1.5.2 第2课时 两平行直线间的距离(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

该高中数学课件聚焦“两平行直线间的距离”，涵盖定义、公式及应用。通过“平行水管接通最节省材料”的情境导入，衔接点到直线的距离知识，搭建从实际问题到数学概念的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于以情境问题激发探究欲，通过自我诊断辨析概念，典例研析中转化法、公式法的应用培养数学思维。题型三结合数形结合求动平行直线距离最值，体现用数学眼光观察几何关系，用数学语言表达公式应用。学生能提升知识迁移能力，教师可借助分层作业和规律总结优化教学效率。

1.5.2　点到直线的距离 第2课时　两平行直线间的距离 第一章　直线与方程 1 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 3 图中的a，b是两根互相平行的水管，由于工程需要，现在要用一根 水管把它们接通. 【问题】　你认为选用哪根水管最节省材料？ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 知识点　两条平行直线间的距离 1. 定义：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的 ⁠ 的长. 2. 图示： 公垂线 段　 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. 公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0（A， B不同时为0，C1≠C2）之间的距离d＝ ⁠. 提醒：（1）两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离；（2）运用 两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应 相同. 　 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）连接两平行直线上任意两点，即得两平行直线间的距离. （　×　） （2）若直线l1：x＋y－1＝0上有A（1，0），B（0，1），C（－1，2） 三点，则点A，B，C到直线l2：x＋y＋1＝0的距离相等. （　√　） （3）已知直线l1：x＝x1，l2：2x＝x2，则直线l1，l2间的距离为｜x2－ x1｜. （　×　） × √ × 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 已知直线l1：3x－y＋3＝0与l2：3x－y＋C＝0之间的距离为 ，则 C＝（　　） A. 13 B. 13或－7 C. 7 D. 7或－13 解析：　因为l1∥l2，则 ＝ ，得C＝13或－7，故选B. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. 已知直线l1：3x－4y＋5＝0，l2：3x－4y－10＝0，则l1与l2的距离 为 ⁠. 解析：由题意可知，l1∥l2，所以直线l1与l2的距离为d＝ ＝3. 3 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 典例研析>> 目录 10 题型一　两平行直线间的距离公式 （链接教科书第39页例5）（1）若倾斜角为45°的直线m被直线l1： x＋y－1＝0与l2：x＋y－3＝0所截得的线段为AB，则AB的长为（　B　） A. 1 B. C. D. 2 解析：由题意，可得直线m与直线l1，l2垂直，则由两平行直线间的距离 公式，得AB＝ ＝ . B 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （2）分别过点A（－2，1）和点B（3，－5）的两条直线均垂直于x轴， 则这两条直线间的距离是 ⁠. 解析：两直线方程分别是x＝－2和x＝3，故两条直线间的距离为d＝｜－ 2－3｜＝5. 5 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 规律方法 求两平行直线间的距离的方法 （1）转化法：将两平行线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另 一条直线的距离.因为结果与点的选择无关，所以选点时，常选取一个特 殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算； （2）公式法：直接利用公式计算，但要注意两直线方程中x，y的系数对 应相等. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 已知直线5x＋12y－3＝0与直线10x＋my＋20＝0平行，则它们之间的距 离是（　　） A. 1 B. 2 C. D. 4 解析：　由两条直线平行可得 ＝ ，解得m＝24.则直线10x＋24y＋ 20＝0，即5x＋12y＋10＝0，由两条平行直线间的距离公式得d＝ ＝1. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 题型二　两平行直线间距离的简单应用 （1）〔一题多解〕已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－ 1＝0的距离相等，则l的方程是 ⁠； 解析：法一　由题意可设l的方程为2x－y＋c＝0，于是有 ＝ ，即｜c－3｜＝｜c＋1｜，解得c＝1，则直线l的方程为 2x－y＋1＝0. 法二　由题意知l必介于l1与l2中间，故设l的方程为2x－y＋c＝0，则c ＝ ＝1.则直线l的方程为2x－y＋1＝0. 2x－y＋1＝0 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （2）已知两条平行直线l1：3x＋4y＋5＝0，l2：6x＋by＋c＝0间的距离 为3，则b＋c＝ ⁠. 解析：将l1：3x＋4y＋5＝0改写为6x＋8y＋10＝0，因为两条直线平行， 所以b＝8.由 ＝3，解得c＝－20或c＝40，所以b＋c＝－12或 48. －12或48 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 规律方法 两平行直线间距离公式的应用 （1）若已知两平行直线间的距离求相关参数的值，可利用两平行直线间 的距离公式建立关于参数的方程求解； （2）若已知两平行直线间的距离求直线方程，可设出直线方程，然后利 用两平行直线间的距离公式列方程求解未知量，进而得出所求直线方程. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 〔多选〕已知直线l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直 线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2，则直线l的方程为（　　） A. 2x＋3y－8＝0 B. 4x＋6y＋5＝0 C. 6x＋9y－10＝0 D. 12x＋18y－13＝0 √ √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解析：设直线l：4x＋6y＋m＝0，m≠－2且m≠－9，直线l到直线l1和到直线l2的距离分别为d1，d2.则d1＝ ，d2＝ .因为 ＝ ，所以 ＝ ，即2｜m＋2｜＝｜m＋9｜，解得m＝ 5或m＝－ ，所以直线l的方程为4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0.故 选B、D. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 题型三　分别过两定点的动平行直线间距离的最值问题 两条互相平行的直线分别过点A（6，2）和B（－3，－1），并且各 自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求： （1）d的变化范围； 解： 如图，显然有0＜d≤AB. 而AB＝ ＝3 . 故所求的d的变化范围为（0，3 ]. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （2）当d取最大值时，两条直线的方程. 解：由图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直.而kAB＝ ＝ ， 所以所求直线的斜率为－3. 故所求的直线方程分别为y－2＝－3（x－6）和y＋1＝－3（x＋3）， 即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 规律方法 应用数形结合思想求最值 （1）解决此类问题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为 “形”，从而利用图形的直观性加以解决； （2）数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到.当图形中的元素 运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变 化范围. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 　已知直线l1，l2是分别经过A（1，1），B（0，－1）两点的两条平行直 线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是 ⁠. 解析：当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距 离最大.因为A（1，1），B（0，－1），所以kAB＝ ＝2，所以两条平 行直线的斜率为－ ，所以直线l1的方程为y－1＝－ （x－1），即x＋ 2y－3＝0. x＋2y－3＝0　 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 1. 直线x－y＝0与直线x－y＋2＝0之间的距离为（　　） A. B. 1 C. D. 2 解析：依题意，直线x－y＝0与直线x－y＋2＝0之间的距离为 ＝ ，故选C. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. （2026·无锡月考）两条平行直线3x＋4y－12＝0与ax＋8y＋11＝0间 的距离为（　　） A. 　　　B. 　 　　 D. 解析：直线3x＋4y－12＝0即直线6x＋8y－24＝0，由题意知，a＝6，故两条平行直线3x＋4y－12＝0与ax＋8y＋11＝0间的距离为 ＝ . √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. 已知P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点， 则PQ的最小值为（　　） A. B. C. 解析： 　直线6x＋8y＋5＝0可化为3x＋4y＋ ＝0，易知直线3x＋4y－ 12＝0与3x＋4y＋ ＝0平行，故PQ的最小值即两平行直线间的距离，故 PQmin＝ ＝ . √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 4. 直线l1，l2分别过点M（1，4），N（－3，1），它们分别绕点M和N 旋转，但必须保持平行，那么它们之间的距离d的最大值是 ⁠. 解析：根据题意画出图形，如图所示，根据图形 可得：当l1∥l2，且l1⊥MN，l2⊥MN时，l1与l2 之间的距离为MN；当直线l1，l2分别绕点M，N 旋转到l'1，l'2位置时，l'1∥l'2，但是l'1与MN不垂 直，l'2与MN不垂直时，过M点向l'2引垂线，垂 足为P，则l'1与l'2之间的距离为MP. 因为MN＞ MP，所以dmax＝MN＝ ＝5. 5 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 课时作业 >> 目录 28 1. 直线 － ＝1与y＝ x＋1之间的距离为（　　） A. B. C. D. 24 解析：　两直线变形为3x－2y－12＝0与3x－2y＋2＝0，则两直线间的 距离d＝ ＝ ＝ .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 若直线l1：2x－ay＋1＝0与l2：（a－1）x－y－1＝0平行，则l1与l2之 间的距离为（　　） A. B. C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解析： 因为直线l1：2x－ay＋1＝0与l2：（a－1）x－y－1＝0平行，所以2×（－1）＝－a×（a－1），解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，l1：2x＋y＋1＝0与l2：－2x－y－1＝0重合，故舍去；当a＝2时，l1：2x－2y＋1＝0与l2：2x－2y－2＝0之间的距离d＝ ＝ .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. 若直线2x＋y－3＝0与直线4x＋2y＋a＝0之间的距离不大于 ，则实 数a的取值范围为（　　） A. （－∞，4] B. [－16，4] C. [－4，16] D. [4，16] 解析：　直线2x＋y－3＝0化为4x＋2y－6＝0，则两直线之间的距离d ＝ ≤ ，即｜a＋6｜≤10，解得－16≤a≤4，所以实数a的取 值范围为[－16，4]，故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 4. 已知m，n，a，b∈R，且满足3m＋4n＝6，3a＋4b＝1，则 的最小值为（　　） A. B. C. 1 D. 解析：　（m，n）为直线3x＋4y＝6上的动点，（a，b）为直线3x＋ 4y＝1上的动点， 可理解为两动点间距离，显 然其最小值即两平行线间的距离d＝ ＝1.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 5. 〔多选〕到直线2x＋y＋1＝0的距离等于 的直线方程可能为（　　） A. 2x＋y－1＝0 B. 2x＋y－2＝0 C. 2x＋y＝0 D. 2x＋y＋2＝0 解析：因为所求直线与直线2x＋y＋1＝0的距离为 ，所以可得所求直线与已知直线平行，设所求直线方程为2x＋y＋c＝0（c≠1），则d＝ ＝ ，解得c＝0或c＝2，故所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 6. 〔多选〕若P，Q分别为l1：3x＋4y＋5＝0，l2：ax＋8y＋c＝0上的 动点，且l1∥l2，则下面说法正确的有（　　） A. 直线l2的斜率为定值 B. 当c＝25时，PQ的最小值为 C. 当PQ的最小值为1时，c＝20 D. c≠10 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解析：因为l1∥l2，所以 ＝ ≠ ，所以a＝6，c≠10，故A、D正确；因为PQ的最小值为两平行直线间的距离，所以当c＝25时，d＝ ＝ ，故B正确；当PQ的最小值为1时，d＝ ＝1，解得c＝20或c＝0，故C错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 7. 若两条平行直线Ax－2y－1＝0与6x－4y＋C＝0之间的距离为 ，则 C＝ ⁠. 解析：由直线Ax－2y－1＝0与6x－4y＋C＝0平行，可得A＝3，即两直 线方程分别为6x－4y－2＝0，6x－4y＋C＝0，两平行直线间的距离为 ，可得 ＝ ，解得C＝11或－15. 11或－15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 8. 直线l与直线x－2y＋4＝0平行，且直线l到直线x－2y＋4＝0的距离和 原点到直线l的距离相等，则直线l的方程是 ⁠. 解析：由题意设所求直线l的方程为x－2y＋C＝0（C≠4），则 ＝ ，解得C＝2，故直线l的方程为x－2y＋2 ＝0. x－2y＋2＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 9. 在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x＋2y ＋1＝0和x＋2y＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x－4y＋c1＝ 0和3x－4y＋c2＝0，则｜c1－c2｜＝ ⁠. 解析：由题意得，菱形两组对边间的距离相等，所以 ＝ ，解得｜c1－c2｜＝2 . 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 10. 已知直线l1：2x＋y＋2＝0；l2：mx＋4y＋n＝0. （1）若l1⊥l2，求m的值； 解：设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1＝－2，k2＝－ . （1）若l1⊥l2，则k1k2＝ ＝－1，所以m＝－2. （2）若l1∥l2，且它们间的距离为 ，求m，n的值. 解：若l1∥l2，则－2＝－ ，所以m＝8. 所以直线l2的方程可以化简为2x＋y＋ ＝0， 所以直线l1与l2间的距离为 ＝ ，所以n＝28或n＝－12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 11. 〔多选〕若直线l被两平行直线l1： x＋y＋2＝0与直线l2： x＋y －2＝0所截的线段的长为2 ，则直线l的倾斜角为（　　） A. 165° B. 85° C. 150° D. 75° √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解析：　依题意，作出图形，则AC＝2 ，因为直线l1： x＋y＋2 ＝0与直线l2： x＋y－2＝0平行，所以l1，l2间的距离为 ＝ 2，即AB＝2，因为AB⊥BC，所以∠ACB＝45°， 即直线l与直线l2的夹角为45°，因为直线l2的斜率为 － ，则倾斜角为120°，所以直线l的倾斜角为165° 或75°.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 12. 已知点A，B分别是直线l1：2x＋y－2＝0与直线l2：4x＋2y＋1＝0上 的点，则AB的取值范围是 ⁠. 解析：由 ＝ ≠ 可知直线l1∥l2，所以当AB⊥l1且AB⊥l2时，AB有最 小值，其最小值为平行直线l1与l2的距离，直线l1的方程可化为4x＋2y－4 ＝0，所以ABmin＝ ＝ ，即AB的取值范围是［ ，＋∞）. ［ ，＋∞） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 13. （2026·南京质检）设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋ b＝0，已知a，b是方程x2＋x＋c＝0的两个实根，且0≤c≤ ，则这两条 直线之间的距离的最大值为 ⁠. 解析：由已知得两条直线间的距离是d＝ ，因为a，b是方程x2＋ x＋c＝0的两个根，所以a＋b＝－1，ab＝c，则｜a－b｜＝ ＝ ，因为0≤c≤ ，所以 ≤ ≤ ， 即 ≤d≤ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 14. 如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位 置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解：设l2的方程为x＋y－b＝0（b＞1）， 则A（1，0），D（0，1），B（b，0），C（0，b）. ∴｜AD｜＝ ，｜BC｜＝ b. 梯形的高h就是A点到直线l2的距离，故h＝ ＝ ＝ ， 由梯形的面积公式得 × ＝4， ∴b2＝9，b＝±3. 又b＞1，∴b＝3. 从而得直线l2的方程是x＋y－3＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 $