2.5.2 椭圆的几何性质(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版)

**基本信息** 本同步练通过A级基础巩固（10题）与B级综合运用（4题）分层设计，以椭圆定义、离心率等核心概念为起点，逐步过渡到焦点三角形、直线与椭圆综合问题，实现从单一知识到复杂情境的思维进阶，培养数学推理与几何直观素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|椭圆基本量（长轴/短轴/焦距）、离心率计算、简单焦点三角形|题1-3直接考查定义公式，题4结合文物椭圆盘情境，渗透数学文化；题7-8通过填空题强化运算能力| |B级|椭圆方程综合应用、直线与椭圆位置关系、分类讨论问题|题13融合直线与圆相切情境，题14设置直角三角形分类讨论，提升逻辑推理与模型构建能力，适配新授课后综合巩固需求|

2.5.2　椭圆的几何性质 1.已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（　　） A．3　 B．6 C．8　 D．12 2.过点（3，2）且与椭圆3x2＋8y2=24有相同焦点的椭圆方程为（　　） A．＋=1　 B．＋=1 C．＋=1　 D．＋=1 3.已知F1，F2分别为椭圆＋=1的左，右焦点，A为上顶点，则△AF1F2的面积为（　　） A．6　 B．15 C．6　 D．3 4.明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图①所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图②所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图③所示，这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆．已知图①，②，③中椭圆的短轴长与长轴长的比值分别为，，，设图①，②，③中椭圆的离心率分别为e1，e2，e3，则（　　） A．e1＞e2＞e3　 B．e1＞e3＞e2 C．e2＞e1＞e3　 D．e2＞e3＞e1 5.设F1，F2分别是椭圆E：＋=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，且•=0，=4，则椭圆E的离心率为（　　） A．　 B． C．　 D． 6.〔多选〕设F1，F2为椭圆＋=1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|－|PF2|=2，则下列说法中正确的是（　　） A．|PF1|=3 B．△PF1F2的周长为6＋2 C．△PF1F2的面积为4 D．点P在圆x2＋y2=5上 7.若椭圆＋=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为4，则椭圆的标准方程为　　　　． 8.如图，把椭圆＋=1的长轴（线段AB）分成8等份，过每个分点作x轴的垂线，分别交椭圆于P1，P2，P3，…，P7七个点，F是椭圆的左焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|=　　　　． 9.已知椭圆＋=1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为．若A，B分别是椭圆的上、下顶点，F1，F2分别为椭圆的上、下焦点，P为椭圆上任意一点，且•=－，则△PF1F2的面积为　　　　． 10.如图，焦点在x轴上的椭圆＋=1（b＞0）的离心率e=，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，求•的最大值和最小值． 11.〔多选〕已知椭圆E：＋=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为6，F，F′分别是椭圆的左、右焦点，A（1，1）是一个定点，P是椭圆E上的动点，则下列说法正确的是（　　） A．|PF|＋|PF′|=6 B．椭圆E的标准方程为＋=1 C．|AF′|=2 D．|PA|＋|PF|的最大值为6＋ 12.已知椭圆＋=1（a＞b＞0）的焦点分别为F1（0，－c），F2（0，c），过椭圆外一点P（0，3c）和右顶点M的直线交椭圆于另一点N，若MF1∥NF2，则椭圆的离心率为　　　　． 13.已知椭圆＋=1（a＞b＞0），焦点F1（－c，0），F2（c，0）（c＞0）．若过F1的直线和圆（x－c）2＋y2=c2相切，与椭圆在第一象限交于点P，且PF2⊥x轴，则该直线的斜率是　　　　，椭圆的离心率是　　　　． 14.已知椭圆E：＋=1（a＞b＞0）的离心率e=，并且经过定点P． （1）求椭圆E的方程； （2）设椭圆E的左、右焦点分别为F1，F2，M（x0，y0）为E上的一点，若△MF1F2为直角三角形，求y0的值． 2.5.2　椭圆的几何性质 1.B　椭圆的长轴长为10，焦距为8，所以2a=10，2c=8，可得a=5，c=4，所以b2=a2－c2=25－16=9，可得b=3，所以该椭圆的短轴长2b=6，故选B． 2.C　由3x2＋8y2=24化简可得＋=1，焦点为（±，0）在x轴上，同时又过（3，2）点，设＋=1，有解得a2=15，b2=10，故选C． 3.D　由椭圆方程＋=1得A（0，3），F1（－，0），F2（，0），∴|F1F2|=2．∴S△AF1F2=|F1F2|•|yA|=×2×3=3．故选D． 4.A　椭圆的短轴长与长轴长的比值为=，椭圆的离心率公式为e====，故e1= ，e2= ，e3= ，故e1＞e2＞e3.故选A． 5.B　设|BF2|=x，因为=4，则|AF2|=3x，由椭圆的定义可得|AF1|=2a－3x，|BF1|=2a－x，因为•=0，即∠F1AF2=，在Rt△F1AB中，则|AF1|2＋|AB|2=|BF1|2，即（2a－3x）2＋（4x）2=（2a－x）2，解得x=，可得|AF1|=|AF2|=a，在Rt△AF1F2中，可得|AF1|2＋|AF2|2=|F1F2|2，即a2＋a2=（2c）2，整理得a2=2c2，所以椭圆E的离心率为e===． 6.BCD　由＋=1，得a2=9，b2=4，则a=3，b=2，c==，因为P是椭圆上一点，所以|PF1|＋|PF2|=2a=6，因为|PF1|－|PF2|=2，所以|PF1|=4，|PF2|=2，故A错误；△PF1F2的周长为2a＋2c=6＋2，故B正确；因为|PF1|2＋|PF2|2=|F1F2|2，所以△PF1F2为直角三角形，PF2⊥PF1，所以S△PF1F2=×2×4=4，故C正确；因为△PF1F2为直角三角形，所以|OP|=|F1F2|=，故点P在圆x2＋y2=5上，故D正确．故选B、C、D． 7.＋=1　解析：由题意可知e==，2b=4，得b=2，所以解得所以椭圆的标准方程为＋=1. 8.35　解析：由椭圆的对称性及定义，知|P1F|＋|P7F|=2a，|P2F|＋|P6F|=2a，|P3F|＋|P5F|=2a，|P4F|=a，所以|P1F|＋|P2F|＋|P3F|＋|P4F|＋|P5F|＋|P6F|＋|P7F|=7a．因为a=5，所以所求式子的值为35. 9.　解析：因为所以a=2，b=1，c=，所以椭圆方程为＋x2=1，设P（x0，y0），椭圆的上、下顶点分别为A（0，2），B（0，－2），所以=（－x0，2－y0），=（－x0，－2－y0），且＋=1，所以•=＋－4=＋4－4－4=－，所以=，即得S△PF1F2=|F1F2|×|x0|=×2c×=×=． 10.解：设P点的坐标为（x0，y0）． 由题意知a=2，因为e= = ，所以c=1，所以b2=a2－c2=3. 所以椭圆方程为 ＋ =1. 所以－2≤x0≤2，－≤y0≤ ． 又F（－1，0），A（2，0），=（－1－x0，－y0），=（2－x0，－y0）， 所以•=－x0－2＋=－x0＋1=（x0－2）2. 当x0=2时，•取得最小值0， 当x0=－2时，•取得最大值4. 11.ABD　由题意可知：解得∴|PF|＋|PF′|=2a=6，A选项正确；∴b2=a2－c2=5，∴椭圆E：＋=1，B选项正确；∵F′（2，0），∴|AF′|==，C选项错误；|PA|＋|PF|=|PA|＋2a－|PF′|≤2a＋|AF′|=6＋，当且仅当F′在A，P之间且它们三点共线时等号成立，D选项正确． 12.　解析：因为F1（0，－c），F2（0，c），P（0，3c），可得F2为F1P的中点，又MF1∥NF2，所以N是PM中点，因为M（b，0），则N（，），代入椭圆方程可得＋=1，所以=，所以=，则离心率e==． 13.　　解析：设过F1的直线与圆的切点为M，圆心A（c，0），则|AM|=c，|AF1|=c，所以|MF1|=c，所以该直线的斜率k===．因为PF2⊥x轴，所以|PF2|=，又|F1F2|=2c，所以k====，得e=． 14.解：（1）设椭圆E的半焦距为c， 则解得 所以椭圆方程为＋y2=1. （2）由（1）得F1（－，0），F2（，0）， 若MF1⊥F1F2，则M（－，y0），代入椭圆方程得＋=1，得y0=±； 若MF2⊥F1F2，则M（，y0），代入椭圆方程得＋=1，得y0=±； 若MF2⊥MF1，则•=－3＋=0， 又＋=1，解得 所以y0=±， 综上，y0=±或y0=±满足题意． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $