1.2.2 空间中的平面与空间向量(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版)

**基本信息** 以空间向量为工具，系统构建线面位置关系判定的方法体系，通过一题多解与梯度设计，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|10题|坐标法求法向量、数量积判定垂直、共线向量判定平行|从方向向量/法向量概念，到线面平行/垂直判定，形成“概念-运算-应用”链条| |综合运用|4题|几何法转化线面关系、数学文化情境建模|结合折叠/阳马等复杂情境，深化向量工具在立体几何中的迁移应用|

1.2.2　空间中的平面与空间向量 1.在空间直角坐标系中，平面α的法向量为n=（1，0，－2），直线l的方向向量为a=（－2，0，4），直线m的方向向量为b=（4，3，2），则下列结论中正确的是（　　） A．l∥α且m⊥α　 B．l⊥α且m∥α C．l⊥m且l⊥α　 D．l⊥m且m⊂α 2.已知向量=（1，2，1），=（0，1，－2），则平面ABC的一个法向量可以是（　　） A．（5，－2，－1）　 B．（－6，2，2） C．（3，1，－2）　 D．（4，－3，1） 3.若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则可能使l∥α的是（　　） A．a=（1，0，0），n=（－2，0，0） B．a=（1，3，5），n=（1，0，1） C．a=（0，2，1），n=（－1，0，－1） D．a=（1，－1，3），n=（0，3，1） 4.（教材变式）已知空间中点A（1，2，－1），B（－2，1，－1），C（－1，2，0），则平面ABC的一个法向量为　（　　） A．（2，1，3）　 B．（1，－3，2） C．（1，3，2）　 D．（－1，2，2） 5.已知=（1，5，－2），=（3，1，z），若⊥，=（x－1，y，－3），且⊥平面ABC，则=（　　） A．（，－，－4）　 B．（，－，－3） C．（，－，4）　 D．（，－，－3） 6.〔一题多解〕 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，点F在棱C1D1上，且=λ，若B1F∥平面A1BE，则λ=（　　） A．　 B． C．　 D． 7.〔多选〕下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（　　） A．两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是a=（2，3，－1），b=（－2，－3，1），则l1∥l2 B．直线l的方向向量a=（1，－1，2），平面α的法向量是u=（6，4，－1），则l⊥α C．两个不同的平面α，β的法向量分别是u=（2，2，－1），v=（－3，4，2），则α⊥β D．直线l的方向向量a=（0，3，0），平面α的法向量是u=（0，－5，0），则l∥α 8.已知n=（1，0，1）为平面α的一个法向量，点P（3，2，1）位于平面α内，写出平面α内异于点P的另一个点的坐标　　　　． 9. 如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，PA=AB=2，若OG∥平面EFC，则AG=　　　　． 10.〔一题多解〕如图所示， 平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证： （1）PB∥平面EFG； （2）平面EFG∥平面PBC． 11.（数学文化） 《九章算术》是我国古代数学名著．书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，E，F分别为PD，PB的中点，G为直线CP上的动点，PA=2，AB=1，若AG⊥平面EFC，则=（　　） A．　 B． C．　 D． 12.〔多选〕如图，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下结论，其中正确的是（　　） A．•=0 B．AB⊥DC C．BD⊥AC D．平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直 13.在△ABC中，A（1，－2，－1），B（0，－3，1），C（2，－2，1）．若向量n与平面ABC垂直，且|n|=，则n的坐标为　　　　． 14.〔一题多解〕如图， 在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，垂足为A，AB⊥AD，垂足为A，AC⊥CD，垂足为C，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．求证： （1）AE⊥CD； （2）PD⊥平面ABE． 1.2.2　空间中的平面与空间向量 1.C　∵n=（1，0，－2），a=（－2，0，4），b=（4，3，2），∴a=－2n，a•b=－2×4＋0×3＋4×2=0，即a∥n，a⊥b，所以l⊥α，l⊥m．故选C． 2.A　设平面ABC的法向量为n=（x，y，z），由可得令z=－1，则x=5，y=－2.由此可得，平面ABC的一个法向量为n=（5，－2，－1）．又B、C、D三个选项的向量均不与n=（5，－2，－1）共线，故选A． 3.D　选项A，a•n=－2≠0；选项B，a•n=1＋0＋5≠0；选项C，a•n=0＋0－1≠0；选项D，a•n=0－3＋3=0，D可能满足直线l与平面α平行． 4.B　由题知=（－3，－1，0），=（－2，0，1），设平面ABC的法向量为n=（x，y，z），则⇒⇒令x=1，得n=（1，－3，2）．故选B． 5.D　因为=（1，5，－2），=（3，1，z），⊥，所以3＋5－2z=0，解得z=4，所以=（3，1，4）．因为=（x－1，y，－3），且⊥平面ABC，所以解得x－1=，y=－，所以=（，－，－3）． 6.C　法一　以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则B（1，0，0），E（0，1，），D1（0，1，1），C1（1，1，1），A1（0，0，1），可得=（－1，0，1），=（－1，1，），设n=（x，y，z）是平面A1BE的法向量，则令z=2，则x=2，y=1，即n=（2，1，2），由=（1，0，0），且=λ，可得F（λ，1，1）（0≤λ≤1），又因为B1（1，0，1），则=（λ－1，1，0），由B1F∥平面A1BE，可得n•=2（λ－1）＋1×1＋2×0=0，解得λ=． 法二　如图，取CD中点M，连接BM，EM，易证A1B∥EM，所以平面A1BE即为平面A1BME，易知当F为C1D1的中点时，B1F∥BM，B1F⊄平面A1BE，BM⊂平面A1BE，从而B1F∥平面A1BE，所以λ=．故选C． 7.AC　对于A，由a=（2，3，－1），b=（－2，－3，1），得a=－b，所以a∥b，所以l1∥l2，故A正确；对于B，假设a∥u，则存在唯一得实数λ，使得a=λu，即（1，－1，2）=（6λ，4λ，－λ），所以无解，所以a，u不共线，所以l，α不垂直，故B错误；对于C，因为u•v=－6＋8－2=0，所以u⊥v，所以α⊥β，故C正确；对于D，因为a•u=－15，所以a，u不垂直，所以l，α不平行，故D错误． 8.（2，0，2）（答案不唯一）　解析：令平面α内异于点P的另一个点的坐标A（x，y，z），则=（x－3，y－2，z－1），由n=（1，0，1）为平面α的一个法向量，则n•=x－3＋0＋z－1=0，所以x＋z=4，故A（2，0，2）满足要求．故答案为（2，0，2）（答案不唯一）． 9.　解析：如图所示，以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，由题意可得P（0，0，2），B（2，0，0），D（0，2，0），C（2，2，0），O（1，1，0），则F（1，0，1），E（0，1，1），所以=（1，2，－1），=（－1，1，0），设平面EFC的法向量为n =（x，y，z），则⇒令x=1，则得一个法向量为n=（1，1，3）．因为OG∥平面EFC，则n•=0，设G（0，0，a），则=（－1，－1，a），所以－1－1＋3a=0，解得a=，所以G（0，0，），即AG=． 10.证明：（1）∵平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD，∴AB，AP，AD两两垂直． 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（0，0，1），F（0，1，1），G（1，2，0）． 法一　=（0，1，0），=（1，2，－1）， 设平面EFG的法向量为n=（x，y，z）， 则即令z=1，则n=（1，0，1）为平面EFG的一个法向量， ∵=（2，0，－2），•n=0， ∴n⊥， ∵PB⊄平面EFG， ∴PB∥平面EFG． 法二　=（2，0，－2），=（0，－1，0），=（1，1，－1）． 设=s＋t， 即（2，0，－2）=s（0，－1，0）＋t（1，1，－1）， ∴解得s=t=2. ∴=2＋2，又与不共线， ∴，与共面． ∵PB⊄平面EFG， ∴PB∥平面EFG． （2）由（1）知=（0，1，0），=（0，2，0）， ∴=2，∴BC∥EF． 又EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC， ∴EF∥平面PBC， 同理可证GF∥PC，从而得出GF∥平面PBC． 又EF⋂GF=F，EF⊂平面EFG，GF⊂平面EFG， ∴平面EFG∥平面PBC． 11.B　因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，在A处建立空间直角坐标系如图所示，设AD=a，则A（0，0，0），P（0，0，2），C（1，a，0），E（0，，1）， F（，0，1），所以=（，－，0），=（0，0，2），=（1，a，－2），=（1，，－1），设平面EFC的法向量为n=（x，y，z），则即令x=a，得y=1，z=，所以法向量为n=（a，1，），设=λ，因为=＋=＋λ=（λ，aλ，2－2λ），因为AG⊥平面EFC，则∥n，所以==，解得λ=，则=． 12.BC　建立以D为坐标原点，分别以DB，DC，DA所在直线为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系（图略），设等腰直角三角形ABC的斜边BC=2，则B（1，0，0），C（0，1，0），D（0，0，0），A（0，0，1），所以=（1，0，－1），=（0，1，－1），=（0，1，0），=（－1，0，0），从而有•=0＋0＋1=1，故A错误；•=0，故B正确；•=0，故C正确；易知平面ADC的一个法向量为=（－1，0，0），设平面ABC的法向量为n=（x，y，z），由•n=x－z=0，•n=y－z=0，取z=1，则x=1，y=1，故n=（1，1，1），•n=－1，故D错误． 13.（－2，4，1）或（2，－4，－1）　解析：据题意，得=（－1，－1，2），=（1，0，2）．设n=（x，y，z），∵n与平面ABC垂直，∴即可得∵|n|=，∴=，解得y=4或y=－4.当y=4时，x=－2，z=1；当y=－4时，x=2，z=－1.∴n的坐标为（－2，4，1）或（2，－4，－1）． 14.证明：（1）法一　∵PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAC， ∴平面PAC⊥底面ABCD， ∴过E作EF⊥底面ABCD交AC于F， ∴AF是AE在底面ABCD上的射影． ∵AF⊂AC，AC⊥CD， ∴AE⊥CD． 法二　如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设PA=AB=BC=1，则A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，1）． 因为∠ABC=60°，AB=BC，所以△ABC为正三角形． 所以C（，，0），E（，，），=（，，0）， 设D（0，y1，0），则=（－，y1－，0）， 由AC⊥CD得•=0， 即－＋（y1－）=0，解得y1=， 则D（0，，0），所以=（－，，0）． 又=（，，）， 所以•=－×＋×=0， 所以⊥，即AE⊥CD． （2）法一　由（1）知=（1，0，0），=（，，）， 设平面ABE的法向量为n=（x，y，z）， 则即 令y=2，则n=（0，2，－）． 又=（0，，－1）， 显然=n，所以∥n， 所以⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE． 法二　由（1）知=（，，），=（0，，－1）． 所以•=×＋×（－1）=0， 所以⊥，即PD⊥AE． 又=（1，0，0），所以•=0，所以PD⊥AB． 又AB⋂AE=A，AB，AE⊂平面ABE，所以PD⊥平面ABE． 学科网（北京）股份有限公司 $