1.2.1 空间中的点、直线与空间向量-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

1．2　空间向量在立体几何中的应用

1．2．1　空间中的点、直线与空间向量

知识点一　空间中的点、直线与空间向量

1．若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　)

A．(1，2，3) B．(1，3，2)

C．(2，1，3) D．(3，2，1)

答案　A

解析　∵＝(2，4，6)＝2(1，2，3)，∴直线l的一个方向向量为(1，2，3)．故选A．

2．l1的一个方向向量为v1＝(1，2，3)，l2的一个方向向量为v2＝(λ，4，6)，若l1∥l2，则λ＝(　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

答案　B

解析　若l1∥l2，则v1∥v2，所以＝＝，所以λ＝2．故选B．

3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中点，以C1为起点，作出直线AP的一个方向向量．

解　如图，取BB1的中点Q，C1C的中点M，连接C1Q，BM，PM，

则PM＝DC＝AB，PM∥DC∥AB，

所以四边形APMB为平行四边形，

所以AP∥BM．

又在四边形BQC1M中，

BQ∥C1M，BQ＝C1M，

所以四边形BQC1M为平行四边形，

所以BM∥C1Q，所以AP∥C1Q，

故为直线AP的一个方向向量．

4．四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝6，E是PB的中点，DF∶FB＝CG∶GP＝1∶2．求证：AE∥FG．

 

证明　如图所示，建立空间直角坐标系．

则A(6，0，0)，E(3，3，3)，F(2，2，0)，G(0，4，2)，＝(－3，3，3)，＝(－2，2，2)，

所以＝，所以∥，

所以AE∥FG．

知识点二　空间中两条直线所成的角

5．直线l1，l2的方向向量分别是v1，v2，若v1与v2所成的角为θ，直线l1与l2所成的角为α，则(　　)

A．α＝θ B．α＝π－θ

C．cosθ＝|cosα| D．cosα＝|cosθ|

答案　D

解析　由题意知，θ与α相等或互补，且α∈，所以cosα＝|cosθ|．故选D．

6．(2023·新疆伊犁高二校考期末)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，上底面中心为O，则

异面直线AO与DC1所成角的余弦值为________．

答案　

解析　以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，O(1，1，2)，C1(0，2，2)，＝(－1，1，2)，＝(0，2，2)，设异面直线AO与DC1所成的角为θ，则cosθ＝＝＝．

7．设a，b分别是不重合的直线l1和l2的方向向量，根据下列条件判断l1与l2的位置关系．

(1)a＝(2，3，－1)，b＝(－6，－9，3)；

(2)a＝(5，0，2)，b＝(0，4，0)；

(3)a＝(－2，1，4)，b＝(6，3，3)．

解　(1)∵a＝(2，3，－1)，b＝(－6，－9，3)，

∴a＝－b，∴a∥b，∴l1∥l2．

(2)∵a＝(5，0，2)，b＝(0，4，0)，

∴a·b＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2．

(3)∵a＝(－2，1，4)，b＝(6，3，3)，

∴a与b不共线，也不垂直，

∴l1与l2的位置关系是相交或异面．