1.2.2 第1课时 空间中直线与平面平行、垂直的证明-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

数学　选择性必修·第一册　作业与测评 1．2．2　空间中的平面与空间向量 第1课时　空间中直线与平面平行、垂直的证明 知识点一　平面的法向量 1．若n＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是(　　) A．(0，－3，1) B．(2，0，1) C．(－2，－3，1) D．(－2，3，－1) 答案　D 解析　与向量n平行的非零向量都是平面α的法向量．故选D． 2．已知点A(1，1，0)，B(－1，0，2)，C(0，2，0)都在平面α内，则平面α的一个法向量的坐标可以是(　　) A． B． C．(2，2，3) D．(2，－2，－1) 答案　C 解析　由A(1，1，0)，B(－1，0，2)，C(0，2，0)，得＝(－2，－1，2)，＝(－1，1，0)，设n＝(x，y，z)是平面α的一个法向量，则即取x＝2，则y＝2，z＝3，故n＝(2，2，3)，则与n＝(2，2，3)共线的向量也是平面α的法向量，经验证，只有C正确．故选C． 3．已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且⊥平面ABC，则＝(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　由·＝0，得3＋5－2z＝0，∴z＝4．又⊥平面ABC，∴即解得故＝．故选B． 4．如图，在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M在棱C1C上，且CM＝2MC1．以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．求平面MD1B的一个法向量． 解　因为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，CM＝2MC1，所以M(0，3，2)，B(3，3，0)，D1(0，0，3)，则＝(3，0，－2)，＝(0，－3，1)，设n＝(x，y，z)是平面MD1B的法向量，则n⊥，n⊥，所以取z＝3，则x＝2，y＝1，故n＝(2，1，3)，于是n＝(2，1，3)是平面MD1B的一个法向量(答案不唯一)． 知识点二　利用空间向量判断线面位置关系 5．(2023·杭州学军中学高二质量检测)在空间直角坐标系Oxyz中，点A(1，3，0)，B(0，3，－1)，则(　　) A．直线AB∥坐标平面xOy B．直线AB⊥坐标平面xOy C．直线AB∥坐标平面zOx D．直线AB⊥坐标平面zOx 答案　C 解析　＝(－1，0，－1)，坐标平面xOy的一个法向量是(0，0，1)，坐标平面zOx的一个法向量是(0，1，0)，坐标平面yOz的一个法向量是(1，0，0)，这三个法向量与都不平行，又·(0，1，0)＝0，点A，B均不在坐标平面zOx上，因此AB与坐标平面zOx平行．故选C． 6．(2023·新疆高二联考)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则(　　) A．BD1⊥平面B1EF B．BD⊥平面B1EF C．A1C1∥平面B1EF D．A1D∥平面B1EF 答案　C 解析　以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝2，则B1(2，2，2)，E(2，1，0)，F(1，2，0)，B(2，2，0)，A1(2，0，2)，C1(0，2，2)，D1(0，0，2)．＝(－1，1，0)，＝(0，1，2)，＝(－2，－2，2)，＝(2，2，0)，＝(－2，2，0)，＝(2，0，2)．设平面B1EF的一个法向量为m＝(x，y，z)，则取m＝(2，2，－1)．因为与m不平行，所以BD1与平面B1EF不垂直，A错误；因为与m不平行，所以BD与平面B1EF不垂直，B错误；因为·m＝0，且A1C1⊄平面B1EF，所以A1C1∥平面B1EF，C正确；因为·m＝2≠0，所以A1D与平面B1EF不平行，D错误．故选C． 7．已知直线l⊥平面α，且直线l的一个方向向量为(2，m，1)，平面α的一个法向量为，则m＝________． 答案　1 解析　因为l⊥平面α，所以直线l的方向向量与平面α的法向量共线，即存在实数k，使(2，m，1)＝k，解得m＝1． 8．设u是平面α的一个法向量，a是直线l的一个方向向量，根据下列条件判断l与α的位置关系． (1)u＝(2，2，－1)，a＝(－3，4，2)； (2)u＝(0，2，－3)，a＝(0，－8，12)； (3)u＝(4，1，5)，a＝(2，－1，0)． 解　(1)∵u＝(2，2，－1)，a＝(－3，4，2)， ∴u·a＝－6＋8－2＝0．∴u⊥a． ∴直线l与平面α的位置关系是l⊂α或l∥α． (2)∵u＝(0，2，－3)，a＝(0，－8，12)， ∴u＝－a．∴u∥a，∴l⊥α． (3)∵u＝(4，1，5)，a＝(2，－1，0)， ∴u与a不共线也不垂直． ∴l与α相交但不垂直． 9．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点．求证：FC1∥平面ADE． 证明　如图所示，以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，则有D(0，0，0)，A(2，0，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，所以＝(0，2，1)，＝(2，0，0)，＝(0，2，1)． 设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的一个法向量， 则n1⊥，n1⊥， 即解得 令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1，2)． 因为·n1＝－2＋2＝0，所以⊥n1． 又因为FC1⊄平面ADE， 所以FC1∥平面ADE． 10．如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD． 证明　如图所示，取BC的中点O，连接AO． 因为△ABC为正三角形， 所以AO⊥BC． 因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中， 平面ABC⊥平面BCC1B1， 所以AO⊥平面BCC1B1． 取B1C1的中点O1，连接OO1，以O为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A1(0，2，)，A(0，0，)，B1(1，2，0)． 所以＝(1，2，－)，＝(－1，2，)，＝(－2，1，0)． 证法一：因为·＝1×(－1)＋2×2＋(－)×＝0，·＝1×(－2)＋2×1＋(－)×0＝0， 所以⊥，⊥，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD． 又因为BA1∩BD＝B，BA1，BD⊂平面A1BD， 所以AB1⊥平面A1BD． 证法二：设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则有n⊥，n⊥， 故⇒ 令x＝1，则y＝2，z＝－， 故n＝(1，2，－)为平面A1BD的一个法向量， 而＝(1，2，－)， 所以∥n， 故AB1⊥平面A1BD． 11．如图所示，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．求证： (1)DE∥平面ABC； (2)B1F⊥平面AEF． 证明　如图，建立空间直角坐标系Axyz，令AB＝AA1＝4，则A(0，0，0)，E(0，4，2)，F(2，2，0)，B(4，0，0)，B1(4，0，4)． (1)取AB的中点N，连接CN， 则N(2，0，0)，C(0，4，0)，D(2，0，2)， ∴＝(－2，4，0)，＝(－2，4，0)， ∴＝，∴DE∥NC． 又NC⊂平面ABC，DE⊄平面ABC， ∴DE∥平面ABC． (2)＝(－2，2，－4)，＝(2，－2，－2)，＝(2，2，0)， ·＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0， ·＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0， ∴⊥，⊥，即B1F⊥EF，B1F⊥AF． 又AF∩EF＝F，AF⊂平面AEF，EF⊂平面AEF， ∴B1F⊥平面AEF． 一、选择题 1．(2023·河北沧州高二统考期末)设d为直线l的一个方向向量，n为平面α的一个法向量，则“d·n＝0”是“l⊂α”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　d为直线l的一个方向向量，n为平面α的一个法向量，则由d·n＝0，可得l⊂α或l∥α，则“d·n＝0”不是“l⊂α”的充分条件；由l⊂α，可得d·n＝0，则“d·n＝0”是“l⊂α”的必要条件．故“d·n＝0”是“l⊂α”的必要不充分条件．故选B． 2．若直线l的一个方向向量为a＝，平面β的一个法向量为b＝(－1，0，－2)，则(　　) A．l∥β B．l⊥β C．l⊂β D．l与β相交但不垂直 答案　B 解析　∵b＝(－1，0，－2)＝－2＝－2a，∴a与b共线，又b是β的一个法向量，∴l⊥β．故选B． 3．直线l的一个方向向量为s＝(－1，1，1)，平面α的一个法向量为n＝(2，x2＋x，－x)，若直线l∥平面α，则x的值为(　　) A．－2 B．－ C． D．± 答案　D 解析　由已知直线l∥平面α，得s·n＝0，故－1×2＋1×(x2＋x)＋1×(－x)＝0，解得x＝±． 4．若a＝是平面α的一个法向量，且b＝(－1，2，1)，c＝与平面α都平行，则向量a＝(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　由题意，知即解得所以a＝． 5．[多选](2023·浙江杭州高二质量检测)在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(－1，2，3)，B(0，－2，4)，C(2，1，2)，若存在一点P，使得CP⊥平面OAB，则点P的坐标可能为(　　) A．(－12，－3，0) B．(7，2，－4) C．(6，3，5) D．(－5，－1，1) 答案　AD 解析　设P(x，y，z)，则＝(x－2，y－1，z－2)，＝(－1，2，3)，＝(0，－2，4)，若CP⊥平面OAB，则CP⊥OA，CP⊥OB，所以即将(－12，－3，0)代入满足方程组，所以A正确；将(7，2，－4)代入不满足方程组，所以B不正确；将(6，3，5)代入不满足方程组，所以C不正确；将(－5，－1，1)代入满足方程组，所以D正确． 二、填空题 6．已知平面α经过点A(0，0，2)，且平面α的一个法向量为n＝(1，－1，－1)，则x轴与平面α的交点坐标是______． 答案　(－2，0，0) 解析　设交点为M(x，0，0)，则＝(x，0，－2)，平面α的一个法向量为n＝(1，－1，－1)，则n·＝0，解得x＝－2，故x轴与平面α的交点坐标是(－2，0，0)． 7．已知平面α的一个法向量n＝(4，1，2)，点A(－1，2，1)，B(2，s，t)，且AB⊥α，则s＋t＝________． 答案　 解析　因为A(－1，2，1)，B(2，s，t)，所以＝(3，s－2，t－1)，因为AB⊥α，所以∥n，所以＝＝，所以s＝，t＝，s＋t＝． 8．(2023·广东佛山高二阶段考试)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M在线段CC1上，且＝2．点P在平面A1B1C1D1上，且AP⊥平面MBD1，则线段AP的长为________． 答案　 解析　建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，C1(0，1，1)，＝2，则M是靠近C的线段CC1的三等分点，M，＝(－1，－1，1)，＝，点P在平面A1B1C1D1上，设P(x，y，1)，则＝(x－1，y，1)，由AP⊥平面MBD1，得解得所以＝，||＝＝． 三、解答题 9．如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，BC＝1，AD＝AA1＝3，AB＝．试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACD1的一个法向量． 解　易知AB，AD，AA1两两垂直． 如图，以A为原点，，，1的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系． 则A(0，0，0)，C(，1，0)，D1(0，3，3)，＝(0，3，3)，＝(，1，0)， 设n＝(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量． 则即 令x＝1，则n＝(1，－，)． 所以平面ACD1的一个法向量为n＝(1，－，)． 10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD． 证明　证法一：如图所示，以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则M，N，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)， 于是＝，＝(1，0，1)，＝(1，1，0)． 设平面A1BD的一个法向量是n＝(x，y，z)， 则n·＝0，且n·＝0，得 取x＝1，得y＝－1，z＝－1， 所以n＝(1，－1，－1)． 又·n＝·(1，－1，－1)＝0， 所以⊥n． 又MN⊄平面A1BD，所以MN∥平面A1BD． 证法二：因为＝－＝－＝(－)＝， 所以∥． 而MN⊄平面A1BD，DA1⊂平面A1BD， 所以MN∥平面A1BD． 11．如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC＝2，E是PC的中点．求证： (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE． 证明　(1)以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(1，，0)，D，P(0，0，2)，E， 所以＝，＝， 所以·＝－1×＋×＋0×1＝0， 所以CD⊥AE． (2)由(1)，得＝，＝(2，0，0)，＝． 设向量n＝(x，y，z)是平面ABE的一个法向量， 由得 取y＝2，则n＝(0，2，－)，所以＝n，所以∥n， 所以PD⊥平面ABE． 11 学科网（北京）股份有限公司 $$