1.2.2 直线的两点式方程(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

本高中数学讲义聚焦直线的两点式与截距式方程，从确定直线的几何要素出发，通过两点坐标推导两点式方程，明确其不垂直于坐标轴的适用范围，进而引出截距式，构建从几何到代数的知识支架，衔接点斜式等前期内容。 资料以斜拉桥实际情境引入问题，培养数学抽象能力，通过“想一想”对比方程形式差异发展逻辑推理，例题结合三角形中线、面积计算强化应用意识。课中助力教师引导探究，课后分层练习帮助学生查漏补缺，巩固知识。

1.2.2　直线的两点式方程 课标 要求 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程（数学抽象）. 2.了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围（逻辑推理）. 斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足.若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上一点与桥面上一点的直线. 【问题】　（1）怎样表示该直线的方程呢？ （2）能否用直线上两个已知点的坐标来表示该直线的方程？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　直线的两点式与截距式方程 两点式 截距式 条件 直线l经过两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2），其中x1≠x2，y1≠y2 直线l在x轴上截距为a，在y轴上的截距为b 图形 方程 ＝ ＋＝1 适用范围 不能表示　垂直于　坐标轴的直线 不能表示　垂直于　坐标轴的直线及过　原点　的直线 【想一想】 1.直线的两点式方程与这两个点的顺序有关吗？ 提示：两点式方程与这两个点的顺序无关. 2.方程＝和方程（y－y1）（x2－x1）＝（x－x1）（y2－y1）的适用范围相同吗？ 提示：不同.前者为分式形式，要求x1≠x2，y1≠y2，后者为整式形式，适用于过任何两点的直线方程. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示.（　√　） （2）能用截距式表示的直线都能用两点式表示.（　√　） （3）过点（1，3）和（1，5）的直线也可以用两点式方程来表示.（　×　） 2.过点A（5，6）和点B（－1，2）的直线的两点式方程是（　B　） A.＝　　　　　B.＝ C.＝＝ 3.在x轴、y轴上的截距分别为2，－3的直线方程为（　A　） A.－＝1 B.＋＝1 C.－＝1 D.＋＝0 题型一　直线的两点式方程 （链接教科书第15页例4）已知△ABC的顶点是A（－3，2），B（5，－4），C（0，－2）. （1）求BC边所在直线的方程； 解：∵BC边过两点B（5，－4），C（0，－2）， ∴由直线的两点式方程得＝， 即2x＋5y＋10＝0. 故BC边所在直线的方程为2x＋5y＋10＝0. （2）求BC边上的中线所在直线的方程. 解：设BC的中点为M（x0，y0）， 则x0＝＝，y0＝＝－3. ∴M， 又BC边上的中线经过点A（－3，2）. ∴由直线的两点式方程得＝， 即10x＋11y＋8＝0. 故BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0. 规律方法 求直线的两点式方程的策略以及注意点 （1）当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可用两点式求方程； （2）若点的坐标中含有参数，需注意对参数的讨论； （3）在斜率存在的情况下，也可以选用斜率公式求出斜率，再用点斜式求方程. 写出下列直线的两点式方程： （1）经过A（2，5）和B（－3，－2）两点； 解：因为直线过点A（2，5），B（－3，－2）， 所以该直线的两点式方程为＝. （2）经过C（0，3）和D（3，0）两点； 解：因为直线过点C（0，3），D（3，0）， 所以该直线的两点式方程为＝. （3）经过E（2，m）和F（n，3）两点. 解：当m＝3时，直线垂直于y轴，方程为y＝3， 当n＝2时，直线垂直于x轴，方程为x＝2. 当m≠3且n≠2时，由两点式得直线方程为＝. 题型二　直线的截距式方程 （链接教科书第14页例3）求过点A（3，4），且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程. 解：①当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为＋＝1. 又l过点A（3，4），所以＋＝1，解得a＝－1. 所以直线l的方程为＋＝1，即x－y＋1＝0. ②当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，因为l过点（3，4），所以4＝k·3，解得k＝，直线l的方程为y＝x，即4x－3y＝0. 综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0. 【母题探究】 　（变条件）若将本例中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？ 解：（1）当截距不为0时，设直线l的方程为 ＋＝1， 又l过点（3，4），所以＋＝1，解得a＝7， 所以直线l的方程为x＋y－7＝0. （2）当截距为0时，由例可得直线l的方程为4x－3y＝0. 综上，直线l的方程为x＋y－7＝0或4x－3y＝0. 规律方法 求直线的截距式方程的方法 （1）由已知直线的横、纵截距； （2）若两截距为零，则直线过原点，直接写出方程即可；若两截距不为零，则代入公式＋＝1，可得所求的直线方程. 提醒：直线的截距式方程是两点式方程的特例，若题目中出现直线在两坐标轴上的截距相等、截距互为相反数或在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的多少倍等条件时，一定要注意考虑“截距为零”的情况. 　求过点P（6，－2），且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程. 解：设直线方程的截距式为＋＝1. 则＋＝1，解得a＝2或a＝1， 则直线方程是＋＝1或＋＝1， 即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0. 题型三　直线方程的灵活选用 试用合适的方法求满足下列条件的直线方程： （1）斜率为－2，经过点（3，4）； 解：斜率k＝－2，过点（3，4），由点斜式得直线方程为y－4＝－2（x－3），即2x＋y－10＝0. （2）斜率为3，在y轴上的截距是2； 解：斜率k＝3，在y轴上的截距是2，由斜截式得直线方程为y＝3x＋2，即3x－y＋2＝0. （3）经过两点（－2，－1）和（－1，5）； 解：直线经过两点（－2，－1）和（－1，5），由两点式得直线方程为＝，即6x－y＋11＝0. （4）经过两点（－4，0）和（0，2）. 解：由直线经过两点（－4，0）和（0，2），可知直线在x轴、y轴上的截距分别为－4和2，由截距式得直线方程为＋＝1，即x－2y＋4＝0. 规律方法 直线方程的选择技巧 （1）若给出直线经过一个点，常考虑用点斜式，但要注意平行于x轴的直线斜率为0，垂直于x轴的直线斜率不存在； （2）若已知直线的斜率，通常用斜截式； （3）若给出两个点，常考虑利用两点式，但要注意两点连线是否与坐标轴平行或重合；若两点是与坐标轴的交点，就选用截距式； （4）若给出的条件与面积相关，一般选用截距式. 求经过点（－2，2）且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l的方程. 解：由题意知，直线l在两坐标轴上的截距存在且不为零，故可设所求直线l的方程为＋＝1， 由已知可得解得或 所以＋＝1或＋＝1， 故直线l的方程为2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0. 1.〔一题多解〕直线－＝1在y轴上的截距是（　　） A.－3　　　B.3 C.－4　 　　D.4 解析：C　法一　令x＝0，则y＝－4，即直线－＝1在y轴上的截距是－4. 法二　由－＝1得＋＝1，∴直线在y轴上的截距为－4. 2.经过点A（－3，2），B（4，4）的直线的两点式方程为（　　） A.＝ B.＝ C.＝＝ 解析：A　因为直线经过点A（－3，2），B（4，4），所以由方程的两点式可得直线方程为＝，即＝.故选A. 3.已知直线l过点P（4，1）且直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则直线l的方程为　y＝x或2x＋y－9＝0　. 解析：由题意知，直线l的斜率存在且不为0，所以设直线l的斜率为k，则其方程为y－1＝k（x－4）.令x＝0，得y＝1－4k；令y＝0，得x＝4－.所以1－4k＝2（4－），解得k＝或k＝－2.所以直线l的方程为y－1＝（x－4）或y－1＝－2（x－4），即y＝x或2x＋y－9＝0. 4.已知三角形的顶点是A（1，3），B（－2，－1），C（1，－1），求这个三角形三边所在直线的方程. 解：由题意作出图形如图所示，直线AB过A（1，3），B（－2，－1），其两点式方程为＝，整理得4x－3y＋5＝0， 直线AC垂直于x轴，故AC边所在直线的方程为x＝1. 直线BC平行于x轴，故BC边所在直线的方程为y＝－1. 1.过P1（2，0），P2（0，3）两点的直线方程是（　　） A.＋＝0 B.＋＝0 C.＋＝1 D.－＝1 解析：C　由截距式，得所求直线的方程为＋＝1. 2.已知直线l的两点式方程为＝，则l的斜率为（　　） A.－　　　B. C.－　 　　D. 解析：A　由两点式方程＝，知直线l过点（－5，0），（3，－3），所以l的斜率为＝－. 3.若直线＋＝1过第一、二、三象限，则（　　） A.a＞0，b＞0 B.a＞0，b＜0 C.a＜0，b＞0 D.a＜0，b＜0 解析：C　因为直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且经过第一、二、三象限，故a＜0，b＞0. 4.已知直线l的两点式方程为＝，则（　　） A.直线l经过点（5，2） B.直线l的斜截式方程为x＝y－ C.直线l的倾斜角为锐角 D.直线l的点斜式方程为y－2＝（x－5） 解析：C　由题意知，直线l经过两点（8，9），（2，5），且点（5，2）不适合方程，因此A错误；将两点式方程化为斜截式方程，可得y＝x＋，因此B错误；直线l的斜率为＞0，所以直线l的倾斜角为锐角，因此C正确；直线l的斜率为，且过点（2，5），所以直线l的点斜式方程为y－5＝（x－2），因此D错误. 5.〔一题多解〕两条直线－＝1与－＝1的图象可能是（　　） 解析：B　法一　两直线的方程分别化为y＝x－n，y＝x－m，易知两直线的斜率符号相同. 法二　将两直线方程分别化为截距式l1：＋＝1，l2：＋＝1，假定l1的位置，判断m，n的正负，从而确定l2的位置，知B符合. 6.〔多选〕下列说法正确的是（　　） A.不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示 B.若直线l与两坐标轴的交点分别为A，B，且线段AB的中点为（4，1），则直线l的方程为＋＝1 C.在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程x＋y＝a（a∈R）表示 D.直线3x－2y＝4的截距式方程为＋＝1 解析：BD　与坐标轴垂直的直线也不能用截距式表示，故A错误；因为线段AB的中点为（4，1），所以直线l过点（8，0），（0，2），所以直线l的方程为＋＝1，故B正确；直线x－y＝0在两坐标轴上的截距相等，但不能用x＋y＝a（a∈R）表示，故C错误；方程3x－2y＝4可化为＋＝1，故D正确.故选B、D. 7.过点（1，3）且在x轴上的截距为2的直线方程是　3x＋y－6＝0　. 解析：由题意知直线过点（2，0），又直线过点（1，3），由两点式可得，＝，整理得3x＋y－6＝0. 8.若直线2x－y－4＝0在x轴和y轴上的截距分别为a和b，则a－b＝　6　. 解析：直线2x－y－4＝0化为截距式为＋＝1.∴a＝2，b＝－4，∴a－b＝2－（－4）＝6. 9.已知直线l过点P（2，3），且与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点.若△AOB的面积为12（O为坐标原点），则直线l的方程为　3x＋2y－12＝0　. 解析：设直线l的方程为＋＝1（a＞0，b＞0），则△AOB的面积为ab＝12　①.因为直线l过点P（2，3），所以＋＝1　②.联立①②，解得a＝4，b＝6，故直线l的方程为＋＝1，即3x＋2y－12＝0. 10.（2026·常州月考）已知△ABC中，A（1，－4），B（6，6），C（－2，0）.求： （1）△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的方程并化为截距式方程； （2）BC边的中线所在直线的方程并化为斜截式方程. 解：（1）平行于BC边的中位线就是AB，AC中点的连线. 因为线段AB，AC的中点坐标分别为（，1），（－，－2），所以平行于BC边的中位线所在直线的方程为＝，整理得，6x－8y－13＝0，化为截距式方程为＋＝1. （2）因为BC边的中点为（2，3），所以BC边上的中线所在直线的方程为＝，即7x－y－11＝0，化为斜截式方程为y＝7x－11. 11.某汽车客运公司托运行李的费用y（元）与行李质量x（kg）之间的关系如图所示，则乘客最多可免费携带行李的质量为（　　） A.20 kg B.25 kg C.30 kg D.35 kg 解析：A　由图可知，直线过点（60，10），（80，15），由直线的两点式方程可得＝，化简可得y＝x－5，令y＝0，解得x＝20，即乘客最多可免费携带行李的质量为20 kg.故选A. 12.已知直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A（2，1），则过点P1（a1，b1）和点P2（a2，b2）的直线方程是（　　） A.2x＋y＋1＝0 B.2x－y＋1＝0 C.2x＋y－1＝0 D.x＋2y＋1＝0 解析：A　把A（2，1）的坐标代入两条直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0，得2a1＋b1＋1＝0，2a2＋b2＋1＝0，∴2（a1－a2）＝b2－b1，过点P1（a1，b1），P2（a2，b2）的直线的方程是＝，∴y－b1＝－2（x－a1），则2x＋y－（2a1＋b1）＝0，∵2a1＋b1＋1＝0，∴2a1＋b1＝－1，∴所求直线方程为2x＋y＋1＝0.故选A. 13.直线l：＋＝1中，已知a＞0，b＞0.若l与坐标轴围成的三角形的面积不小于10，则ab最小值为　20　. 解析：因为a＞0，b＞0，所以直线l与坐标轴围成的三角形的面积为S＝ab，则ab≥10，得ab≥20. 14.已知A是直线l：y＝3x上的第一象限内的一点，B（3，2）为定点，直线AB交x轴正半轴于点C，求使△AOC面积最小的点A的坐标. 解：如图，设点A的坐标为（m，3m）（m＞0）. 当直线AB不垂直于x轴时，由两点式得AB的方程为＝（m≠，且m≠3）. 令y＝0，得xC＝. 因为点C在x轴的正半轴上，所以＞0，即m＞.所以△AOC的面积S＝××3m＝＝×＝×（3m－2＋＋4）≥×（2＋4）＝×8＝，当且仅当3m－2＝，即m＝时等号成立，此时点A的坐标为（，4）. 当直线AB与x轴垂直时，点A的坐标为（3，9），此时S△AOC＝×3×9＝＞. 综上所述，△AOC面积的最小值为，此时点A的坐标为（，4）. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $