专题02 空间向量基本定理四大题型（高效培优专项训练）数学人教B版2019选择性必修第一册

专题02 空间向量基本定理 题型一：空间向量基底的概念及其辨析 题型二：用基底表示向量 题型三：空间向量基本定理及其应用 题型四：空间向量的坐标表示 题型一：空间向量基底的概念及其辨析 1．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．已知、，下列可使非零向量，，组成的集合成为空间的一组基底的条件是（    ） A． B．，，两两垂直 C． D． 3．已知是空间的一组基，若是空间的另一组基，则不可以为（   ） A． B． C． D． 4．已知是空间的一个基底，向量，，，若能作为基底，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 6．若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数 ． 题型二：用基底表示向量 7．如图，在四面体中，．点在上，且为中点，则等于（ ） A． B． C． D． 8．在三棱柱中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 9．已知空间四边形，，分别是边，的中点，点在线段上，且使，用向量，，表示向量是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在三棱锥中，，且 ，则（    ） A． B． C． D． 11．如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于 .    题型三：空间向量基本定理及其应用 12．设，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（   ） A．6 B．12 C． D． 13．如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 14．如图，在棱长为的正四面体（四个面都是正三角形）中，，分别为，的中点，且在方向上的投影向量为，则的值为（    ） A． B． C． D． 15．平行六面体，其中，，，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 16．四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（    ） A． B．1 C． D．2 17．平行六面体中，，则（   ） A．1 B． C． D． 18．在平行六面体中，点，分别在棱，上，且，．若，则（   ） A． B． C． D． 题型四：空间向量的坐标表示 19．在标准正交基下，已知向量，，，则向量在上的投影为（    ） A． B． C． D． 20．在长方体中，若向量在单位正交基底下的坐标为，则向量在单位正交基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 21．设是空间中的一个单位正交基底，已知向量，其中，，，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 22．若向量在空间的一组基底下的坐标是，则在基底下的坐标是 ． 23．在平行六面体中，设，，，，分别是，的中点． (1)用向量，，表示，； (2)若，求在基下的坐标． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 空间向量基本定理 题型一：空间向量基底的概念及其辨析 题型二：用基底表示向量 题型三：空间向量基本定理及其应用 题型四：空间向量的坐标表示 题型一：空间向量基底的概念及其辨析 1．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】利用向量共面的基本定理，结合基底的性质判断各项的向量是否共面即可. 【详解】对于A，有，所以，，共面； 对于B，假设，，共面，则有， 即，由题意不共面，所以，无解， 故假设不成立，所以，，共面，不共面； 对于C，有，所以，，共面； 对于D，，所以，，共面. 故选：B 2．已知、，下列可使非零向量，，组成的集合成为空间的一组基底的条件是（    ） A． B．，，两两垂直 C． D． 【答案】B 【分析】由基底定义和共面定理即可逐一判断选项A、B、C、D得解. 【详解】由基底定义可知只有非零向量，，不共面时才能构成空间中的一组基底. 对于A，，则共线，由向量特性可知空间中任意两个向量是共面的，所以与共面，故A错误； 对于B，因为非零向量，，两两垂直，所以非零向量，，不共面，可构成空间的一组基底，故B正确； 对于C，由共面定理可知非零向量，，共面，故C错误； 对于D，，即，故由共面定理可知非零向量，，共面，故D错误. 故选：B. 3．已知是空间的一组基，若是空间的另一组基，则不可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量基底的定义直接判断. 【详解】由可作为空间的一组基底， 则，，不共面， 当时，假设存在使，则，无解， 即，，不共面成立，A选项错误； 当时，由A分析同理可知不存在使，即，，不共面成立，B选项错误； 当时，，即，，共面，不可作为基底，C选项正确； 当时，假设存在使，则，无解， 即，，不共面成立，D选项错误； 故选：C. 4．已知是空间的一个基底，向量，，，若能作为基底，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量基底的定义，结合共面向量定理进行求解即可. 【详解】若共面，由共面向量定理知，存在实数x，y，使得， 即． 因为，，不共面，所以，，， 解得，，，即当时，， 此时不能作为基底，所以若能作为基底， 则实数满足的条件是． 故选：B. 5．（多选）若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由基底的概念逐项判断即可. 【详解】对于A：因为，共面，不能构成基底； 对于B：设，所以，无解， 所以是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故B正确； 对于C：设，显然无解，所以能构成空间的一个基底，C正确； 对于D：设，则， 所以，无解， 所以是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故D正确； 故选：BCD 6．若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数 ． 【答案】 【分析】根据题意，可知存在，使得，结合空间向量基本定理运算求解. 【详解】由不能构成空间的一个基底，则存在，使得， 即， 所以，解得. 故答案为：. 题型二：用基底表示向量 7．如图，在四面体中，．点在上，且为中点，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】连接，利用空间向量基本定理可得答案. 【分析】连接． 故选：B. 8．在三棱柱中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量运算法则求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C 9．已知空间四边形，，分别是边，的中点，点在线段上，且使，用向量，，表示向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的加法运算法则及数乘代换即可. 【详解】如图 ， 故选：C. 10．如图，在三棱锥中，，且 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合空间向量的线性运算求解即可. 【详解】由题意可得： . 故选：C. 11．如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于 .    【答案】 【分析】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【详解】依题意，. 故答案为： 题型三：空间向量基本定理及其应用 12．设，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（   ） A．6 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】首先表示出，由，，三点共线，可得，则则存在实数使得，根据空间向量基本定理得到方程组，解得即可. 【详解】因为，，， 所以， 又，，三点共线，所以， 则存在实数使得，即， 又，，不共面， 所以，解得，所以. 故选：C 13．如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量基本定理，用表示，由，，，四点共面，可得存在实数，使，再转化为，由空间向量分解的唯一性，列方程求其解可得结论. 【详解】由题意可知， 因为，，，四点共面， 所以存在实数，使， 所以， 所以 ， 所以 ，所以． 故选：B. 14．如图，在棱长为的正四面体（四个面都是正三角形）中，，分别为，的中点，且在方向上的投影向量为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的定义表示出在方向上的投影向量，利用线性运算、数量积公式，以及平面向量基本定理即可求解. 【详解】由题知，在方向上的投影向量为， 又 ， 且， 所以，所以. 故选：A 15．平行六面体，其中，，，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用空间向量基本定理表示出，然后平方后转化为数量积的运算求得． 【详解】解：如图， 可得， 故 ． ． 故选：A 16．四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】结合图形，利用向量的线性运算，即可求解. 【详解】 在四棱锥P-ABCD中，有， 再由点E为棱PC的中点，，所以， ， 由底面ABCD是平行四边形，得， 所以， 又因为，所以，即， 故选：A. 17．平行六面体中，，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量线性运算法则利用表示，结合空间向量基本定理求可得结论. 【详解】由平行六面体可得， 又，所以， 则． 故选：B． 18．在平行六面体中，点，分别在棱，上，且，．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间向量线性运算、空间向量基本定理求解即得. 【详解】在平行六面体中，，， 则， 而，因此， 所以. 故选：B 题型四：空间向量的坐标表示 19．在标准正交基下，已知向量，，，则向量在上的投影为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，化简得到，即可得到在上的投影. 【详解】因为向量，，， 则， 所以在上的投影为． 故选：A． 20．在长方体中，若向量在单位正交基底下的坐标为，则向量在单位正交基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性与空间向量的基本定理即可求解 【详解】因为， 所以向量在单位正交基底下的坐标为， 故选：B 21．设是空间中的一个单位正交基底，已知向量，其中，，，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意化简可得，即得解. 【详解】解： 因为， 又，，， ，14，， 故选：A． 22．若向量在空间的一组基底下的坐标是，则在基底下的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据同一基底下的向量表示唯一，即可求解. 【详解】因为在基底下的坐标是，所以， 设在基底下的坐标为， 则， 因此，所以， 即， 即向量在基底下的坐标为． 故答案为： 23．在平行六面体中，设，，，，分别是，的中点． (1)用向量，，表示，； (2)若，求在基下的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据给定的平行六面体，利用空间向量的线性运算求解即得. （2）利用给定的基底表示，再利用空间向量基本定理求出坐标. 【详解】（1）在平行六面体中，连接，，，，如图，   ， ． （2） ， 因此，，， 所以在基下的坐标为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$