1.1.2 空间向量基本定理-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

数学　选择性必修·第一册　作业与测评 1．1．2　空间向量基本定理 知识点一　共线向量基本定理 1．在空间四边形OABC中，M为OA的中点，N为BC的中点，若＝＋＋，则使G，M，N三点共线的x的值是________． 答案　 解析　由题意可知，＝2，＝＋，则2＝＋，∴＝＋＋＝＋(＋)＝＋，∵G，M，N三点共线，∴＋＝1，∴x＝． 知识点二　共面向量定理 2．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M，A，B，C共面的是(　　) A．＝2＋－ B．＝3－2－2 C．＝＋＋ D．＝＋－ 答案　D 解析　当M，A，B，C共面时，不妨设＝λ＋μ，变形得到－＝λ(－)＋μ(－)，则＝λ－(λ＋μ－1)＋μ，设＝x＋y＋z，若点M与点A，B，C共面，则x＋y＋z＝－λ－μ＋1＋λ＋μ＝1，只有选项D中＋＋＝1符合题意．故选D． 3．如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE． 求证：向量，，共面． 证明　因为M在BD上，且BM＝BD， 所以＝＝＋． 同理＝＋． 所以＝＋＋＝＋＋＝＋＝＋． 又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，向量，，共面． 知识点三　空间向量基本定理 4．设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间向量的一组基底，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以作为基底，否则不能作为基底．当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量．因此pq，q⇒p．故选B． 5．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能组成空间向量的一组基底的一组向量是(　　) A．3a，a－b，a＋2b B．2b，b－2a，b＋2a C．a，2b，b－c D．c，a＋c，a－c 答案　C 解析　对于A，3a＝2(a－b)＋a＋2b，则3a，a－b，a＋2b共面，不能组成空间向量的一组基底，A错误；同理可判断B，D错误．故选C． 6．O，A，B，C为空间四个点，又{，，}为空间向量的一组基底，则下列说法中错误的是(　　) A．O，A，B，C四点不共线 B．O，A，B，C四点共面，但不共线 C．O，A，B，C四点中任意三点不共线 D．O，A，B，C四点不共面 答案　B 解析　由于{，，}为空间向量的一组基底，所以，，不共面，因此，O，A，B，C四点一定不共面，则B错误．故选B． 7．如图所示，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在上，且＝2，N为BC的中点，＝xa＋yb＋zc，则x，y，z分别为(　　) A．，－， B．－，， C．，，－ D．，，－ 答案　B 解析　＝＋＋＝＋(－)＋＝＋(－)＋(－)＝－＋＋，即x＝－，y＝，z＝．故选B． 8．(2023·北师大附中高二校考期末)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是DP的中点．已知＝a，＝b，＝c，则＝(　　) A．a＋b＋c B．－a－b＋c C．a－b＋c D．－a＋b＋c 答案　B 解析　由已知，＝，＝，则＝＋＋＝－－＋＝－a－b＋c．故选B． 9．[多选]设{a，b，c}是空间向量的一组基底，则下列说法正确的是(　　) A．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c B．a，b，c两两共面，但a，b，c不可能共面 C．对空间任一向量p，总存在有序实数组(x，y，z)，使p＝xa＋yb＋zc D．{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间向量的一组基底 答案　BCD 解析　由{a，b，c}是空间向量的一组基底可知，对于A，若a⊥b，b⊥c，则a与c不一定垂直，故A错误；对于B，若{a，b，c}是空间向量的一组基底，则a，b，c两两共面，但a，b，c不可能共面，故B正确；对于C，对空间任一向量p，总存在有序实数组(x，y，z)，使p＝xa＋yb＋zc，故C正确；对于D，若{a，b，c}是空间向量的一组基底，则a，b，c不共面，易得a＋b，b＋c，c＋a不共面，则{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间向量的一组基底，故D正确．故选BCD． 10．如图，H为四棱锥P－ABCD的棱PC的一个三等分点，且PH＝HC，点G在AH上，且AG＝mAH，四边形ABCD为平行四边形，若B，G，P，D四点共面，求实数m的值． 解　∵＝－，且＝， ∴＝－． ∵＝＋， ∴＝＋－＝－＋＋． ∵PH＝HC， ∴＝＝(－＋＋) ＝－＋＋． 又＝－， ∴＝－＋＋． ∵AG＝mAH， ∴＝m＝－＋＋． 连接BG(图略)， ∵＝－＋＝－＋， ∴＝＋＋． 又B，G，P，D四点共面， ∴1－＝0，解得m＝． 11．已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1如图所示，其中∠DD1C1＝∠ADD1＝∠ADC＝120°，AC，BD交于点O，点E在线段B1C1上，且B1E＝C1E，F，G分别是线段AA1，DC的中点，设＝a，＝b，＝c． (1)用a，b，c表示，； (2)若DA＝DC＝4，DD1＝6，求·的值． 解　(1)连接EC，AG，如图所示： ＝＋＝＋＋＝(－)＋＋＝＋＋＝a＋b＋c， ＝＋＝－＋－＝－＋－＝－a＋b－c． (2)a·b＝4×4×＝－8，a·c＝4×6×＝－12， 故·＝a·＝－a2＋a·b－a·c＝－16－4＋6＝－14． 一、选择题 1．从空间一点出发的三个不共线的向量a，b，c确定的平面个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．1或3 答案　D 解析　当三个向量共面时，可确定一个平面；当三个向量不共面时，可确定三个平面．故选D． 2．如图，若正四面体A－BCD的棱长为1，E，F分别为CD，AB的中点，则·＝(　　) A．－1 B．－ C． D．1 答案　B 解析　由已知得＝＋＋＝＋＋＝(－)＋(－)－＝－－＋．·＝·＝－－＋＝－． 3．已知正方体ABCD－A′B′C′D′，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{，，}为基底，＝x＋y＋z，则x，y，z的值是(　　) A．x＝y＝z＝1 B．x＝y＝z＝ C．x＝y＝z＝ D．x＝y＝z＝2 答案　A 解析　＝＋＋＝＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝＋＋＝＋＋．对比＝x＋y＋z，知x＝y＝z＝1．故选A． 4．(2023·山东沂水县第一中学高二期末)已知{a，b，c}是空间向量的一组基底，则可以与向量m＝b－2c，n＝b＋2c组成空间向量的另一组基底的向量是(　　) A．a B．b C．c D．b＋c 答案　A 解析　对于A，不存在x，y∈R使得a＝xm＋yn＝x(b－2c)＋y(b＋2c)成立，故能组成空间向量的另一组基底；对于B，b＝m＋n＝(b－2c)＋(b＋2c)，故不能组成空间向量的另一组基底；对于C，c＝－m＋n＝－(b－2c)＋(b＋2c)，故不能组成空间向量的另一组基底；对于D，b＋c＝m＋n＝(b－2c)＋(b＋2c)，故不能组成空间向量的另一组基底． 5．[多选]下列说法中错误的是(　　) A．空间任意三个不共面的向量都可以组成一组基底 B．已知向量a∥b，则存在向量可以与a，b组成空间向量的一组基底 C．若a·b<0，则〈a，b〉是钝角或π D．若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面 答案　BD 解析　对于A，空间任意三个不共面的向量都可以组成一组基底，故A正确；对于B，已知向量a∥b，则不存在向量可以与a，b组成空间向量的一组基底，故B错误；对于C，当非零向量a，b的夹角为π或钝角时，满足a·b<0，故C正确；对于D，向量可以平移，任意两个向量都是共面的，故D错误．故选BD． 二、填空题 6．四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC与BD交于点O，G为BD上一点，BG＝2GD，＝a，＝b，＝c，用基底{a，b，c}表示向量＝________． 答案　a－b＋c 解析　＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(－＋－)＝－＋＝a－b＋c． 7．若a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，且e1，e2，e3不共面，则当d＝αa＋βb＋γc时，α＋β＋γ＝________． 答案　3 解析　由已知，得d＝(α＋γ)e1＋(α＋β)e2＋(γ＋β)e3，又因为d＝e1＋2e2＋3e3，所以故有α＋β＋γ＝3． 8．已知A，B，C三点在同一条直线上，对于空间中与A，B，C三点不共线的任一点O，满足＋＝t，则t＝________． 答案　2 解析　∵A，B，C三点在同一条直线上，∴存在λ∈R，使＝λ，即－＝λ(－)，得＝(1＋λ)－λ，∴＋＝(1＋λ)＋(1－λ)．∵＋＝t，∴t＝(1＋λ)＋(1－λ)，即(t－1－λ)＋(λ－1)＝0．∵，不共线，∴解得 三、解答题 9．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱DD1，D1C1，BC的中点，以{，，}为基底，表示下列向量： (1)，，； (2)，，． 解　(1)＝＋＝＋＝＋． ＝＋＝＋． ＝＋＋＝＋＋． (2)＝－＝－＝＋． ＝－＝－＝－－． ＝＋＝＋＝－． 10．已知{e1，e2，e3}为空间向量的一组基底，且＝2e1－e2＋3e3，＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3． (1)能否以{，，}作为空间向量的一组基底？若能，试用这一基底表示；若不能，请说明理由； (2)判断P，A，B，C四点是否共面． 解　(1)假设，，共面，则存在实数m，n，使＝m＋n， 即e1＋2e2－e3＝m(－3e1＋e2＋2e3)＋n(e1＋e2－e3)， 所以方程组无解，所以，，不共面， 因此{，，}可以作为空间向量的一组基底． 令＝a，＝b，＝c， 由得 所以＝2e1－e2＋3e3＝2(3a－b－5c)－(a－c)＋3(4a－b－7c)＝17a－5b－30c＝17－5－30． (2)假设P，A，B，C四点共面， 则存在实数x，y，z，使＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1． 由(1)知＝17－5－30，但17－5－30＝－18≠1，故P，A，B，C四点不共面． 11．如图，在三棱锥P－ABC中，G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM＝3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若＝m，＝n，＝t，求证＋＋为定值，并求出该定值． 解　连接AG并延长交BC于点H(图略)． 由题意，可令{，，}为空间向量的一组基底， ＝＝(＋)＝＋×＝＋×(＋)＝＋(－)＋(－)＝＋＋． 连接DM． 因为点D，E，F，M共面，所以存在实数λ，μ， 使得＝λ＋μ， 即－＝λ(－)＋μ(－)， 所以＝(1－λ－μ)＋λ＋μ＝(1－λ－μ)m＋λn＋μt． 由空间向量基本定理，知 ＝(1－λ－μ)m，＝λn，＝μt， 所以＋＋＝4(1－λ－μ)＋4λ＋4μ＝4，为定值． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$