1.1.2 空间向量基本定理-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

1．1．2　空间向量基本定理

知识点一　共线向量基本定理

1．在空间四边形OABC中，M为OA的中点，N为BC的中点，若＝＋＋，则使G，M，N三点共线的x的值是________．

答案　

解析　由题意可知，＝2，＝＋，则2＝＋，∴＝＋＋＝＋(＋)＝＋，∵G，M，N三点共线，∴＋＝1，∴x＝．

知识点二　共面向量定理

2．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M，A，B，C共面的是(　　)

A．＝2＋－

B．＝3－2－2

C．＝＋＋

D．＝＋－

答案　D

解析　当M，A，B，C共面时，不妨设＝λ＋μ，变形得到－＝λ(－)＋μ(－)，则＝λ－(λ＋μ－1)＋μ，设＝x＋y＋z，若点M与点A，B，C共面，则x＋y＋z＝－λ－μ＋1＋λ＋μ＝1，只有选项D中＋＋＝1符合题

意．故选D．

3．如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE．

求证：向量，，共面．

证明　因为M在BD上，且BM＝BD，

所以＝＝＋．

同理＝＋．

所以＝＋＋＝＋＋＝＋＝＋．

又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，向量，，共面．

知识点三　空间向量基本定理

4．设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间向量的一组基底，则p是q的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以作为基底，否则不能作为基底．当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量．因此pq，q⇒p．故选B．

5．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能组成空间向量的一组基底的一组向量是(　　)

A．3a，a－b，a＋2b B．2b，b－2a，b＋2a

C．a，2b，b－c D．c，a＋c，a－c

答案　C

解析　对于A，3a＝2(a－b)＋a＋2b，则3a，a－b，a＋2b共面，不能组成空间向量的一组基底，A错误；同理可判断B，D错误．故选C．

6．O，A，B，C为空间四个点，又{，，}为空间向量的一组基底，则下列说法中错误的是(　　)

A．O，A，B，C四点不共线

B．O，A，B，C四点共面，但不共线

C．O，A，B，C四点中任意三点不共线

D．O，A，B，C四点不共面

答案　B

解析　由于{，，}为空间向量的一组基底，所以，，不共面，因此，O，A，B，C四点一定不共面，则B错误．故选B．

7．如图所示，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在上，且＝2，N为BC的中点，＝xa＋yb＋zc，则x，y，z分别为(　　)

A．，－， B．－，，

C．，，－ D．，，－

答案　B

解析　＝＋＋＝＋(－)＋＝＋(－)＋(－)＝－＋＋，即x＝－，y＝，z＝．故选B．

8．(2023·北师大附中高二校考期末)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是DP的中点．已知＝a，＝b，＝c，则＝(　　)