专题03 空间向量的坐标与空间直角坐标系六大题型（高效培优专项训练）高二数学人教B版2019选择性必修第一册

空间向量的坐标与空间直角坐标系 题型一：空间向量的坐标表示 题型二：空间向量的运算 题型三：空间向量的模 题型四：空间向量的夹角 题型五：空间向量的平行与垂直 题型六：空间向量中的最值与范围问题 题型一：空间向量的坐标表示 1．已知，，求=（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用点坐标减去点坐标可得． 【详解】因为，，所以, 故选：D． 2．已知为关于平面的对称点，为关于轴的对称点，则 . 【答案】 【分析】根据点关于平面及关于轴对称点的特征可得的坐标，从而可求  . 【详解】因为关于平面对称，故， 因为为关于轴对称，故， 故， 故答案为：. 3．已知、，设点、在平面上的投影分别为、，则向量的坐标为 【答案】 【分析】根据题设有，利用向量的坐标表示求结果. 【详解】由题设，故. 故答案为： 4．已知点，点在线段上，且，则点坐标为 . 【答案】 【分析】由条件得到，根据向量的坐标表示，即可求解. 【详解】设，且, 即， 即，解得：， 所以点的坐标为. 故答案为： 5．在棱长为1的正方体中，，分别是，的中点，在棱上，且，为的中点，建立适当的坐标系． (1)写出，，，的坐标； (2)写出向量，的坐标． 【答案】(1)坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为 (2)，． 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求解点的坐标即可； （2）由向量的坐标表示计算求解即可. 【详解】（1） 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系． 点在轴上，它的坐标、坐标均为0，而为的中点，故其坐标为． 由作，，垂足分别为，， 由平面几何知识知，， 故点坐标为．点在轴上，其轴、轴坐标均为0， 又，故点坐标为． 由作于，由于为的中点， 故，，所以， 故点坐标为． （2），． 6．在直三棱柱中，，，，，为的中点，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，求，的坐标．    【答案】； 【分析】根据空间向量的线性运算可得，，进而结合题设求解即可. 【详解】由题意 ， 所以. 又， 所以 题型二：空间向量的运算 7．已知空间向量满足，则（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】应用向量线性运算的坐标表示求出坐标，再由模长的坐标公式求目标式的值. 【详解】由题设，， 所以. 故选：D 8．若，，则（ ） A．25 B． C． D．29 【答案】B 【分析】先根据向量的加法、数乘运算法则分别求出与的坐标，再根据向量数量积的坐标运算直接计算即可. 【详解】已知，， 所以，， 所以， 所以 . 故选：B. 9．已知向量，若，则（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】A 【分析】先求，再由解方程即可求得. 【详解】由，可得， 又由，则得， 即，解得. 故选：A. 10．若，，则等于（    ） A． B． C．5 D．7 【答案】A 【分析】先求出，，再利用空间向量的数量积运算求解即可． 【详解】，，则， ，， ， 故选：A 11．已知向量，且，则 . 【答案】/2.5 【分析】根据空间向量数量积的坐标运算即可. 【详解】因， 则， 解得. 故答案为：. 12．已知，向量，若，则 . 【答案】 【分析】根据空间向量数量积的坐标表示，建立方程，可得答案. 【详解】由得，， 解得，所以. 故答案为：. 题型三：空间向量的模 13．设，，向量，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用空间向量的坐标运算来表示向量垂直与共线，即可求解参数，再用空间向量的坐标运算去求模即可. 【详解】设、，向量，且， ，解得， 又因为，所以，解得， 所以， 故选：． 14．已知空间向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量坐标的加法运算可求的坐标，结合模长公式可得结果. 【详解】∵， ∴， ∴. 故选：C. 15．已知向量，，且，则实数 ， . 【答案】 【分析】运用向量垂直坐标表示和模长公式计算即可. 【详解】，则，解得. 则，，. . 故答案为：；13. 16．已知向量且共面，则 ． 【答案】3 【分析】根据共面，确定的值，再根据向量的运算和模的概念求值. 【详解】因为共面，所以存在，使， 即. 所以， 所以. 故答案为：3 17．已知向量，且，则实数 ， ． 【答案】 【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，求出的值，从而求出的坐标，再利用坐标法求模. 【详解】因为，且， 所以，解得，则， 所以， 所以. 故答案为：； 题型四：空间向量的夹角 18．已知，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】利用向量夹角公式的坐标运算，即可求解. 【详解】， 故选：B. 19．已知点，，向量，求向量与夹角的余弦值（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量夹角的坐标公式计算即可. 【详解】由题可知点， 所以. 故选：B. 20．已知向量，则与的夹角大小为 ． 【答案】 【分析】利用空间向量夹角公式可求夹角的大小. 【详解】，而，故， 故答案为：. 21．已知空间向量， ，，，. (1)求向量，，的坐标; (2)求与夹角的余弦值. 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）由已知根据，的坐标运算求解即可； （2）由（1）可得与的坐标，利用向量的坐标运算求解即可. 【详解】（1）因为，，， 所以，所以，， 所以，， 因为，， 所以， 所以，所以； （2），， 所以，，， 设与夹角为， 所以， 所以与夹角的余弦值为. 22．在三棱柱中，已知底面正三角形边长为2，三棱柱的高为3. (1)建立适当的直角坐标系，标出所有点的坐标； (2)设AA1中点为点E，BC中点为点F，求出、； (3)求出. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）以的中点为原点，以1为单位长度，建立空间直角坐标系，再写出各点的坐标即可； （2）写出的坐标，再根据向量的坐标表示即可得解； （3）根据计算即可. 【详解】（1）以的中点为原点，以1为单位长度，建立空间直角坐标系，如图所示： 由题意知，， 则，，，，，； （2）由题意知，， 故； （3）， 所以. 23．已知点，设． (1)求在方向上的投影向量（用坐标表示）； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量的坐标运算以及投影向量的定义，即可求得答案； （2）利用向量的坐标运算以及夹角公式，即可求得答案. 【详解】（1）由， 得， 故， 则在方向上的投影向量为； （2）， 故，， 故. 题型五：空间向量的平行与垂直 24．已知向量，，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据空间向量线性坐标公式求解，再根据空间向量平行的坐标表示列式求解即可. 【详解】因为，，所以， 又，且， 则，解得. 故选：A 25．已知，，若//，则λ与μ的值可以是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由向量共线定理可设，列方程求. 【详解】因为//，， 故可设， 又，， 所以， 所以或， 故选：A. 26．已知向量，，若，则（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】利用空间向量平行的坐标表示计算可得. 【详解】由可得存在实数使得， 即，所以，．故， 故选：B． 27．已知空间向量，且，则（    ） A．1 B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】根据列方程，解方程即可. 【详解】由可得，解得． 故选：A． 28．设 ，则 （    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的关系列等式求解x，y的值，再运用向量的数乘及加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果. 【详解】因为，∴，解得 ∴， ∴ 故选：C． 29．已知空间向量，，若，则 . 【答案】16 【分析】根据向量坐标运算求，结合向量垂直坐标表示列方程求. 【详解】因为空间向量，， 所以， 因为， 所以，解得. 故答案为：. 题型六：空间向量中的最值与范围问题 30．如图，直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系，设，由数量积的坐标表示得到，进而可求解； 【详解】如图取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系，设， 其中，，，， ，，， 当，且或时，取最大值4， 当，且时，取最小值2，所以的取值范围为． 故选：C 31．在三棱锥中，两两垂直，且．若M为该三棱锥外接球上的一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三棱锥放入正方体中建立空间直角坐标系，表示出相关点的坐标，再结合空间向量的线性运算将用三角函数表示，最后利用余弦函数的有界性求解即可. 【详解】如图，将三棱锥放置在正方体中，三棱锥的外接球就是正方体的外接球， 球心为正方体对角线的交点，以为原点建立空间直角坐标系， 得到，，，，，， 设三棱锥外接球的半径为R，则，则， 故，，， 故，，， 由向量模长公式得， 而， ， ， 设， 由数量积的定义得， 所以，由余弦函数性质得当时， 取得最小值，故B正确. 故选：B 32．已知正方体的棱长为1，为底面上一点，则的最小值为（   ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，将向量用坐标表示，计算数量积，求最小值. 【详解】 如图，以，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设点，，， 则，， ， 当时，的最小，最小值为. 故选：A. 33．在边长为 2 的正方体中，分别为的中点， 分别为线段 上的动点 (不包括端点) 满足 ，则线段的长度最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用坐标法表示垂直关系，再代入距离公式，即可求解. 【详解】如图建立空间直角坐标系，，，设，， ，， 因为，所以，即， 所以， 当时，线段的最小值为. 故选：A 34．如图，正方体的棱长为2，点M为侧面内的动点，，点N在对角线上且，则MN的最小值为 ． 【答案】 【分析】易得点M在侧面内的轨迹是以为圆心，2为半径的圆弧．然后以点D为原点建立空间直角坐标系，设，得到，由，得到，利用向量的模求解. 【详解】点M在侧面内的轨迹是以为圆心，2为半径的圆弧． 以点D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴建立空间直角坐标系， 设，则． 因为，所以， 所以， 所以． 当时，最小，最小值为． 故答案为： 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 空间向量的坐标与空间直角坐标系 题型一：空间向量的坐标表示 题型二：空间向量的运算 题型三：空间向量的模 题型四：空间向量的夹角 题型五：空间向量的平行与垂直 题型六：空间向量中的最值与范围问题 题型一：空间向量的坐标表示 1．已知，，求=（ ） A． B． C． D． 2．已知为关于平面的对称点，为关于轴的对称点，则 . 3．已知、，设点、在平面上的投影分别为、，则向量的坐标为 4．已知点，点在线段上，且，则点坐标为 . 5．在棱长为1的正方体中，，分别是，的中点，在棱上，且，为的中点，建立适当的坐标系． (1)写出，，，的坐标； (2)写出向量，的坐标． 6．在直三棱柱中，，，，，为的中点，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，求，的坐标．    题型二：空间向量的运算 7．已知空间向量满足，则（    ） A． B．1 C．0 D． 8．若，，则（ ） A．25 B． C． D．29 9．已知向量，若，则（   ） A． B．4 C． D．5 10．若，，则等于（    ） A． B． C．5 D．7 11．已知向量，且，则 . 12．已知，向量，若，则 . 题型三：空间向量的模 13．设，，向量，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．已知空间向量，则（    ） A． B． C． D． 15．已知向量，，且，则实数 ， . 16．已知向量且共面，则 ． 17．已知向量，且，则实数 ， ． 题型四：空间向量的夹角 18．已知，则（    ） A． B． C．0 D．1 19．已知点，，向量，求向量与夹角的余弦值（  ） A． B． C． D． 20．已知向量，则与的夹角大小为 ． 21．已知空间向量， ，，，. (1)求向量，，的坐标; (2)求与夹角的余弦值. 22．在三棱柱中，已知底面正三角形边长为2，三棱柱的高为3. (1)建立适当的直角坐标系，标出所有点的坐标； (2)设AA1中点为点E，BC中点为点F，求出、； (3)求出. 23．已知点，设． (1)求在方向上的投影向量（用坐标表示）； (2)求． 题型五：空间向量的平行与垂直 24．已知向量，，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 25．已知，，若//，则λ与μ的值可以是（    ） A．， B．， C．， D．， 26．已知向量，，若，则（    ） A．1 B． C．5 D． 27．已知空间向量，且，则（    ） A．1 B．3 C． D．4 28．设 ，则 （    ） A．3 B． C． D． 29．已知空间向量，，若，则 . 题型六：空间向量中的最值与范围问题 30．如图，直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 31．在三棱锥中，两两垂直，且．若M为该三棱锥外接球上的一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 32．已知正方体的棱长为1，为底面上一点，则的最小值为（   ） A． B．0 C． D． 33．在边长为 2 的正方体中，分别为的中点， 分别为线段 上的动点 (不包括端点) 满足 ，则线段的长度最小值为（    ） A． B．2 C． D． 34．如图，正方体的棱长为2，点M为侧面内的动点，，点N在对角线上且，则MN的最小值为 ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$