1.2.3直线的一般式方程-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修1苏教版（教师用书）

1．2.3　直线的一般式方程 学业标准 素养目标 1．掌握直线的一般式方程．(重点) 2．理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线．(重点、难点) 3．会进行直线方程的五种形式之间的转化．(难点、易混点) 1．借助于求直线的一般式方程，提升数学运算的核心素养． 2．通过学习直线五种形式的方程相互转化，提升逻辑推理、直观想象的核心素养． [教材梳理] 导学　直线的一般式方程 观察下列直线方程： 直线l1：y－2＝3(x－1)；直线l2：y＝3x＋2；直线l3：＝；直线l4：＋＝1. 　上述直线方程的形式分别是什么？ [提示]　点斜式、斜截式、两点式、截距式． 　上述形式的直线方程能化成二元一次方程Ax＋By＋C＝0的形式吗？ [提示]　能． 　二元一次方程Ax＋By＋C＝0都能表示直线吗？ [提示]　能． ◎结论形成 直线的一般式方程 (1)定义：方程__Ax＋By＋C＝0__(A，B不全为0)叫做直线的一般式方程． (2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示． (3)系数的几何意义： ①当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)； ②当B＝0时，A≠0，方程Ax＋By＋C＝0，可以写成x＝－，它表示垂直于x轴的直线． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线的一般式方程可以表示平面内任意一条直线．(　　) (2)直线的其他形式的方程都可化为一般式．(　　) (3)关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)一定表示直线．(　　) (4)直线方程ax＋(a＋1)y＝a(a＋1)化为截距式为＋＝1.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．已知直线2x＋ay＋b＝0在x轴，y轴上的截距分别为－1，2，则a，b的值分别为(　　) A．－1，2　　　　　 B．－2，2 C．2，－2 D．－2，－2 解析　y＝0时，x＝－＝－1，解得b＝2；当x＝0时，y＝－＝－＝2，解得a＝－1. 答案　A 3．直线3x－y＋1＝0的倾斜角为________． 解析　把3x－y＋1＝0化成斜截式得y＝x＋，∴k＝，倾斜角为60°. 答案　60° 4．已知点P(2，m)在直线3x＋y＝2上，则m＝__________． 答案　－4 题型一　直线的一般式方程与其他形式的互化 　(1)已知直线l的一般式方程为2x－3y＋6＝0，请把一般式方程写成为斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐标轴上的截距． (2)根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式． ①斜率是－，经过点A(8，－2)； ②经过点B(4，2)，平行于x轴； ③在x轴和y轴上的截距分别是，－3； ④经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4). [自主解答]　(1)由l的一般式方程2x－3y＋6＝0得斜截式方程为y＝x＋2. 截距式方程为：＋＝1. 由此可知，直线的斜率为，在x轴，y轴上的截距分别为－3，2. (2)①由点斜式得y－(－2)＝－(x－8)，即x＋2y－4＝0. ②由斜截式得y＝2，即y－2＝0. ③由截距式得＋＝1，即2x－y－3＝0. ④由两点式得＝，即x＋y－1＝0. [规律方法] 1.求直线一般式方程的方法 2．由直线方程的一般式转化为四种特殊形式时，一定要注意其运用的前提条件． [触类旁通] 1．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是且经过点A(5，3)； (2)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点； (3)在x，y轴上的截距分别是－3，－1. 解析　 (1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－3＝(x－5)，化为一般式方程为x－y＋3－5＝0. (2)由两点式方程可知，所求直线方程为＝， 化为一般式方程为2x＋y－3＝0. (3)由截距式方程可得，所求直线方程＋＝1， 化为一般式方程为x＋3y＋3＝0. 题型二　直线过定点问题 　 (1)不论m取何实数，直线(m＋2)x－(m＋1)y＋m＋1＝0恒过定点________． [自主解答]　由直线(m＋2)x－(m＋1)y＋m＋1＝0变形为m(x－y＋1)＋(2x－y＋1)＝0， 令解得∴该直线过定点(0，1). [答案]　(0，1) (2)已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，若直线l：ax＋y－a－1＝0与线段AB相交，则a的取值范围是________． [自主解答]　直线l：ax＋y－a－1＝0恒过点C(1，1)， 斜率k＝－a， 讨论临界点： 当直线l经过点B(－3，－2)时，kBC＝－a＝＝，结合图像可知－a∈成立， ∴a∈， 当直线l经过点A(2，－3)时，kAC＝－a＝＝－4， 结合图像可知－a∈成立，∴a∈， 综上所述a∈∪[