1.1 第1课时 直线的斜率(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

本讲义聚焦高中数学“直线的斜率”核心知识点，从平面直角坐标系中确定直线位置的几何要素切入，通过交通工程“坡度”实例抽象出斜率概念，明确其定义为两点纵坐标差与横坐标差的比，讨论斜率存在性及特殊直线斜率，构建从情境到概念再到应用的学习支架。 该资料以“坡度”现实情境引入，培养数学抽象与直观想象素养，如用坡度类比斜率帮助学生从现实问题抽象数学概念。题型设计注重分类讨论与逻辑推理，如含参数两点斜率的存在性判断，课中助力教师系统授课，课后分层练习帮助学生巩固知识，查漏补缺。

1.1　直线的斜率与倾斜角 课标 要求 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素（数学抽象）. 2.理解直线的斜率和倾斜角的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式（直观想象）. 第1课时　直线的斜率 　　交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直方向上升的高度为DB（如果是下降，则DB的值为负实数），则坡度k＝＝.若k＞0，则表示上坡，若k＜0，则表示下坡，为了实际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小. 【问题】　你知道“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　直线的斜率 对于直线l上的任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2），如果x1≠x2，则　　是一个定值，我们将其称为直线l的斜率，即k＝　　（x1≠x2）. 【想一想】 1.是否所有直线都有斜率？请举例说明. 提示：并非所有直线都有斜率，当直线PQ垂直于x轴，即x1＝x2时，直线l的斜率不存在. 2.若直线l与x轴平行，则直线l的斜率为何值？ 提示：斜率为0. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若k是直线的斜率，则k≠0.（　×　） （2）经过一点，可以作无数条直线.（　√　） （3）若直线与x轴垂直，则直线的斜率为0.（　×　） 2.已知点A（1，0），B（－1，1），则直线AB的斜率为（　　） A.－　　　 B. 　　　C.－2　 　　 D.2 解析：A　直线AB的斜率k＝＝－. 3.若过两点A（4，y），B（2，－3）的直线的斜率为1，则y＝（　　） A.－ B. C.－1 D.1 解析：C　由已知，得＝1，故y＝－1. 4.下列各组点在同一条直线上的是（　　） A.（－2，3），（－7，5），（3，－5） B.（3，0），（6，－4），（－1，－3） C.（1，0），（0，－），（7，2） D.（－2，－5），（7，6），（－5，3） 解析：C　A选项：过（－2，3），（－7，5）的直线的斜率m1＝＝－，过点（－7，5），（3，－5）的直线斜率m2＝＝－1，两者不相等，故三点不在同一条直线上，A选项错误；B选项：过（3，0），（6，－4）的直线斜率n1＝＝－，过点（6，－4），（－1，－3）的直线斜率n2＝＝－，两者不相等，故三点不在同一条直线上，B选项错误；C选项：过点（1，0），（0，－）的直线的斜率k1＝.过点（1，0），（7，2）的直线的斜率k2＝，两者相等，故此三点共线，C选项正确；D选项：过点（－2，－5），（7，6）的直线的斜率a1＝＝，过点（7，6），（－5，3）的直线斜率a2＝＝，两者不相等，故三点不在同一条直线上，D选项错误.故选C. 题型一　直线的斜率 （链接教科书第6页例1）经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率： （1）A（2，3），B（4，5）； 解：存在.直线AB的斜率kAB＝＝1. （2）M（－3，2），N（2，2）； 解：存在.因为yM＝yN＝2，所以直线MN∥x轴，其斜率为0. （3）P（－3，1），Q（－3，10）； 解：不存在.因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在. （4）C（m，2），D（1，m2＋2）. 解：当m＝1时，直线l的斜率不存在； 当m≠1时，直线l的斜率k＝＝. 规律方法 利用斜率公式求直线斜率的注意事项 （1）运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率不存在； （2）斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，即公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置. 提醒：若给出两个点的横坐标中含有参数，则要对参数进行分类讨论，分类的依据是两点横坐标是否相等. 1.已知点A（n，－n－3），B（2，n－1），C（－1，4），若直线AC的斜率是直线BC的斜率的3倍，则实数n＝　1或2　. 解析：由题意知直线AC，直线BC的斜率均存在，则n≠－1，直线AC的斜率为kAC＝＝，直线BC的斜率为kBC＝＝，所以＝3×，整理得n2－3n＋2＝0，解得n＝1或n＝2.所以实数n的值为1或2. 2.直线过两点A（m，3），B（2，7），试求直线AB的斜率. 解：当m＝2时，直线AB垂直于x轴，其斜率不存在； 当m≠2时，根据直线的斜率公式得kAB＝＝. 题型二　已知一点和斜率作直线 （链接教科书第6页例2）经过点（3，2）画直线，使直线的斜率分别为（1）；（2）－. 解：（1）从点（3，2）开始，向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点（6，4）. 通过点（6，4）和点（3，2）画直线，即为所求，如图①. （2） 由于－＝，因此，将点（3，2）先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点（5，1）.通过点（5，1）和点（3，2）画直线，即为所求，如图②. 规律方法 已知一点和斜率作直线的步骤 （1）确定已知点； （2）由斜率将点沿x轴，y轴平移得到动点坐标，过两点画出直线. 经过点（－2，3）画直线，使直线的斜率分别为（1）；（2）0. 解：（1）从点（－2，3）开始，向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点（3，5）， 通过点（－2，3）和点（3，5）画直线，即为所求，如图①. （2）由于0＝（不唯一），因此，将点（－2，3）只向右平移2个单位长度，得到点（0，3）.通过点（－2，3）和点（0，3）画直线，即为所求，如图②. 题型三　三点共线问题 （链接教科书第9页习题5题）若A（－2，3），B（m，－2），C（4，－3）三点共线，则实数m＝　3　. 解析：因为A（－2，3），B（m，－2），C（4，－3）三点共线，且kAB＝，kAC＝＝－1，所以直线AB，AC的斜率存在，且kAB＝kAC，即＝－1，解得m＝3. 规律方法 用斜率公式解决三点共线问题的思路 已知A（1，3），B（1，－2），C（m，4）三点在同一条直线上，则实数m＝　1　. 解析：因为A，B，C三点在同一条直线上，且直线AB的斜率不存在，故A，B，C三点的横坐标相等，故m＝1. 1.已知直线l经过两点P1（－1，1），P2（3，－1），则直线l的斜率是（　　） A. B.2 C.－ D.－2 解析：C　直线l的斜率k＝＝＝－，故选C. 2.已知斜率为的直线经过点M（2，m），N（1，2），则m＝（　　） A.－2 B.＋2 C.1 D.0 解析：B　因为斜率为的直线经过点M（2，m），N（1，2），所以kMN＝＝，解得m＝＋2.故选B. 3.已知一次函数y＝2x＋1的图象为直线l，则直线l的斜率为　2　. 解析：在直线l上任取两点P（1，3），Q（2，5），所以kl＝＝2. 4.已知直线l经过点A（－1，2），且斜率k＝－2，判断B（1，－2），C（0，4），D（0，0）中，哪些点在直线l上，哪些点不在直线l上. 解：因为直线l经过点A（－1，2），且kAB＝＝－2，kAC＝＝2≠－2，kAD＝＝－2， 所以点B，D在直线l上，点C不在直线l上. 1.下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是（　　） A.（4，2）与（－4，1） B.（0，3）与（3，0） C.（3，－1）与（2，－1） D.（－2，2）与（－2，5） 解析：D　D项中，因为x1＝x2＝－2，所以直线垂直于x轴，斜率不存在. 2.若直线l经过点A（1，3），B（－1，11），则直线l的斜率为（　　） A.－4 B.4 C.－3 D.3 解析：A　直线l的斜率为＝－4.故选A. 3.若点C（，m）在A（－2，3），B（3，－2）两点所连的直线上，则m＝（　　） A.－2 B.2 C.－ 解析：D　由题意得kAB＝kAC，所以＝，解得m＝. 4.已知直线l上的一点向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后，仍在该直线上，则直线l的斜率为（　　） A. B.－ C.2 D.－2 解析：B　设点P（a，b）是直线l上的一点，将点P（a，b）向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到点P'（a＋4，b－2）仍在该直线上，则直线l的斜率k＝＝－.故选B. 5.〔多选〕若直线l的斜率k＝－2，且过点（3，2），则直线l经过点（　　） A.（0，4） B.（4，0） C.（6，－4） D.（－2，1） 解析：BC　直线l的斜率k＝－2，且过点（3，2），对于A，＝－≠－2，故A不在直线l上；对于B，＝－2，故B在直线l上；对于C，＝－2，故C在直线l上；对于D，＝≠－2，故D不在直线l上.故选B、C. 6.〔多选〕下列各组点中，共线的是（　　） A.（1，4），（1，2），（1，5） B.（－2，－5），（7，6），（－5，3） C.（1，0），（0，－），（7，2） D.（0，0），（2，4），（－1，3） 解析：AC　A中，三点都在直线x＝1上，共线；B中，＝，＝≠，不共线；C中，＝，＝，共线；D中，＝2，＝－3≠2，不共线.故选A、C. 7.直线过点（－2，）和点（－1，2），则该直线的斜率为　　. 解析：直线的斜率为＝. 8.过A（a，0），B（1，2）的直线的斜率大于2，则满足条件的一个a的值可以为　（答案不唯一，满足0＜a＜1的一个值即可）　. 解析：因为过A（a，0），B（1，2）的直线的斜率大于2，所以a≠1，且k＝＞2，解得0＜a＜1. 9.若A（3，1），B（－2，b），C（8，11）三点共线，则b＝　－9　. 解析：因为A，B，C三点共线，所以kAB＝kAC，即＝，得b＝－9. 10.已知两点P（1－m，1＋m）和Q（3，5m），问当m取何值时： （1）直线PQ的斜率不存在； （2）直线PQ平行于x轴； （3）直线PQ的斜率k＜0. 解：（1）当1－m＝3，即m＝－2 时，点P（3，－1），Q（3，－10），此时直线PQ的斜率不存在. （2）直线PQ平行于x轴，即点P，Q的纵坐标相等，即1＋m＝5m，得m＝. （3）直线PQ的斜率k＜0，即＝＜0，解得－2＜m＜，即当m∈（－2，）时，PQ的斜率k＜0. 11.直线l1，l2，l3，l4的图象如图所示，则斜率最小的直线是（　　） A.l1 B.l2 C.l3 D.l4 解析：B　由图知：＞＞0＞＞，故斜率最小的直线是l2.故选B. 12.已知点A（0，m2），B（m，m3）（m＞0），则直线AB斜率的最小值为（　　） A.－ B.－ C. 解析：A　kAB＝＝m2－m＝（m－）2－，当m＝时，直线AB的斜率取得最小值，且最小值为－，故选A. 13.〔多选〕已知点A的坐标为（3，4），在坐标轴上有一点B，若kAB＝4，则点B的坐标可以为（　　） A.（0，－4） B.（0，－8） C.（2，0） D.（－2，0） 解析：BC　当点B在y轴上时，设B（0，y），由kAB＝4，可得＝4，解得y＝－8，∴B（0，－8）；当点B在x轴上时，设B（x，0），由kAB＝4，可得＝4，解得x＝2，∴B（2，0），∴点B的坐标为（2，0）或（0，－8），故选B、C. 14.已知直线l过点A（1，2），且不过第四象限，试求直线l斜率的取值范围. 解：如图，当直线l在l1位置时，k＝0； 当直线l在l2位置时，k＝＝2. 故直线l的斜率的取值范围是[0，2]. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $