专题07 空间中的距离五大题型（高效培优专项训练）数学人教B版2019选择性必修第一册

专题07 空间中的距离 题型一：点到平面距离的向量求法 题型二：平行平面距离的向量求法 题型三：点到直线距离的向量求法 题型四：异面直线间距离的向量求法 题型五：空间线段点的存在性问题 题型一：点到平面距离的向量求法 1．已知三棱锥的三条侧棱、、两两垂直，且，，.顶点到平面的距离是 . 2．如图，在直三棱柱中，，，，M、N、P分别是、、的中点. (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 3．如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是棱，，的中点. (1)证明：； (2)求点到平面的距离. 4．设正方体的棱长为2，，的中点分别为，. (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求点到面的距离. 5．如图，在梯形中，，，，现将所在平面沿对角线翻折，使点翻折至点，且成直二面角． (1)证明：平面平面； (2)若异面直线与所成角的余弦值为，求平面与平面所成角的余弦值； (3)在（2）的条件下，求点到平面的距离． 题型二：平行平面距离的向量求法 6．正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在平行六面体中，，，，，．则 ；该平行六面体的体积为 ． 8．已知是棱长为1的正方体，则平面与平面的距离为 ． 9．在棱长为的正方体中，求 (1)直线与平面所成的角； (2)求平面与平面的距离； (3)求三棱锥外接球的表面积； 10．已知正方体 的棱长为1，求平面 与平面 间的距离． 题型三：点到直线距离的向量求法 11．在空间直角坐标系中，若一条直线经过点，且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示．已知直线的方程为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 12．已知空间中的三点，，，则点到直线AB的距离为 . 13．已知平面，是直角三角形，且，，则点P到直线BC的距离是 . 14．已知空间中有三点，则A到直线的距离为 ． 15．空间内有三点，，，则点到直线的距离为 ． 16．已知直线过定点，向量为其一个方向向量，则点到直线的距离为 ． 题型四：异面直线间距离的向量求法 17．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若，则直线BD1与CD之间的距离为 . 18．已知正方体的棱长为1，是异面直线AC与的公垂线段，点在AC上且点在上，则 . 19．将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折叠使得△ACD垂直于底面ABC，则异面直线AD与BC的距离为 ． 20．三棱锥中，，，，，点M，N分别在线段，上运动.若二面角的大小为，则的最小值为 . 21．已知正方体的棱长为2，M为棱的中点，P，Q分别为线段，上的动点，则的最小值为 . 22．在棱长是的正方体中，为的中点，则异面直线和间的距离是 题型五：空间线段点的存在性问题 23．如图，在四棱锥中，平面平面.是等腰三角形，且.在梯形中，. (1)求证:平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值; (3)棱上是否存在点到平面的距离为，若存在，求出的值;若不存在，说明理由. 24．如图，在四棱锥中，平面ABCD，PB与底面ABCD所成角为，底面ABCD为直角梯形，. (1)求PB与平面PCD所成角的正弦值； (2)求平面PCD与平面PBA所成角的余弦值； (3)N为AD中点，线段PC上是否存在动点M（不包括端点），使得点P到平面BMN距离为. 25．图①是直角梯形，四边形是边长为的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且.    (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为?若存在，求出的位置；若不存在，请说明理由. 26．如图，在正三棱柱中，分别是的中点. (1)求点到平面的距离. (2)在线段上是否存在一点，使平面？若存在，确定点的位置；若不存在，也请说明理由. 27．如图，在长方体中，，，分别是棱，，的中点. (1)判断直线与平面的位置关系，并证明你的结论； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 空间中的距离 题型一：点到平面距离的向量求法 题型二：平行平面距离的向量求法 题型三：点到直线距离的向量求法 题型四：异面直线间距离的向量求法 题型五：空间线段点的存在性问题 题型一：点到平面距离的向量求法 1．已知三棱锥的三条侧棱、、两两垂直，且，，.顶点到平面的距离是 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面BCD的法向量，利用点到平面的距离公式求解. 【详解】因为AB、AC、AD两两垂直，以点A为坐标原点，AC，AB，AD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则， ， 设平面BCD的一个法向量为， ， 令，则， 则顶点A到平面BCD的距离， 即顶点A到平面BCD的距离为． 故答案为： 2．如图，在直三棱柱中，，，，M、N、P分别是、、的中点. (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，求出坐标，利用向量证明，，根据线面垂直的判定定理证明； （2）求出平面的一个法向量，利用向量法求线面角； （3）由（1）平面的一个法向量为，利用向量法求解. 【详解】（1）在直三棱柱中，，则，，两两垂直， 如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 由，则， 由，则， 由，且都在平面内，则平面. （2）设平面的一个法向量，，， 所以，取，则， 所以， 故与平面所成角的正弦值为. （3）由（1）知平面的一个法向量为，由（2）知， 所以点到平面的距离. 3．如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是棱，，的中点. (1)证明：； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建系，利用空间向量证明线线垂直. （2）求平面的一个法向量，利用空间向量求点到面的距离. 【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则，，，，， ， 故，因此，故 （2）因，，设平面的一个法向量， 则，则满足条件的一个， 因为，故点到平面的距离. 4．设正方体的棱长为2，，的中点分别为，. (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求点到面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，根据异面直线夹角的向量求法即可求解； （2）求出平面的一个法向量，利用点到面的距离向量求法即可求解. 【详解】（1） 在正方体中，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示， 则由题可得：，，，， ∴，， ∴， ∴异面直线与所成角的余弦值为. （2）由（1）知.设平面的一个法向量为， 则，即. 令，则，∴平面的一个法向量为. ∵，∴点到面的距离为. 5．如图，在梯形中，，，，现将所在平面沿对角线翻折，使点翻折至点，且成直二面角． (1)证明：平面平面； (2)若异面直线与所成角的余弦值为，求平面与平面所成角的余弦值； (3)在（2）的条件下，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）取的中点E，连接，利用平面几何知识证明，再利用面面垂直的性质定理证明平面，即可得证； （2）取的中点O，连接，以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，设，利用向量求异面直线与所成角，列方程求出，进而通过向量法求出平面与平面夹角的余弦值； （3）根据点到平面的距离计算可得. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为，，， 则，， 故四边形为平行四边形， 所以， 则，所以， 又，故， 故，即， 又平面平面，且平面平面，平面， 故平面，又平面， 故平面平面； （2）取的中点，连接，则， 所以，且，则两两互相垂直， 故以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 设，则，，， 故， 所以， 因为异面直线与所成角的余弦值为， 所以，解得（负值已舍去）， 故， 设平面的法向量为，， ，令，则，可得， 由（1）可知平面的一个法向量为， ， 所以平面与平面的夹角的余弦值. （3）因为，平面的法向量为， 所以点到平面的距离. 题型二：平行平面距离的向量求法 6．正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为点到平面的距离，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，因为四点不共线，所以∥， 由面，面，则面， 因为，，分别是棱，的中点，所以∥， 同理，∥平面，而，面， 所以平面∥平面面，故平面， 所以平面和平面之间的距离，就是到平面的距离，也就是点到平面的距离． 设平面的法向量为，则，不妨取，则， 所以点到平面的距离， 即平面和平面之间的距离是． 故选：B 7．如图，在平行六面体中，，，，，．则 ；该平行六面体的体积为 ． 【答案】 【分析】利用空间向量的数量积求向量模长可得第一空，建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算点面距离求体积即可. 【详解】由题意易知， ； 如图所示，建立空间直角坐标系，则，设， 由题意可知， 不妨取，则， 易知是底面的一个法向量， 所以到底面的距离为. 8．已知是棱长为1的正方体，则平面与平面的距离为 ． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，可证得平面平面，从而平面与平面的距离等于点到平面的距离．求得平面的法向量和，结合点到平面的距离的向量公式，即可得解． 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 可得， 因为，则， 所以， 因为平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面， 又，平面， 所以平面平面， 所以平面与平面的距离等于点到平面的距离， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 又因为，所以． 所以平面与平面的距离为． 故答案为：． 9．在棱长为的正方体中，求 (1)直线与平面所成的角； (2)求平面与平面的距离； (3)求三棱锥外接球的表面积； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法即可求得线面角； （2）先证平面平面，将面到面的距离转化为点到面的距离，建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求出点到面的距离即可； （3）根据补形法确定三棱锥的外接球即为正方体的外接球，求出正方体外接球半径，即可求得结果. 【详解】（1） 建立如图所示，以为坐标原点， 、、分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系， 根据题意有：，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 所以，即，令，则有， 所以为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则有，又因为， 所以 （2） 连接、、、、、， 因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面；同理可证平面， 又，平面， 所以平面平面； 因为，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，， 令，可得， 则为平面的一个法向量， 所以平面与平面的距离. （3）根据补形法可知三棱锥的外接球就是正方体的外接球， 设三棱锥的外接球半径为，则， 所以，所以三棱锥的外接球的表面积为. 10．已知正方体 的棱长为1，求平面 与平面 间的距离． 【答案】 【分析】先证明平面平面 ，再建立空间直角坐标系，求出以及平面 的法向量，利用空间点到平面的距离公式即可求得答案. 【详解】正方体中，,故四边形, 所以 ，同理 ， 所以平面 平面 ， 以D为原点，分别以 所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则 ， 所以，，， 设平面 的法向量为， 则 ，所以 ， 令 ，则 ， 则为平面的一个法向量， 所以点 到平面的距离d， 则平面 与平面 的距离等于点到平面 的距离， 所以平面与平面间的距离为． 题型三：点到直线距离的向量求法 11．在空间直角坐标系中，若一条直线经过点，且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示．已知直线的方程为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线方程，求出直线经过点，且为一个方向向量，再利用向量法求解即可． 【详解】由题意可得直线的方向向量， 直线经过点，又， 则， 所以， 则点到直线的距离为. 故选：B. 12．已知空间中的三点，，，则点到直线AB的距离为 . 【答案】 【分析】根据空间中点到直线距离的求法计算即可. 【详解】因为空间中的三点，，，所以，， 所以，， 点到直线AB的距离为． 故答案为：. 13．已知平面，是直角三角形，且，，则点P到直线BC的距离是 . 【答案】 【分析】取中点为，连接，通过证明，从而证明点到的距离为，再结合已知条件求出即可. 【详解】取中点为，连接，如下所示： 因为为等腰三角形，又为中点，故； 因为平面，面，故； 又面，故面，又面，故， 故点到直线的距离，即为； 在△中，； 因为平面，面，故，则△为直角三角形； 在△中，，故, 故点到直线的距离为. 故答案为：. 14．已知空间中有三点，则A到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】应用向量法求点线距离即可. 【详解】由题设，则A到直线的距离. 故答案为： 15．空间内有三点，，，则点到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】先求出，再求出直线的一个单位方向向量,利用点到直线的距离的向量公式计算即得. 【详解】由题意，,则与同方向的单位向量为，又, 则点到直线的距离为. 故答案为：. 16．已知直线过定点，向量为其一个方向向量，则点到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】根据点到直线的距离的向量求法计算可得结果. 【详解】，故， 所以， 设直线与直线所成的角为， 则，可得， 因此点到直线的距离为． 故答案为：3 题型四：异面直线间距离的向量求法 17．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若，则直线BD1与CD之间的距离为 . 【答案】 【分析】求得与，都垂直的一个向量，利用可求直线与之间的距离. 【详解】以为轴，为轴，为轴建立空间直线坐标系，    则，，， 设与，都垂直的一个向量， 则，取，则，， 所以与BD1，CD都垂直的一个向量， 所以直线与之间的距离为. 故答案为： 18．已知正方体的棱长为1，是异面直线AC与的公垂线段，点在AC上且点在上，则 . 【答案】 【分析】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用，可求出两点的坐标，从而可求出答案. 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 因为点M在上，点N在上，所以设，， 所以,， 因为MN是异面直线AC与的公垂线段， 所以，即，解得， 所以，， 所以点M是线段上靠近点的一个三等分点， 点N是线段上靠近点的一个三等分点， 且异面直线与间的距离为.    故答案为：. 19．将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折叠使得△ACD垂直于底面ABC，则异面直线AD与BC的距离为 ． 【答案】/ 【分析】利用垂直关系，建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线的距离. 【详解】取的中点，连结，， 由条件可知，平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 如图，以点为原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系， ，，，， ，，, 设与垂直的向量为，则 ，令，则，所以， 则异面直线AD与BC的距离为. 故答案为： 20．三棱锥中，，，，，点M，N分别在线段，上运动.若二面角的大小为，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】观察三棱锥，将其补形成直三棱柱，再推得是正三角形，从而建立空间直角坐标系，利用异面直线距离的向量法公式即可得解. 【详解】依题意，将三棱锥补形成直三棱柱， 此时易知，，满足题意， 又，所以为二面角的平面角，即， 在中，，，则， 在中，，则， 又，所以是正三角形， 要求的最小值，即求异面直线，的距离， 以点为原点，建立空间直角坐标系如图， 则， 故， 设同时垂直于，则， 取，则，故， 所以的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，通过分析三棱锥的图形，将其补形成直三棱柱，从而得解. 21．已知正方体的棱长为2，M为棱的中点，P，Q分别为线段，上的动点，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算即可求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，, 则， 设， 故， 由于直线，为异面直线，要使的最小，则是，的公垂线， 故解得， 所以 故， 故答案为：    22．在棱长是的正方体中，为的中点，则异面直线和间的距离是 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，利用空间距离的向量求法，即可求得答案. 【详解】以D为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系，    则， 则， 设与异面直线和都垂直的向量为， 则，令，则， 又，故异面直线和间的距离是， 故答案为： 题型五：空间线段点的存在性问题 23．如图，在四棱锥中，平面平面.是等腰三角形，且.在梯形中，. (1)求证:平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值; (3)棱上是否存在点到平面的距离为，若存在，求出的值;若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）由即可得出平面； （2）建立空间坐标系，求出平面和平面的法向量，利用面面夹角的向量公式计算即可； （3）设，结合点面距离的向量公式建立方程，求解可得的值． 【详解】（1），平面，平面， 平面． （2） ∵底面是直角梯形，， ， 又，到的距离为， 平面平面，到平面的距离为2．以为原点，以，及平面过的垂线为坐标轴， 建立空间坐标系，如图所示： ， ，设平面的法向量为，平面的法向量为， 则，， ，，令，，则， 可得， 设平面与平面夹角为， ． ∴平面与平面夹角的余弦值为； （3）假设棱上存在点到面的距离为， 设，其中 ， 点到平面的距离，，（舍去）， 棱上存在点到面的距离为，． 24．如图，在四棱锥中，平面ABCD，PB与底面ABCD所成角为，底面ABCD为直角梯形，. (1)求PB与平面PCD所成角的正弦值； (2)求平面PCD与平面PBA所成角的余弦值； (3)N为AD中点，线段PC上是否存在动点M（不包括端点），使得点P到平面BMN距离为. 【答案】(1) (2) (3)存在. 【分析】（1）证明出，，，建立的空间直角坐标系，求得向量，平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解； （2）由平面PBA的一个法向量，和平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）设，则，则可得平面的一个法向量，通过点到平面距离的公式，得到参数表示的一个代数式，结合题意即可求解. 【详解】（1）因为平面，且平面，所以，， 又因为，所以， 因为与底面所成的角为，所以，故， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立的空间直角坐标系，如图所示， 因为，，可得，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为，可得， 取，则，可得， 设PB与平面PCD所成的角为， 则， 所以PB与平面PCD所成角的正弦值为. （2）根据题意，平面PBA的一个法向量， 由（1）知，平面的一个法向量为， 则， 所以平面PBA与平面所成的锐二面角的余弦值为. （3）因为N为AD中点，所以， 设，，则， 解得，故， ∴， 设平面的法向量为，则， 令，则，即， ∵， ∴点到平面距离为， 所以， 综上，存在点到平面距离为. 25．图①是直角梯形，四边形是边长为的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且.    (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为?若存在，求出的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点在棱的中点位置 【分析】（1）取的中点，连接，根据题中条件可得由勾股定理逆定理得：，利用线面垂直的判定定理证平面，再利用面面垂直的判定定理证平面平面； （2）建立空间直角坐标系，设，利用空间向量求解的值，即可确定点的位置. 【详解】（1）    取的中点，连接， 因为四边形是边长为的菱形，并且， 所以均为等边三角形，故且， 因为，所以，由勾股定理逆定理得：， 又因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面； （2）    以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，故， 解得：， 故， 设平面的法向量为， 则， 故，即， 令，则，故， 其中 则，解得：， 即点在棱的中点位置时，使得点到平面的距离为. 26．如图，在正三棱柱中，分别是的中点. (1)求点到平面的距离. (2)在线段上是否存在一点，使平面？若存在，确定点的位置；若不存在，也请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，点与点重合 【分析】（1）使用空间向量法求解点到平面的距离即可； （2）设在线段上存在一点，使平面，，再根据线面垂直，从而线线垂直，使用向量法求解即可. 【详解】（1）取的中点，过作的平行线为轴，则轴两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，， 所以，，. 设平面的法向量为， 则令，则，， 所以平面的法向量为. 点到平面的距离为. （2）假设在线段上存在一点，使平面. 设，则， ，，. 平面，平面， ，， ，解得， 在线段上存在一点，使平面，此时点与点重合. 27．如图，在长方体中，，，分别是棱，，的中点. (1)判断直线与平面的位置关系，并证明你的结论； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)相交但不垂直，证明见解析； (2)； (3)不存在，理由见解析. 【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面夹角即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面夹角即可； （3）假设存在点Q，利用空间向量研究点面距离计算参数即可. 【详解】（1） 如图建立空间直角坐标系，则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，即， 则， 连接与交于N点，即直线与平面相交于N点， 则直线与平面的位置关系为相交，直线与平面的夹角的正弦值； （2）由上知，设平面的一个法向量为， 则，取，即， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为； （3）设存在满足题意，不妨设， 则， 易知，设平面的一个法向量为， 则，取，即， 而， 所以点到平面的距离是，所以不存在. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$