1.2.1 空间中的点、直线与空间向量-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

数学　选择性必修·第一册　作业与测评 1．2　空间向量在立体几何中的应用 1．2．1　空间中的点、直线与空间向量 知识点一　空间中的点、直线与空间向量 1．若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A．(1，2，3) B．(1，3，2) C．(2，1，3) D．(3，2，1) 答案　A 解析　∵＝(2，4，6)＝2(1，2，3)，∴直线l的一个方向向量为(1，2，3)．故选A． 2．l1的一个方向向量为v1＝(1，2，3)，l2的一个方向向量为v2＝(λ，4，6)，若l1∥l2，则λ＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　若l1∥l2，则v1∥v2，所以＝＝，所以λ＝2．故选B． 3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中点，以C1为起点，作出直线AP的一个方向向量． 解　如图，取BB1的中点Q，C1C的中点M，连接C1Q，BM，PM， 则PM＝DC＝AB，PM∥DC∥AB， 所以四边形APMB为平行四边形， 所以AP∥BM． 又在四边形BQC1M中， BQ∥C1M，BQ＝C1M， 所以四边形BQC1M为平行四边形， 所以BM∥C1Q，所以AP∥C1Q， 故为直线AP的一个方向向量． 4．四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝6，E是PB的中点，DF∶FB＝CG∶GP＝1∶2．求证：AE∥FG． 证明　如图所示，建立空间直角坐标系． 则A(6，0，0)，E(3，3，3)，F(2，2，0)，G(0，4，2)，＝(－3，3，3)，＝(－2，2，2)， 所以＝，所以∥， 所以AE∥FG． 知识点二　空间中两条直线所成的角 5．直线l1，l2的方向向量分别是v1，v2，若v1与v2所成的角为θ，直线l1与l2所成的角为α，则(　　) A．α＝θ B．α＝π－θ C．cosθ＝|cosα| D．cosα＝|cosθ| 答案　D 解析　由题意知，θ与α相等或互补，且α∈，所以cosα＝|cosθ|．故选D． 6．(2023·新疆伊犁高二校考期末)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，上底面中心为O，则异面直线AO与DC1所成角的余弦值为________． 答案　 解析　以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，O(1，1，2)，C1(0，2，2)，＝(－1，1，2)，＝(0，2，2)，设异面直线AO与DC1所成的角为θ，则cosθ＝＝＝． 7．设a，b分别是不重合的直线l1和l2的方向向量，根据下列条件判断l1与l2的位置关系． (1)a＝(2，3，－1)，b＝(－6，－9，3)； (2)a＝(5，0，2)，b＝(0，4，0)； (3)a＝(－2，1，4)，b＝(6，3，3)． 解　(1)∵a＝(2，3，－1)，b＝(－6，－9，3)， ∴a＝－b，∴a∥b，∴l1∥l2． (2)∵a＝(5，0，2)，b＝(0，4，0)， ∴a·b＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2． (3)∵a＝(－2，1，4)，b＝(6，3，3)， ∴a与b不共线，也不垂直， ∴l1与l2的位置关系是相交或异面． 知识点三　异面直线与空间向量 8．[多选]如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　　) A．EF⊥AC B．EF⊥A1D C．EF与BD1相交 D．EF与BD1异面 答案　AB 解析　如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为3，则E(1，0，1)，F(2，1，0)，A1(3，0，3)，A(3，0，0)，C(0，3，0)，D(0，0，0)，B(3，3，0)，D1(0，0，3)．∴＝(1，1，－1)，＝(－3，3，0)，＝(－3，0，－3)．∴·＝0，·＝0．∴EF⊥AC，EF⊥A1D，∴A，B正确；又＝(－3，－3，3)＝－3，∴EF∥BD1，∴C，D错误．故选AB． 一、选择题 1．已知a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量．若l1∥l2，则(　　) A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝ C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝ 答案　D 解析　因为l1∥l2，所以a∥b，所以＝＝⇒x＝6，y＝．故选D． 2．(2023·河南郑州高二校考)已知向量a＝(4，4，5)，b＝(－7，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1⊥l2，则下列几组解中可能正确的是(　　) A．x＝2，y＝4 B．x＝4，y＝3 C．x＝1，y＝3 D．x＝6，y＝2 答案　A 解析　由题意a·b＝－28＋4x＋5y＝0，即4x＋5y＝28，代入各选项中的值计算，只有A满足4×2＋5×4＝28．故选A． 3．已知A(0，1，1)，B(2，－1，0)，C(3，5，7)，D(1，2，4)，则直线AB与CD所成角的余弦值为(　　) A． B．－ C． D．－ 答案　A 解析　＝(2，－2，－1)，＝(－2，－3，－3)，所以cos〈，〉＝＝＝，故直线AB与CD所成角的余弦值为．故选A． 4．已知空间直角坐标系Oxyz中有一点A(－1，－1，2)，B是平面xOy内的直线x＋y＝1上的动点，则A，B两点间的最短距离是(　　) A． B． C．3 D． 答案　B 解析　∵点B在平面xOy内，故设点B(a，b，0)，且满足a＋b＝1，∴＝(a＋1，b＋1，－2)．又直线x＋y＝1与x轴的交点为(1，0，0)，与y轴的交点为(0，1，0)，故其一个方向向量为m＝(1，－1，0)．当⊥m时，A，B两点间的距离最短，此时，·m＝0，∴(a＋1)－(b＋1)＝0，∴a＝b＝，＝，∴||min＝＝．故选B． 5．[多选]如图所示，在四个正方体中，l是正方体的一条体对角线，点M，N分别为其所在棱的中点，能得出l⊥MN的图形为(　　) 答案　AD 解析　建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则直线l所在体对角线的两个顶点坐标为(0，0，2)，(2，2，0)，∴直线l的一个方向向量为n＝(2，2，－2)．对于A，M(1，0，2)，N(0，0，1)，∴＝(－1，0，－1)，∴n·＝－2＋0＋2＝0，即l⊥MN，正确；对于B，M(1，0，0)，N(2，2，1)，∴＝(1，2，1)，∴n·＝2＋4－2≠0，∴l与MN不垂直，错误；对于C，M(2，0，1)，N(1，2，0)，∴＝(－1，2，－1)，∴n·＝－2＋4＋2≠0，∴l与MN不垂直，错误；对于D，M(2，0，1)，N(0，2，1)，∴＝(－2，2，0)，∴n·＝－4＋4＋0＝0，∴l⊥MN，正确．故选AD． 二、填空题 6．在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1，－2，3)，B(2，1，－1)，若直线AB交平面zOx于点C，则点C的坐标为________． 答案　 解析　设点C的坐标为(x，0，z)，则＝(x－1，2，z－3)，＝(1，3，－4)，因为与共线，所以＝＝，解得所以点C的坐标为． 7．如图，已知四边形ABCD和ABEF都是边长为1的正方形，AF⊥平面ABCD，则异面直线AC与BF所成的角为________． 答案　60° 解析　设＝a，＝b，＝c，根据题意，|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝b·c＝c·a＝0，则＝－＝c－a，＝＋＝a＋b，∴·＝(c－a)·(a＋b)＝－1．又||＝||＝，∴cos〈，〉＝＝－．又异面直线所成角的取值范围是0°＜θ≤90°，∴异面直线AC与BF所成的角为60°． 8．若直线a，b是两条异面直线，其方向向量分别是(1，1，1)和(2，－3，－2)，则直线a和b的公垂线的一个方向向量是________． 答案　(1，4，－5)(答案不唯一) 解析　∵直线a，b是两条异面直线，其方向向量分别是m＝(1，1，1)和n＝(2，－3，－2)，设直线a和b的公垂线的一个方向向量是a＝(x，y，z)，则即即令x＝1，则a＝(1，4，－5)，故答案为(1，4，－5)(答案不唯一，(λ，4λ，－5λ)，λ≠0均满足条件)． 三、解答题 9．设a，b分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，根据下列条件判断l1，l2的位置关系． (1)a＝(，－1，)，b＝(，－，3)； (2)a＝(－1，0，2)，b＝(0，1，0)； (3)a＝(－2，－1，－1)，b＝(4，－2，－8)． 解　(1)∵a＝(，－1，)，b＝(，－，3)， ∴a＝b，∴a∥b，∴l1∥l2． (2)∵a＝(－1，0，2)，b＝(0，1，0)， ∴a·b＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2． (3)∵a＝(－2，－1，－1)，b＝(4，－2，－8)， ∴不存在λ∈R，使a＝λb，∴l1与l2不平行． 又a·b＝2≠0， ∴l1与l2不垂直， ∴l1与l2相交或异面． 10．(2023·河南信阳高二联考)如图，设E是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CD的中点，CD＝2．(1)求证：A1B⊥AC1； (2)求A1B与B1E所成角的余弦值． 解　(1)证明：如图，以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系， 则A(2，0，0)，B(2，2，0)，A1(2，0，2)，B1(2，2，2)，C1(0，2，2)，E(0，1，0)， ∴＝(0，2，－2)，＝(－2，2，2)， ∴·＝0＋2×2－2×2＝0，故⊥，∴A1B⊥AC1． (2)∵＝(0，2，－2)，＝(－2，－1，－2)， ∴|cos〈，〉|＝ ＝， 即A1B与B1E所成角的余弦值为． 11．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，棱长都为2，试找出异面直线BA1与CB1的公垂线，并求两条异面直线之间的距离． 解　如图，以AC的中点O为原点，，的方向分别为x，y轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，则A(1，0，0)，B(0，，0)，C(－1，0，0)，A1(1，0，2)，B1(0，，2)，C1(－1，0，2)． 假设MN为BA1与CB1的公垂线， 即∃M∈BA1，N∈CB1， 使MN⊥BA1，MN⊥CB1， 令＝λ，＝v， ＝(1，－，2)，＝(1，，2)． 设M(x1，y1，z1)， ∴＝(x1，y1－，z1)， ∴(x1，y1－，z1)＝λ(1，－，2)， ∴x1＝λ，y1＝－λ＋，z1＝2λ， 即点M(λ，－λ＋，2λ)， 同理可求得点N(v－1，v，2v)， ∴＝(v－λ－1，v＋λ－，2v－2λ)． 又MN⊥BA1，MN⊥CB1， ∴⊥，⊥， ∴ 解得∴＝， ∴||＝＝． 故在BA1与CB1上存在点M，N，当BM＝BA1，CN＝CB1时，MN为BA1与CB1的公垂线且两条异面直线BA1与CB1之间的距离为． 9 学科网（北京）股份有限公司 $$