两式联立解得或 7.已知点A（－2，13），点B（－2，－5），则AB＝　18　. 解析：AB＝｜y1－y2｜＝｜13＋5｜＝18. 8.若动点P的坐标为（x，1－x），x∈R，则动点P到原点的最小值是　　. 解析：由两点间的距离公式得P到原点的距离为＝＝， ∴最小值为＝. 9.已知A，B两点都在直线y＝2x－1上，且A，B两点的横坐标之差的绝对值为，则A，B两点间的距离为　　. 解析：设点A（a，2a－1），点B（b，2b－1），因为｜a－b｜＝，所以AB＝＝｜a－b｜＝. 10.已知直线ax＋2y－1＝0和x轴、y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点到原点的距离为，求a的值. 解：由题易知a≠0，∴在直线ax＋2y－1＝0中， 令y＝0，有x＝，则A（，0），令x＝0，有y＝，则B（0，），故AB的中点为（，）， ∵线段AB的中点到原点的距离为， ∴＝，解得a＝±2. 11.过定点A的直线x－my＝0（m∈R）与过定点B的直线mx＋y－m＋3＝0（m∈R）交于点P（x，y），则PA2＋PB2＝（　　） A. B.10 C.2 D.20 解析：B　直线x－my＝0过定点A（0，0），直线mx＋y－m＋3＝0可化为m（x－1）＋y＋3＝0，由可得所以定点B（1，－3），当m＝0时，直线方程为x＝0，y＋3＝0，此时两直线垂直；当m≠0时，由两直线的斜率之积为k1k2＝×（－m）＝－1可知两直线垂直，所以PA⊥PB，所以PA2＋PB2＝AB2＝（0－1）2＋[0－（－3）]2＝10. 12.〔多选〕对于，下列说法正确的是（　　） A.可看作点（x，0）与点（1，2）的距离 B.可看作点（x，0）与点（－1，－2）的距离 C.可看作点（x，0）与点（－1，2）的距离 D.可看作点（x，－1）与点（－1，1）的距离 解析：BCD　＝＝＝，故可看作点（x，0）与点（－1，－2）的距离，可看作点（x，0）与点（－1，2）的距离，可看作点（x，－1）与点（－1，1）的距离，故选项A不正确. 13.设A（－3，1），B（2，4），点P在x轴上，则PA＋PB的最小值为　5　，此时点P的坐标为　（－2，0）　. 解析：由题意得，点A（－3，1）关于x轴的对称点为A'（－3，－1），PA＋PB＝PA'＋PB≥A'B（当且仅当A'，P，B三点共线时取等号），又B（2，4），则A'B＝＝5，∴直线A'B的方程为＝，即x－y＋2＝0，∴当PA＋PB取最小值时，点P为直线x－y＋2＝0与x轴的交点，∴此时点P的坐标为（－2，0）. 14.在△ABC中，D是BC边上的任意一点（D与B，C不重合），且AB2＝AD2＋BD·DC.求证：△ABC为等腰三角形. 证明：作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 设A（0，h），B（b，0），C（c，0），D（d，0）. 因为AB2＝AD2＋BD·DC， 则由两点间距离公式得b2＋h2＝d2＋h2＋（d－b）（c－d）， 整理得－（d－b）（b＋d）＝（d－b）（c－d）. 因为点D与点B，C不重合，所以d－b≠0， 所以－b－d＝c－d，即－b＝c.所以OB＝OC，于是AB＝AC，即△ABC为等腰三角形. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $