1.2.2 第1课时 空间中直线与平面平行、垂直的证明-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

1．2．2　空间中的平面与空间向量

第1课时　空间中直线与平面平行、垂直的证明

知识点一　平面的法向量

1．若n＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是(　　)

A．(0，－3，1) B．(2，0，1)

C．(－2，－3，1) D．(－2，3，－1)

答案　D

解析　与向量n平行的非零向量都是平面α的法向量．故选D．

2．已知点A(1，1，0)，B(－1，0，2)，C(0，2，0)都在平面α内，则平面α的一个法向量的坐标可以是(　　)

A． B．

C．(2，2，3) D．(2，－2，－1)

答案　C

解析　由A(1，1，0)，B(－1，0，2)，C(0，2，0)，得＝(－2，－1，2)，＝(－1，1，0)，设n＝(x，y，z)是平面α的一个法向量，则即取x＝2，则y＝2，z＝3，故n＝(2，2，3)，则与n＝(2，2，3)共线的向量也是平面α的法向量，经验证，只有C正确．故选C．

3．已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且⊥平面ABC，则＝(　　)

A． B．

C． D．

答案　B

解析　由·＝0，得3＋5－2z＝0，∴z＝4．又⊥平面ABC，∴即解得故＝．故选B．

4．如图，在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M在棱C1C上，且CM＝2MC1．以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．求平面MD1B的一个法向量．

解　因为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，CM＝2MC1，所以M(0，3，2)，B(3，3，0)，D1(0，0，3)，则＝(3，0，－2)，＝(0，－3，1)，设n＝(x，y，z)是平面MD1B的法向量，则n⊥，n⊥，所以取z＝3，则x＝2，y＝1，故n＝(2，1，3)，于是n＝(2，1，3)是平面MD1B的一个法向量(答案不唯一)．

知识点二　利用空间向量判断线面位置关系

5．(2023·杭州学军中学高二质量检测)在空间直角坐标系Oxyz中，点A(1，3，0)，B(0，3，－1)，则(　　)

A．直线AB∥坐标平面xOy

B．直线AB⊥坐标平面xOy

C．直线AB∥坐标平面zOx

D．直线AB⊥坐标平面zOx

答案　C

解析　＝(－1，0，－1)，坐标平面xOy的一个法向量是(0，0，1)，坐标平面zOx的一个法向量是(0，1，0)，坐标平面yOz的一个法向量是(1，0，0)，这三个法向量与都不平行，

又·(0，1，0)＝0，点A，B均不在坐标平面zOx上，因此AB与坐标平面zOx平行．故选C．

6．(2023·新疆高二联考)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则(　　)

A．BD1⊥平面B1EF

B．BD⊥平面B1EF

C．A1C1∥平面B1EF

D．A1D∥平面B1EF

 

答案　C

解析　以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝2，则B1(2，2，2)，E(2，1，0)，F(1，2，0)，B(2，2，0)，A1(2，0，2)，C1(0，2，2)，D1(0，0，2)．＝(－1，1，0)，＝(0，1，2)，＝(－2，－2，2)，＝(2，2，0)，＝(－2，2，0)，＝(2，0，2)．设平面B1EF的一个法向量为m＝(x，y，z)，则取m＝(2，2，－1)．因为与m不平行，所以BD1与平面B1EF不垂直，A错误；因为与m不平行，所以BD与平面B1EF不垂直，B错误；因为·m＝0，且A1C1⊄平面B1EF，所以A1C1∥平面B1EF，C正确；因为·m＝2≠0，所以A1D与平面B1EF不平行，D错误．故选C．