精品解析：浙江省新月联盟8月考试

绝密★启用前 2026年8月浙江省新月联盟高三年级第一次联考 数学试题卷 命题：三相月临新高考研究联盟 浙江省舟山中学 湖北华中师范大学第一附属中学 审校：浙江省台州中学 浙江省宁波市效实中学 注意事项： 1．本卷全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，请在答题卡上填写姓名、准考证号，并检查条形码上的姓名、准考证号是否与本人相符． 3．请仔细阅读答题卡上的注意事项，并答题卡的规定区域内作答，做在本试卷、草稿纸上的答案一律无效． 4．考试结束后，试卷、答题纸、草稿纸一并上交考点保存． 卷I（选择题） 一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．每小题给出的选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别求解集合A、集合B的取值范围，再根据交集的定义计算二者的公共部分即可. 【详解】要使根式有意义，需，解得，因此. 不等式，因式分解得，解得，即. 因此. 2. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 因为， 所以虚部为. 3. 若随机变量X满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过从均值左侧的单侧分布概率中减去基于对称性得出的区间概率，即可求解. 【详解】由题意得，， 且， 即，则. 4. 在△ABC中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】D 【解析】 【分析】结合余弦函数在上的单调性和三角形大边对大角的性质，分别验证充分性和必要性即可. 【详解】在中，内角，函数在区间上单调递减. 充分性验证：若，根据在的单调递减性质，可得. 根据三角形大边对大角的性质，角的对边为，角的对边为. 因此可推出，充分性成立. 必要性验证：若，根据大边对大角的性质可得， 再结合在的单调递减性质，可得，必要性成立. 综上，“”是“”的充要条件. 5. 有两点A，B分别在曲线与曲线上，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用互为反函数的图象关于直线对称的性质，将两点距离最小值转化为单条曲线上点到直线的最短距离的两倍，再计算距离平方的最小值. 【详解】函数与互为反函数，二者图象关于直线对称， 因此的最小值等于曲线上点到直线最短距离的2倍，即，故. 对求导得，直线的斜率为，令，解得，代入得，即切点为. 点到直线的距离：. 所以. 6. 已知为奇函数，与的图像关于直线对称，若，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由是奇函数推导的中心对称点，再根据反函数的对称关系得到的中心对称点，最后利用中心对称性质求解. 【详解】由为奇函数，可得对定义域内任意，满足， 令，变形得，即，因此的图象关于点中心对称， 由于与的图象关于直线对称，点关于的对称点为， 因此的图象关于点中心对称，满足， 已知，即，代入得. 7. 在棱长为8的正方体中，E是棱上的一个动点，F为线段上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】建系，设，根据两点间距离公式分析求解． 【详解】以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，    可得， 设， 则，即， 可得， 当，即时，取到最小值． 8. 设向量满足，，且与的夹角为，则的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得，设，建立平面坐标系，由得四点共圆，进而得圆心的坐标，即得圆的方程，利用数形结合即可求解. 【详解】由题意得：，又， 所以， 设，如图所示， 由，所以，所以， 所以，所以四点共圆， 又过点三点的圆的圆心在轴上，所以， 连接，由，所以，解得， 所以过点三点的圆的方程为， 由，令，连接， 所以， 又点在圆上，且满足，所以，， 所以. 二．选择题：本大题共3小题，每小题6分，满分18分．每小题给出的选项中，有多个符合题目要求．全部选对的得满分，部分选对的得部分分，不选、有错选的均不得分． 9. 若，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】选项A：二项展开式通项为， 求的系数时令得， 代入得，故A错误; 选项B：令代入等式，得，即，故B正确; 选项C：令代入等式，得， 又,因此，故C正确; 选项D：令代入等式，得， 又， 两个等式作差得， 因此，故D正确. 10. 已知等差数列的前项和为，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. ，，可能成等差数列 D. ，，可能成等比数列 【答案】BC 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和公式及性质，再结合片段和性质，及等差数列等比数列的判定逐一分析即可． 【详解】对于A，由是等差数列，则， 若，则，即， 所以，即当，且时，，即不恒成立，故A错误； 对于B，由是等差数列，则对任意的整数，都有，，成等差数列， 令，则，，成等差数列， 所以，故B正确； 设等差数列的公差为，则，，， 对于C，若成等差数列，则，即，解得， 则，，，即，，所以， 即当时，，，成等差数列，故C正确； 对于D，若成等比数列，则，即，解得， 将看成是关于的一元二次方程， 则，只有当时，方程有解，且解为， 此时，则，，不可能成等比数列，故D错误． 11. 已知曲线和椭圆，其中和不同时为0，点在曲线上运动，过点的一条直线与椭圆交于两点，坐标原点为．下列说法正确的是（ ） A. 曲线存在2条对称轴 B. 曲线全部在椭圆内 C. 点到的最大值为 D. 对任意点均存在直线使 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据的方程易得轴、轴均为对称轴；对于B，根据曲线的方程求出的最大值小于2，即可判断曲线全部在椭圆内；对于C，根据曲线的方程求出的最大值即可判断；对于D，先考虑为弦的中点，求出直线的方程，再证明此时，根据直角三角形斜边中线定理即可得到． 【详解】对于A：在曲线的方程中，将替换为，方程不变，故轴是对称轴， 将替换为，方程不变，故轴也是对称轴，故A正确； 对于B：设，则由可得， 将曲线的方程即代入不等式， 由得，结合，得；由得，得， 因此，最大值， 所以曲线上所有点都满足，全部在椭圆内，故B正确； 对于C：由解得， 因此， 当时等号成立，此时，，， 所以点到的距离的最大值为，故C错误； 对于D：设，记，则， 先考虑为弦的中点，则， 又，两式作差得， 故， 若，两边除以，得直线的斜率， 故直线的方程为，即， 若，则直线的方程为，代入上式仍成立， 因此椭圆中以为中点的弦，直线方程为， 由于在椭圆内部，故该弦始终存在． 联立得， 故， 进而 因此， 上式的分子 ， 而， 因此，即， 因此在中，是斜边的中点，故， 因此对任意，以为中点的椭圆弦均满足条件，故D正确． 卷Ⅱ（非选择题） 三．填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分． 12. 已知函数在间单调且存在零点，若使用二分法求零点的近似值，要求区间长度小于，则需要进行二分操作的次数为________(参考数据：)． 【答案】 【解析】 【分析】根据二分法的含义知，每次二分都会将原有的区间长度缩为可得至少需要进行多少次函数值的计算. 【详解】每进行一次函数值计算，区间长度变为原来的，进行次计算后，区间长度为， 则， 得，得， 得， 则要进行二分操作的次数为． 13. 左轮手枪的弹仓共有6个可装填子弹的位置，每尝试击发一次后，弹仓便会顺时针转动一个子弹的位置．现有2个子弹装填在相邻的位置上，如图所示，不考虑偶然故障，则一次击发打出子弹的概率为________；若连续进行两次击发，其中第二发为空枪，则第一发也为空枪的概率是________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】（1）根据随机击发一次，击发每个位置的可能性相等即可求解；（2）分别讨论事件“第一发为空枪且第二发为空枪”的概率以及事件“第二发为空枪”的概率，然后根据条件概率公式进行求解. 【详解】（1）因为弹仓共有6个位置，其中两个装子弹。 随机击发一次，击发每个位置的可能性相等， 由古典概率模型可得. （2）由对称性，可设固定子弹位置为1，2，其余位置（3，4，5，6）为空仓. 设事件为第一发为空枪（即初始位置）； 设事件为第二发为空枪（即击发一次后，弹仓顺时针转动一格，下一位置） 对于事件， 第二发为空枪，意味着转动后的位置不能是子弹所在的1或2， 即，于是初始位置， 所以初始位置，所以 对于事件， 意味着初始位置（保证第一发空）， 且，即， 所以满足初始条件的位置有.所以， 所以 14. 新月联盟的标志中有一轮新月与栖息于其上的鸽子，其中新月部分可看做将圆被直线所截得的劣弧部分绕该直线向内折叠得到的图形，如图所示．若直线与该图形的边缘恰有4个交点，则k的一个取值可以是________． 【答案】（答案为不唯一） 【解析】 【分析】求出折叠后的圆弧所在圆的方程，并得到直线与该圆相切时的斜率，数形结合得到答案 【详解】原点关于对称的点坐标设为， 则，解得，故折叠后的圆弧所在圆的圆心为，半径为2， 故折叠后的圆弧所在圆的方程为， 恒过点， 若直线与相切，则有， 解得， 联立与可得， 当时，，故， 故直线的斜率为， 结合图象可知，当时， 满足直线与该图形的边缘恰有4个交点， 其中，， 故， 所以k的一个取值可以为. 四．解答题：本大题共5小题，满分77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线C上，点.若当轴时，的面积为5. （1）求抛物线C的方程； （2）若，求点M的坐标. 【答案】（1）；（2）或. 【解析】 【分析】（1）根据题中的条件，可表示出点M的做标，利用三角形的面积，即可解出； （2）利用题中的条件，正切函数二倍角公式，即可解出. 【详解】（1）由题意，抛物线的焦点为F，且， 当轴时，可得点，则， 所以，解得， 所以抛物线方程为. （2）设，由（1）可知， 所以， 因为， 所以， 可得，整理得， 解得或，或， 因为，所以，所以，， 故点M的坐标为或. 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小． （2）若M为的内心，，求周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦公式化简，可得，即可求解： （2）由M为的内心及，可得，设，利用余弦定理结合基本不等式即可求得周长的取值范围． 【小问1详解】 已知，由正弦定理得：， 因为，故， 代入上式化简得：， 在中，，则， 又，所以. 【小问2详解】 因为M为的内心，由(1)知， 所以， 所以， 设，又，即， 在中，由余弦定理得，， 所以，， ，当且仅当时等号成立， 又，所以， 所以周长的取值范围为：. 17. 如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，侧面为正三角形，平面平面，且，为的中点． （1）证明：平面． （2）求二面角的正弦值． （3）在线段上是否存在点，使、、三点在以点为球心的球面上？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）因为，，则， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， 取的中点，连接、， 平面，， 在正三角形中，， 又，、平面，平面，   是中点，是的中点，，， ，，，， 四边形是平行四边形，，平面. （2） （3）在线段上不存在点满足条件，理由如下： 假设在线段上存在点满足条件，设， 由（2），，， 则，， 由得 ，无解， 即在线段上不存在满足条件的点． 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，先证明平面，再证得，即可证得平面； （2）取的中点，以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用二面角的向量求法可求得结果； （3）假设在线段上存在点满足条件，设，由，列方程组，无解，即在线段上不存在满足条件的点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接， 在正三角形中，， 面面，面面，平面， 面， 以为原点，、、的方向分别为、、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ， 设平面和平面的一个法向量分别为， 由，得，取，得， 由，得，取，得， 则， 则二面角的正弦值为． 【小问3详解】 略 18. 我们知道，若为一个分类变量，则全概率公式可以表示为．类似条件概率的定义，我们将在事件 发生的前提下，随机变量的数学期望称为条件期望，记为．类似地，若已知各条件下X的数学期望，我们可以得出在总条件下的期望：，即全期望公式． 运用以上知识回答下列问题：某人购买一款盲盒，其中共有n种商品()，每次购买时抽取到每种商品的概率是均等的，直到抽到所有商品时停止购买．记购买的总次数为X． （1）若： （i）求． （ii）若该人已获得其中的三种商品，记“下一次购买抽中已有商品”为事件M，并设其还需要购买的次数为Y，证明：，并求的值． （2）求(用n表示，可使用求和符号)． 【答案】（1）（i）; （ii）设事件为“下一次购买抽中未拥有的商品”已经获得三种商品后， 每次抽到剩余新商品的概率为，抽到已有商品的概率为， 若发生，则这一次购买没有改变已有商品的种类数， 所以在发生事件后，未来还需要购买的期望次数依然是初始状态下的期望次数， 则，得证. （2） 【解析】 【分析】（1）（i）通过乘法公式依次计算连续四次都抽到不同全新商品的独立事件概率，（ii）利用“抽中已有商品相当于白白消耗一次机会且收集状态不变”的逻辑构建递推关系，并代入全期望公式解方程求出具体期望值， （2）将总购买次数拆分为获取每一种新商品所需次数的独立阶段，利用全期望公式证明各阶段期望为单次成功概率的倒数，最后运用期望的线性性质累加求和. 【小问1详解】 （i）事件表示前四次购买恰好抽齐四种商品，即前四次抽到的商品互不相同， 所以有. （ii）若发生，只需这1次购买即可完成收集，所以， 由题意可得， 即， ， ， 解得. 【小问2详解】 设为在已经拥有种不同商品的前提下，为了抽到第种新商品所需要购买的次数， 其中，则有， 在已拥有种商品时，下一次抽中全新商品的概率记为， 因为总共有种商品，还剩下种未抽中，所以， 由（1）得， 即， ， ， ， ， 则，令， 整理得. 19. 定义：已知函数，若数列满足：对任意的，均有，则为函数的一个“起源数列”． （1）若已知，求的一个“起源数列”的通项公式． （2）若已知，数列为的“起源数列”，证明：对任意的，均为数列中的一项． （3）若已知，数列，分别为的两个“起源数列”()，且对任意的，，． （i）证明：； （ii）当时，比较与的大小，并证明你的结论． 【答案】（1） （2）证明： 因为与均为上的增函数，故在上单调递增. 由定义知，对任意成立，且方程的解唯一. 任取，记.由于为正整数，为正整数，则也为正整数，于是. 结合单调递增，函数值相等则自变量相等，得，即存在正整数，使得，因此是数列中的一项. （3）（i）证明： 由起源数列定义得，且. ①证：由，两边取自然对数，得. ②证：令，，，故在上单调递增. 当时， ，由单调性得 . 因此，两边取对数得. 综上得证. （ii）时， 【解析】 【分析】本题属于新定义综合压轴题，融合数列、导数、函数单调性、不等式证明，侧重考查信息理解与代数变形能力. （1）读懂 “起源数列” 是解题突破口：，本质是为方程的实数解；函数若不单调，同一个可以对应多个解，由此产生不同的起源数列. （2）利用严格单调函数自变量与函数值一一对应的性质，将 “数属于数列” 的证明转化为验证定义式，不需要求出数列通项. （3）（i）借助函数单调性完成放缩，把不等式证明转化为函数值大小比较； （ii）对负数做换元处理消去绝对值，通过构造辅助函数，使用反证法导出矛盾，完成大小比较，是导数与数列结合的典型考法. 【小问1详解】 由 “起源数列” 的定义得，即， 两边取自然对数，可得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （i）略 （ii）当时，. 证明： 由题意因为，令，则， 代入第二个等式得，于是有. 构造函数， 求导得， 故在单调递增， 又，因此当时，，即. 假设.记，，则在单调递增. 由，得，即. 结合，得，即. 当时，，此时，矛盾，故假设不成立，因此，即. 【点睛】①新定义问题务必先完成条件翻译，不要被陌生名词迷惑； ②严格单调函数可以实现 “函数值相等自变量相等”，是函数、数列综合题常用工具； ③遇到同一个方程存在多组解时，常通过换元统一变量范围，再构造辅助函数结合导数、反证、放缩处理不等式； ④本题不追求求出数列具体表达式，重在利用方程满足的恒等式做推理，这是新高考压轴的常见命题思路. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2026年8月浙江省新月联盟高三年级第一次联考 数学试题卷 命题：三相月临新高考研究联盟 浙江省舟山中学 湖北华中师范大学第一附属中学 审校：浙江省台州中学 浙江省宁波市效实中学 注意事项： 1．本卷全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，请在答题卡上填写姓名、准考证号，并检查条形码上的姓名、准考证号是否与本人相符． 3．请仔细阅读答题卡上的注意事项，并答题卡的规定区域内作答，做在本试卷、草稿纸上的答案一律无效． 4．考试结束后，试卷、答题纸、草稿纸一并上交考点保存． 卷I（选择题） 一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．每小题给出的选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 若随机变量X满足，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 在△ABC中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 5. 有两点A，B分别在曲线与曲线上，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知为奇函数，与的图像关于直线对称，若，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 7. 在棱长为8的正方体中，E是棱上的一个动点，F为线段上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 8. 设向量满足，，且与的夹角为，则的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二．选择题：本大题共3小题，每小题6分，满分18分．每小题给出的选项中，有多个符合题目要求．全部选对的得满分，部分选对的得部分分，不选、有错选的均不得分． 9. 若，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知等差数列的前项和为，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. ，，可能成等差数列 D. ，，可能成等比数列 11. 已知曲线和椭圆，其中和不同时为0，点在曲线上运动，过点的一条直线与椭圆交于两点，坐标原点为．下列说法正确的是（ ） A. 曲线存在2条对称轴 B. 曲线全部在椭圆内 C. 点到的最大值为 D. 对任意点均存在直线使 卷Ⅱ（非选择题） 三．填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分． 12. 已知函数在间单调且存在零点，若使用二分法求零点的近似值，要求区间长度小于，则需要进行二分操作的次数为________(参考数据：)． 13. 左轮手枪的弹仓共有6个可装填子弹的位置，每尝试击发一次后，弹仓便会顺时针转动一个子弹的位置．现有2个子弹装填在相邻的位置上，如图所示，不考虑偶然故障，则一次击发打出子弹的概率为________；若连续进行两次击发，其中第二发为空枪，则第一发也为空枪的概率是________． 14. 新月联盟的标志中有一轮新月与栖息于其上的鸽子，其中新月部分可看做将圆被直线所截得的劣弧部分绕该直线向内折叠得到的图形，如图所示．若直线与该图形的边缘恰有4个交点，则k的一个取值可以是________． 四．解答题：本大题共5小题，满分77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线C上，点.若当轴时，的面积为5. （1）求抛物线C的方程； （2）若，求点M的坐标. 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小． （2）若M为的内心，，求周长的取值范围． 17. 如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，侧面为正三角形，平面平面，且，为的中点． （1）证明：平面． （2）求二面角的正弦值． （3）在线段上是否存在点，使、、三点在以点为球心的球面上？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 18. 我们知道，若为一个分类变量，则全概率公式可以表示为．类似条件概率的定义，我们将在事件 发生的前提下，随机变量的数学期望称为条件期望，记为．类似地，若已知各条件下X的数学期望，我们可以得出在总条件下的期望：，即全期望公式． 运用以上知识回答下列问题：某人购买一款盲盒，其中共有n种商品()，每次购买时抽取到每种商品的概率是均等的，直到抽到所有商品时停止购买．记购买的总次数为X． （1）若： （i）求． （ii）若该人已获得其中的三种商品，记“下一次购买抽中已有商品”为事件M，并设其还需要购买的次数为Y，证明：，并求的值． （2）求(用n表示，可使用求和符号)． 19. 定义：已知函数，若数列满足：对任意的，均有，则为函数的一个“起源数列”． （1）若已知，求的一个“起源数列”的通项公式． （2）若已知，数列为的“起源数列”，证明：对任意的，均为数列中的一项． （3）若已知，数列，分别为的两个“起源数列”()，且对任意的，，． （i）证明：； （ii）当时，比较与的大小，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $