1.1 第2课时 直线的倾斜角(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

该高中数学课件聚焦直线的倾斜角，通过比萨斜塔“斜而不倒”的情境导入，连接直线斜率知识，构建从实际问题抽象出倾斜角定义、范围及与斜率关系的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实（如斜塔倾斜程度），通过典例分类讨论（如倾斜角旋转范围）和数形结合（正切函数图像分析斜率）发展数学思维，系统例题与分层作业助学生掌握，教师可高效开展概念教学与能力训练。

1.1　直线的斜率与倾斜角 第2课时　直线的倾斜角 第一章　直线与方程 1 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 3 意大利中部的比萨城内，有一座造型古朴而又秀巧的钟塔，是罗马式建 筑的范本，这就是堪称世界建筑史奇迹的比萨斜塔.每年有80万游客来到 塔下，无不对它那“斜而不倒”的塔身表示忧虑和焦急，同时也为能亲眼 目睹这一由缺陷造成的奇迹而庆幸万分. 【问题】　如何确定比萨斜塔的倾斜程度？你有哪些方法可以运用？ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 知识点　直线的倾斜角 1. 定义： 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点 按 时针方向旋转到与直线重合时，所转过的 正角α，称为 这条直线的倾斜角. 逆　 最小　 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 范围：直线的倾斜角α的取值范围是 ，并规定与x轴 平行或重合的直线的倾斜角为0. 3. 倾斜角与斜率的关系 当直线与x轴不垂直时，该直线的斜率k与倾斜角α之间的关系为k＝ ⁠ （α≠ ）. {α｜0≤α＜π}　 tan α　 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 【想一想】 1. 每一条直线都有一个确定的倾斜角对吗？ 提示：对. 2. 已知直线上一点和该直线的倾斜角，该直线是否唯一确定？ 提示：唯一确定. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若α是直线l的倾斜角，则0°≤α≤180°. （　×　） （2）一条直线的倾斜角可以为－30°. （　×　） （3）倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴. （　×　） × × × 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 下列图中α能表示直线l的倾斜角的是（　　） 解析： 　由倾斜角的定义，把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线l 重合时，所转过的最小正角为直线l的倾斜角，可知只有选项A中的α表示 直线l的倾斜角，故选A. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. 若直线l经过原点和（－1，1），则它的倾斜角是（　　） A. 45° B. 135° C. －135° D. －45° 解析：　作出直线l，如图所示，由图易知，直线l的倾斜角是135°，故选B. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 4. 已知直线l的倾斜角为 ，则kl＝ ⁠. 解析：由直线的倾斜角与斜率的关系可知kl＝tan ＝1. 1 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 典例研析>> 目录 12 题型一　直线的倾斜角 （1）如图，直线l的倾斜角为（　D　） A. 60° B. 120° C. 30° D. 150° 解析：由图易知l的倾斜角为45°＋105°＝150°. D 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （2）设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕原点沿逆时针方向旋转 45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为（　D　） A. α＋45° B. α－135° C. 135°－α D. α＋45°或α－135° 解析：∵倾斜角α的取值范围为0°≤α＜180°，∴当0°≤α ＋45°＜180°，即0°≤α＜135°时，l1的倾斜角为α＋ 45°；当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为α－135°（如 图）. D 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 规律方法 求直线的倾斜角的方法及注意点 （1）方法：①利用定义；②结合图形，利用特殊三角形（如直角三角 形）求角； （2）注意倾斜角的范围. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 　已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是（　　） A. 0°≤α＜90° B. 90°≤α＜180° C. 90°＜α＜180° D. 0°＜α＜180° 解析：直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°＜α＜180°. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 题型二　直线的倾斜角和斜率的关系 （1）经过两点P（0，－3），Q（－ ，0）的直线的倾斜角为 （　C　） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 解析：由题意知，经过点P，Q的直线的斜率为k＝ ＝－ ， 设该直线的倾斜角为θ（0°≤θ＜180°），则k＝tan θ＝－ ，所以θ＝ 120°，即直线的倾斜角为120°.故选C. C 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （2）若直线l的斜率k的变化范围是[－1， ]，则它的倾斜角α的变化范 围是（　D　） A. 0≤α≤ B. π≤α＜π C. ≤α＜ π D. 0≤α≤ 或 π≤α＜π 解析：作出正切函数在[0，π）的图象如图所示，当－1≤k≤ ，即－1≤tan α≤ ，解得0≤α≤ 或 π≤α＜π，即0≤α≤ 或 π≤α＜π，故选D. D 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 规律方法 1. 由倾斜角与斜率的关系k＝tan α（α≠ ），可由斜率求倾斜角，也可由 倾斜角确定直线的斜率. 2. 直线的倾斜角与斜率的对应关系 α的大小 0 0＜α＜ ＜α＜π k的范围 k＝0 k＞0 不存在 k＜0 k的增减性 随α的增大而增大 随α的增大而增大 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 1. 已知直线l经过A（－1，0），B（1，2）两点，则直线l的倾斜角是 （　　） A. B. C. 解析：　设直线l的倾斜角为α，由已知可得直线l的斜率k＝tan α＝ ＝1，又α∈[0，π），所以倾斜角是 .故选B. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 〔多选〕下列命题中，正确的是（　　） A. 任意一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率 B. 平行于x轴的直线的倾斜角是0°或180° C. 若两条直线的斜率相等，则它们的倾斜角相等 D. 若两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率相等 解析：对于A选项，任意一条直线都有倾斜角，但倾斜角为直角的直线没有斜率，即任意一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，A对；对于B选项，平行于x轴的直线的倾斜角是0°，B错；对于C选项，若两条直线的斜率相等，则它们的倾斜角相等，C对；对于D选项，若两条直线的倾斜角都是直角时，则这两条直线的斜率都不存在，D错.故选A、C. √ √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 题型三　直线倾斜角与斜率的应用 （链接教科书第9页习题8题）已知两点A（－3，4），B（3，2）， 过点P（1，0）的直线l与线段AB有公共点. （1）求直线l的斜率k的取值范围； 解：如图，由题意可知kPA＝ ＝－1，kPB＝ ＝1， 要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值 范围是（－∞，－1]∪[1，＋∞）. （2）求直线l的倾斜角α的取值范围. 解：由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的 倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 规律方法 1. 涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解. 2. 求代数式 最值（范围）的方法 由斜率公式k＝ 的形式，可知代数式 的几何意义是过P（x，y） 与P'（a，b）两点的直线的斜率，故可以利用数形结合来求解. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 　已知A（3，3），B（－4，2），C（0，－2）. （1）求直线AB和AC的斜率； 解：由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝ ＝ .直线AC的斜率kAC＝ ＝ . 故直线AB的斜率为 ，直线AC的斜率为 . 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （2）若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化 范围. 解：如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是［ ， ］. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 1. 已知直线l的倾斜角为1 rad，则l的斜率为（　　） A. 1 B. 45° C. tan 1 D. tan 1° 解析：　由题意知直线l的倾斜角为1 rad，则l的斜率为tan 1，故选C. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 若直线l经过点M（2，3），N（4，3），则直线l的倾斜角为（　　） A. 0° B. 30° C. 60° D. 90° 解析：因为M，N两点的纵坐标相等，所以直线l平行于x轴，所以直线l的倾斜角为0°. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. 若经过A（m，3），B（1，2）两点的直线的倾斜角为45°，则m＝ （　　） A. 2 B. 1 C. －1 D. －2 解析：　由题意知，tan 45°＝ ，得m＝2. √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 4. 已知A（2，3），B（－1，2），若点P（x，y）在线段AB上，则 的最大值为（　　） A. 1 B. C. － D. －3 √ 解析：　 ＝ ，其几何意义为过点（x，y）与点（3，0）的直线 的斜率，设Q（3，0），则kAQ＝ ＝－3，kBQ＝ ＝－ ，∵点P （x，y）是线段AB上的任意一点，∴ 的取值范围是［－3，－ ］， 故 的最大值为－ ，故选C. 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 课时作业 >> 目录 30 1. 已知直线l的斜率为 ，则直线l的倾斜角为（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 解析：　设直线l的倾斜角为α，则tan α＝ ，故α＝30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 2. 如图，直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则（　　） A. α1＜α2＜α3 B. α3＜α1＜α2 C. α3＜α2＜α1 D. α1＜α3＜α2 解析：直线l2，l3的倾斜角为锐角，且直线l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，直线l1的倾斜角为钝角，故α3＜α2＜α1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 3. 若过两点M（3，y），N（0， ）的直线的倾斜角为 ，则y的值为 （　　） A. 0 B. －2 C. 4 D. 3 解析： 　由于直线MN的倾斜角为 ，则直线MN的斜率为k＝tan ＝ － ，又因为M（3，y），N（0， ），所以k＝ ＝－ ，解得 y＝－2 .故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 4. 〔多选〕下列命题中正确的是（　　） A. 若一条直线的倾斜角为150°，则此直线关于y轴的对称直线的倾斜角 为30° B. 若α，2α，3α分别为三条直线的倾斜角，则α不大于60° C. 若α为直线l的倾斜角，且tan α＝－ ，则α＝150° D. 若直线的倾斜角α的正切值无意义，则α＝90° √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 解析：作倾斜角为150°的直线关于y轴的对称直线，所得直线的倾斜角与原直线的倾斜角互补，故A正确；当α＝60°时，3α＝180°，故B错误；由tan α＝－ 得到α＝150°，故C正确；若直线的倾斜角α的正切值无意义，则α＝90°，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 5. 〔多选〕若经过两点A（1－a，1＋a），B（3，a）的直线的倾斜角 为钝角，则实数a的值可能为（　　） A. －2 B. 0 C. 1 D. 2 解析：由题意得kAB＝ ＝ ＜0，即2＋a＞0，所以a＞－2，故选B、C、D. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 6. 若直线l：x＝tan（－ ），则直线l的倾斜角是 　​ 　. 解析：由l：x＝tan（－ ）可得l：x＝－ ，故直线的倾斜角为 . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 7. 已知直线l是第二、四象限的角平分线，则直线l的倾斜角为 ⁠ （用弧度制表示）. 解析：设直线l的倾斜角为α（0≤α＜π），因为直线l是第二、四象限的角 平分线，可得直线l的斜率为k＝－1，所以tan α＝－1，可得α＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 8. 一条直线l与x轴相交，其向上方向与y轴正方向所成的角为α（0°＜α ＜90°），则其倾斜角为 ⁠. 解析：如图①，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；如图②，当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α. 90°＋α或90°－α　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 9. 过点A（2，1），B（m，3）的直线的倾斜角α的取值范围是（ ， ），则实数m的取值范围是 ⁠. 解析：由直线的倾斜角α的取值范围是（ ， ），得直线的斜率存在时，k＜－1或k＞1.当m≠2时，k＝ ＝ ，∴ ＜－1或 ＞1，解得0＜m＜2或2＜m＜4.当直线的斜率不存在时，m＝2符合题意.综上，实数m的取值范围是（0，4）. （0，4） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 10. 如图所示，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，求菱形ABCD各边和两条对 角线所在直线的倾斜角和斜率. 解：菱形ABCD中，∠BAD＝60°，则△ABD和△BCD都是等边三角形， 则直线AD，BC的倾斜角为60°，直线AB，DC的倾斜角为0°，直线AC 的倾斜角为30°，直线BD的倾斜角为120°，kAD＝kBC＝ ，kAB＝kCD ＝0，kAC＝ ，kBD＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 11. 若直线l的斜率是 sin θ，则直线l的倾斜角α的范围是（　　） A. [0，π） B. ［0， ］ C. ［ ， ］ D. ［0， ］∪［ ，π） 解析：　直线l的斜率k＝ sin θ，所以－1≤k≤1，则0≤α≤ 或 ≤α＜ π.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 12. 〔多选〕若两直线l1，l2的倾斜角分别为α，β，斜率分别为k1，k2，则 下列四种说法中不正确的是（　　） A. 若α＜β，则k1＜k2 B. 若α＝β，则k1＝k2 C. 若k1＜k2，则α＜β D. 若k1＝k2，则α＝β 解析：由题意，两直线l1，l2的倾斜角分别为α，β，斜率分别是k1，k2，所以k1＝tan α，k2＝tan β，且α，β∈[0，π），根据正切函数在[0，π）上的定义域和单调性的关系可得，对于A，若α为锐角，β为钝角，此时k1＞0＞k2，所以A不正确； 对于B，若α＝β＝ ，此时斜率不存在，所以B不正确；对于C，若k1＜0，k2＞0，此时α为钝角，β为锐角，α＞β，所以C不正确；对于D，若k1＝k2，此时α＝β，所以D正确. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 13. 已知实数x，y满足方程x＋2y＝6，当1≤x≤3时， 的取值范围 是 ⁠. 解析： 的几何意义是过M（x，y），N（2，1）两点的直线的斜率. 因为点M在函数x＋2y＝6的图象上，且1≤x≤3，所以可设该线段为 AB，且A（1， ），B（3， ），又kNA＝－ ，kNB＝ ，所以 的取 值范围是（－∞，－ ］∪［ ，＋∞）. （－∞，－ ］∪［ ，＋∞） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 14. 已知坐标平面内两点M（m＋3，2m＋5），N（m－2，1）. （1）当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？ 解：若倾斜角为锐角，则斜率大于0， 即kMN＝ ＝ ＞0，解得m＞－2. （2）当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？ 解：若倾斜角为钝角，则斜率小于0， 即kMN＝ ＝ ＜0，解得m＜－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 （3）直线MN的倾斜角可能为直角吗？ 解：当直线MN垂直于x轴时，直线的倾斜角为直角，此时m＋3＝m－2，此方程无解，故直线MN的倾斜角不可能为直角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（SJ） 目录 $