1.2.1 空间中的点、直线与空间向量(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版)

**基本信息** 以空间向量为工具，系统构建立体几何中直线关系判定与空间量计算的解题体系，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|10题（含一题多解）|共线向量判定平行、数量积判定垂直、坐标法求空间点|从方向向量概念出发，推导线线平行/垂直的向量条件，延伸至空间点坐标计算| |综合提升|6题（含曲池几何体）|空间直角坐标系构建、异面直线所成角向量公式、探究性问题参数求解|结合复杂几何体（正方体、圆柱、曲池），综合应用向量法解决角度计算与位置关系证明，体现数学语言表达的精确性|

1.2　空间向量在立体几何中的应用 1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 1.已知直线l1的方向向量为m=（1，2，1），若直线l1∥l2，则直线l2的一个方向向量的坐标是（　　） A．（2，4，2）　 B．（2，3，－2） C．（1，1，1）　 D．（－1，1，－1） 2.空间中，已知两条直线m，n，其方向向量分别为a，b，则“〈a，b〉=”是“m与n所成角为”的（　　） A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件 C．充要条件　 D．既不充分又不必要条件 3.两条直线l1，l2的方向向量分别为m=（2，1，－2），n=（1，1，1），则这两条直线（　　） A．平行　 B．垂直 C．异面　 D．相交或异面 4.从点A（2，－1，7）沿向量a=（8，9，－12）的方向取线段长||=34，则点B的坐标为（　　） A．（18，17，－17）　 B．（－14，－19，17） C．（6，，1）　 D．（－2，－，13） 5.在棱长为1的正方 体ABCD－A1B1C1D1中，O为平面A1ABB1的中心，E为BC的中点．以D为原点，以{，，}为空间的一个单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则直线OE的一个方向向量u=（　　） A．（－1，1，1）　 B．（－1，1，－1） C．（－1，2，1）　 D．（－1，2，－1） 6. 如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知=λ，=3，若AM⊥DE，则λ=（　　） A．　 B． C．　 D． 7. 如图，已知圆柱O1O2的轴截面ABCD是边长为2的正方形，E为下底面圆周上一点，满足=2，则异面直线AE与BO1所成角的正弦值为（　　） A．　 B．－ C．　 D．－ 8. 〔多选〕如图，在四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，M是EG和FH的交点，O为空间中任意一点，则（　　） A．E，F，G，H四点共面 B．•=0 C．为直线BD的方向向量 D．=（＋＋＋） 9.已知向量a=（1，－2，4），b=（2，4x，y＋1）分别是直线l1，l2的一个方向向量，若l1∥l2，则x＋y=　　　　． 10.〔一题多解〕在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=2，P、Q、R、S分别是AA1、D1C1、AB、CC1的中点．证明：PQ∥RS． 11. “曲池”是《九章算术》记载的一种几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，AA1⊥面ABCD，AA1=4，底面扇环所对的圆心角为，的长度是长度的2倍，CD=1，则异面直线A1D1与BC1所成角的余弦值为（　　） A．　 B． C．　 D． 12.在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1表示棱长为1的正方体，给出下列结论：①直线DD1的一个方向向量为（0，0，1）；②直线BC1的一个方向向量为（0，1，1）；③垂直于平面ABB1A1的直线的一个方向向量为（0，1，0）；④垂直于平面B1CD的直线的一个方向向量为（1，1，1）．其中正确的是　　　　．（填序号） 13.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是棱D1D上一点，N是A1B1的中点，则当=　　　　时，ON⊥AM． 14. 如图所示，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面为正方形，O1，O分别为上、下底面的中心，且A1O⊥平面ABCD． （1）求证：CO1⊥平面ABCD； （2）若点E，F分别在棱AA1，BC上，且AE=2EA1，问点F在何处时，EF⊥AD？ 1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 1.A　设直线l2的方向向量为n=（x，y，z），因为直线l1∥l2，所以n=λm，即n=λ（1，2，1），结合选项可知直线l2的一个方向向量的坐标是（2，4，2）． 2.A　由〈a，b〉=，可以推出直线m与n所成角为，但直线m与n所成角为时，〈a，b〉=或，所以〈a，b〉=是直线m与n所成角为的充分不必要条件． 3.D　因为m=（2，1，－2），n=（1，1，1），所以m•n=2×1＋1×1－2×1=1≠0，故直线l1，l2不垂直．又≠≠，故直线l1，l2不平行，所以两条直线相交或异面．故选D． 4.A　设点B的坐标为 （x，y，z），则 =λa（λ＞0），即 （x－2，y＋1，z－7）=λ（8，9，－12）．因为 ||=34，即=34，得λ=2，所以x=18，y=17，z=－17，所以点B的坐标为（18，17，－17）． 5.B　由题意得O（1，，），E（，1，0），则=（－，，－），所以u=（－1，1，－1）为直线OE的一个方向向量． 6.D　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则A（1，0，0），M（0，，），因为=λ，则E（1，1，λ），则=（－1，，），=（1，1，λ），因为AM⊥DE，所以•=0，即（－1）×1＋×1＋λ=0，解得λ=． 7.A　因为=2，所以∠AO2E=60°，所以∠O2AE=60°，如图所示，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2，0），O1（0，1，2），E（，，0） ，所以=（，，0）， =（0，－1，2），所以异面直线AE与BO1所成角的余弦值为|cos〈，〉|===， 则异面直线AE与BO1所成角的正弦值为=． 8.AC　在四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则EH∥BD∥FG，EF∥AC∥GH，于是得四边形EFGH是平行四边形，故E，F，G，H四点共面，即A正确；因平行四边形两条对角线不一定垂直，即EG，FH不一定垂直，则•=0不一定成立，B不正确；因EH∥BD，≠0，则为直线BD的方向向量，C正确；平行四边形EFGH中，M是EG和FH的交点，则M是EG中点，对空间任意一点O，则=（＋）=（＋）=（＋＋＋），D不正确． 9.6　解析：因为l1∥l2，所以a∥b，故存在实数λ使得b=λa，则解得x=－1，y=7，所以x＋y=6. 10.证明：法一　以D为原点， DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz． 则P（3，0，1），Q（0，2，2），R（3，2，0），S（0，4，1），=（－3，2，1），=（－3，2，1）， 所以=，所以∥． 显然PQ与RS不重合，所以PQ∥RS． 法二　=＋=－＋， =＋=＋－，所以=，所以∥． 显然PQ与RS不重合，所以RS∥PQ． 11.A　设上底面圆心为O1，下底面圆心为O，连接OO1，OC，OB，由底面扇环所对的圆心角为，的长度是长度的2倍，CD=1，可知OC=1，以O为原点，分别以OC，OB，OO1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C1（1，0，4），B（0，1，0），D1（2，0，4），A1（0，2，4），则=（2，－2，0），=（1，－1，4），所以cos〈，〉===，故异面直线A1D1与BC1所成角的余弦值为． 12.①②③　解析：==（0，0，1），故①正确；=AD1=（0，1，1），故②正确；直线AD⊥平面ABB1A1，=（0，1，0），故③正确；向量的坐标为（1，1，1），与平面B1CD不垂直，故④错． 13.　解析：以A为原点，分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A（0，0，0），O（，，0），N（，0，1）．设M（0，1，a）（0≤a≤1），则•=（0，1，a）•（0，－，1）=－＋a=0，∴a=．∴当=时，ON与AM垂直． 14.解：（1）证明：∵O为下底面中心，底面ABCD为正方形，且A1O⊥平面ABCD，∴以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 设底面正方形的边长为a，OA1=h， 则A（a，0，0），A1（0，0，h），C（－a，0，0），B（0，a，0），O1（－a，0，h）， ∴=（0，0，h），=（a，0，0），=（0，a，0）． ∵•=0，•=0， ∴CO1⊥OA，CO1⊥OB． 又OA⋂OB=O，OA，OB⊂平面ABCD， ∴CO1⊥平面ABCD． （2）由（1）及AE=2EA1，得E（a，0，h），D（0，－a，0）． 设=λ（0≤λ≤1）， 则F（－λa，a－λa，0）， ∴=（－λa－a，a－λa，－h），=（－a，－a，0）． 由EF⊥AD，得•=0， 即λa2＋a2－a2＋λa2＋0=0， ∴λ－=0，∴λ=，∴BF=BC， 即点F在BC靠近点B的三等分点处时，EF⊥AD． 学科网（北京）股份有限公司 $