1.1 第2课时 直线的倾斜角(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

本讲义聚焦高中数学“直线的倾斜角”核心知识点，从比萨斜塔倾斜程度的实际问题切入，系统梳理倾斜角的定义、范围及与斜率的关系，通过判断、选择、解答等题型构建从概念理解到应用的学习支架。 该资料以情境驱动和问题导向为特色，用比萨斜塔情境引导学生用数学眼光观察现实问题，通过定义辨析与斜率关系题培养数学思维，借助几何意义解释代数式最值强化数学语言表达，课中助力教师高效授课，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

第2课时　直线的倾斜角 意大利中部的比萨城内，有一座造型古朴而又秀巧的钟塔，是罗马式建筑的范本，这就是堪称世界建筑史奇迹的比萨斜塔.每年有80万游客来到塔下，无不对它那“斜而不倒”的塔身表示忧虑和焦急，同时也为能亲眼目睹这一由缺陷造成的奇迹而庆幸万分. 【问题】　如何确定比萨斜塔的倾斜程度？你有哪些方法可以运用？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 知识点　直线的倾斜角 1.定义： 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点按　逆　时针方向旋转到与直线重合时，所转过的　最小　正角α，称为这条直线的倾斜角. 2.范围：直线的倾斜角α的取值范围是　{α｜0≤α＜π}　，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0. 3.倾斜角与斜率的关系 当直线与x轴不垂直时，该直线的斜率k与倾斜角α之间的关系为k＝　tan α　（α≠）. 【想一想】 1.每一条直线都有一个确定的倾斜角对吗？ 提示：对. 2.已知直线上一点和该直线的倾斜角，该直线是否唯一确定？ 提示：唯一确定. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若α是直线l的倾斜角，则0°≤α≤180°.（　×　） （2）一条直线的倾斜角可以为－30°.（　×　） （3）倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴.（　×　） 2.下列图中α能表示直线l的倾斜角的是（　　） 解析：A　由倾斜角的定义，把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时，所转过的最小正角为直线l的倾斜角，可知只有选项A中的α表示直线l的倾斜角，故选A. 3.若直线l经过原点和（－1，1），则它的倾斜角是（　　） A.45°　　　　　　　 B.135° C.－135° D.－45° 解析：B　作出直线l，如图所示，由图易知，直线l的倾斜角是135°，故选B. 4.已知直线l的倾斜角为，则kl＝　1　. 解析：由直线的倾斜角与斜率的关系可知kl＝tan＝1. 题型一　直线的倾斜角 （1）如图，直线l的倾斜角为（　D　） A.60° B.120° C.30° D.150° 解析：由图易知l的倾斜角为45°＋105°＝150°. （2）设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为（　D　） A.α＋45° B.α－135° C.135°－α D.α＋45°或α－135° 解析：∵倾斜角α的取值范围为0°≤α＜180°，∴当0°≤α＋45°＜180°，即0°≤α＜135°时，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为α－135°（如图）. 规律方法 求直线的倾斜角的方法及注意点 （1）方法：①利用定义；②结合图形，利用特殊三角形（如直角三角形）求角； （2）注意倾斜角的范围. 　已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是（　　） A.0°≤α＜90° B.90°≤α＜180° C.90°＜α＜180° D.0°＜α＜180° 解析：C　直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°＜α＜180°. 题型二　直线的倾斜角和斜率的关系 （1）经过两点P（0，－3），Q（－，0）的直线的倾斜角为（　C　） A.30° B.60° C.120° D.150° 解析：由题意知，经过点P，Q的直线的斜率为k＝＝－，设该直线的倾斜角为θ（0°≤θ＜180°），则k＝tan θ＝－，所以θ＝120°，即直线的倾斜角为120°.故选C. （2）若直线l的斜率k的变化范围是[－1，]，则它的倾斜角α的变化范围是（　D　） A.0≤α≤ B.π≤α＜π C.≤α＜π D.0≤α≤或π≤α＜π 解析：作出正切函数在[0，π）的图象如图所示，当－1≤k≤，即－1≤tan α≤，解得0≤α≤或π≤α＜π，即0≤α≤或π≤α＜π，故选D. 规律方法 1.由倾斜角与斜率的关系k＝tan α（α≠），可由斜率求倾斜角，也可由倾斜角确定直线的斜率. 2.直线的倾斜角与斜率的对应关系 α的大小 0 0＜α＜ ＜α＜π k的范围 k＝0 k＞0 不存在 k＜0 k的增减性 随α的增大而增大 随α的增大而增大 1.已知直线l经过A（－1，0），B（1，2）两点，则直线l的倾斜角是（　　） A. B. C. 解析：B　设直线l的倾斜角为α，由已知可得直线l的斜率k＝tan α＝＝1，又α∈[0，π），所以倾斜角是.故选B. 2.〔多选〕下列命题中，正确的是（　　） A.任意一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率 B.平行于x轴的直线的倾斜角是0°或180° C.若两条直线的斜率相等，则它们的倾斜角相等 D.若两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率相等 解析：AC　对于A选项，任意一条直线都有倾斜角，但倾斜角为直角的直线没有斜率，即任意一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，A对；对于B选项，平行于x轴的直线的倾斜角是0°，B错；对于C选项，若两条直线的斜率相等，则它们的倾斜角相等，C对；对于D选项，若两条直线的倾斜角都是直角时，则这两条直线的斜率都不存在，D错.故选A、C. 题型三　直线倾斜角与斜率的应用 （链接教科书第9页习题8题）已知两点A（－3，4），B（3，2），过点P（1，0）的直线l与线段AB有公共点. （1）求直线l的斜率k的取值范围； 解：如图，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1，要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（－∞，－1]∪[1，＋∞）. （2）求直线l的倾斜角α的取值范围. 解：由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°， 所以α的取值范围是45°≤α≤135°. 规律方法 1.涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解. 2.求代数式最值（范围）的方法 由斜率公式k＝的形式，可知代数式的几何意义是过P（x，y）与P'（a，b）两点的直线的斜率，故可以利用数形结合来求解. 　已知A（3，3），B（－4，2），C（0，－2）. （1）求直线AB和AC的斜率； 解：由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝＝.直线AC的斜率kAC＝＝. 故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为. （2）若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围. 解：如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是［，］. 1.已知直线l的倾斜角为1 rad，则l的斜率为（　　） A.1 B.45° C.tan 1 D.tan 1° 解析：C　由题意知直线l的倾斜角为1 rad，则l的斜率为tan 1，故选C. 2.若直线l经过点M（2，3），N（4，3），则直线l的倾斜角为（　　） A.0° B.30° C.60° D.90° 解析：A　因为M，N两点的纵坐标相等，所以直线l平行于x轴，所以直线l的倾斜角为0°. 3.若经过A（m，3），B（1，2）两点的直线的倾斜角为45°，则m＝（　　） A.2 B.1 C.－1 D.－2 解析：A　由题意知，tan 45°＝，得m＝2. 4.已知A（2，3），B（－1，2），若点P（x，y）在线段AB上，则的最大值为（　　） A.1 B. C.－ D.－3 解析：C　＝，其几何意义为过点（x，y）与点（3，0）的直线的斜率，设Q（3，0），则kAQ＝＝－3，kBQ＝＝－，∵点P（x，y）是线段AB上的任意一点，∴的取值范围是［－3，－］，故的最大值为－，故选C. 1.已知直线l的斜率为，则直线l的倾斜角为（　　） A.30° B.45° C.60° D.90° 解析：A　设直线l的倾斜角为α，则tan α＝，故α＝30°. 2.如图，直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则（　　） A.α1＜α2＜α3 B.α3＜α1＜α2 C.α3＜α2＜α1 D.α1＜α3＜α2 解析：C　直线l2，l3的倾斜角为锐角，且直线l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，直线l1的倾斜角为钝角，故α3＜α2＜α1. 3.若过两点M（3，y），N（0，）的直线的倾斜角为，则y的值为（　　） A.0 B.－2 C.4 D.3 解析：B　由于直线MN的倾斜角为，则直线MN的斜率为k＝tan＝－，又因为M（3，y），N（0，），所以k＝＝－，解得y＝－2.故选B. 4.〔多选〕下列命题中正确的是（　　） A.若一条直线的倾斜角为150°，则此直线关于y轴的对称直线的倾斜角为30° B.若α，2α，3α分别为三条直线的倾斜角，则α不大于60° C.若α为直线l的倾斜角，且tan α＝－，则α＝150° D.若直线的倾斜角α的正切值无意义，则α＝90° 解析：ACD　作倾斜角为150°的直线关于y轴的对称直线，所得直线的倾斜角与原直线的倾斜角互补，故A正确；当α＝60°时，3α＝180°，故B错误；由tan α＝－得到α＝150°，故C正确；若直线的倾斜角α的正切值无意义，则α＝90°，故D正确. 5.〔多选〕若经过两点A（1－a，1＋a），B（3，a）的直线的倾斜角为钝角，则实数a的值可能为（　　） A.－2 B.0 C.1 D.2 解析：BCD　由题意得kAB＝＝＜0，即2＋a＞0，所以a＞－2，故选B、C、D. 6.若直线l：x＝tan（－），则直线l的倾斜角是　. 解析：由l：x＝tan（－）可得l：x＝－，故直线的倾斜角为. 7.已知直线l是第二、四象限的角平分线，则直线l的倾斜角为　　（用弧度制表示）. 解析：设直线l的倾斜角为α（0≤α＜π），因为直线l是第二、四象限的角平分线，可得直线l的斜率为k＝－1，所以tan α＝－1，可得α＝. 8.一条直线l与x轴相交，其向上方向与y轴正方向所成的角为α（0°＜α＜90°），则其倾斜角为　90°＋α或90°－α　. 解析：如图①，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；如图②，当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α. 9.过点A（2，1），B（m，3）的直线的倾斜角α的取值范围是（，），则实数m的取值范围是　（0，4）　. 解析：由直线的倾斜角α的取值范围是（，），得直线的斜率存在时，k＜－1或k＞1.当m≠2时，k＝＝，∴＜－1或＞1，解得0＜m＜2或2＜m＜4.当直线的斜率不存在时，m＝2符合题意.综上，实数m的取值范围是（0，4）. 10.如图所示，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率. 解：菱形ABCD中，∠BAD＝60°，则△ABD和△BCD都是等边三角形， 则直线AD，BC的倾斜角为60°，直线AB，DC的倾斜角为0°，直线AC的倾斜角为30°，直线BD的倾斜角为120°，kAD＝kBC＝，kAB＝kCD＝0，kAC＝，kBD＝－. 11.若直线l的斜率是sin θ，则直线l的倾斜角α的范围是（　　） A.[0，π） B.［0，］ C.［，］ D.［0，］∪［，π） 解析：D　直线l的斜率k＝sin θ，所以－1≤k≤1，则0≤α≤或≤α＜π.故选D. 12.〔多选〕若两直线l1，l2的倾斜角分别为α，β，斜率分别为k1，k2，则下列四种说法中不正确的是（　　） A.若α＜β，则k1＜k2 B.若α＝β，则k1＝k2 C.若k1＜k2，则α＜β D.若k1＝k2，则α＝β 解析：ABC　由题意，两直线l1，l2的倾斜角分别为α，β，斜率分别是k1，k2，所以k1＝tan α，k2＝tan β，且α，β∈[0，π），根据正切函数在[0，π）上的定义域和单调性的关系可得，对于A，若α为锐角，β为钝角，此时k1＞0＞k2，所以A不正确； 对于B，若α＝β＝，此时斜率不存在，所以B不正确；对于C，若k1＜0，k2＞0，此时α为钝角，β为锐角，α＞β，所以C不正确；对于D，若k1＝k2，此时α＝β，所以D正确. 13.已知实数x，y满足方程x＋2y＝6，当1≤x≤3时，的取值范围是　（－∞，－］∪［，＋∞）　. 解析：的几何意义是过M（x，y），N（2，1）两点的直线的斜率.因为点M在函数x＋2y＝6的图象上，且1≤x≤3，所以可设该线段为AB，且A（1，），B（3，），又kNA＝－，kNB＝，所以的取值范围是（－∞，－］∪［，＋∞）. 14.已知坐标平面内两点M（m＋3，2m＋5），N（m－2，1）. （1）当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？ （2）当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？ （3）直线MN的倾斜角可能为直角吗？ 解：（1）若倾斜角为锐角，则斜率大于0， 即kMN＝＝＞0，解得m＞－2. （2）若倾斜角为钝角，则斜率小于0， 即kMN＝＝＜0，解得m＜－2. （3）当直线MN垂直于x轴时，直线的倾斜角为直角，此时m＋3＝m－2，此方程无解，故直线MN的倾斜角不可能为直角. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $