1.1.1 第2课时 空间向量的数量积-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

第2课时　空间向量的数量积

 

知识点一　空间向量的夹角

1．如图所示，已知四面体ABCD的每条棱长都等于a，F，G分别是棱AD，DC的中点，求下列各对向量的夹角．

(1)〈，〉；(2)〈，〉；(3)〈，〉．

解　(1)〈，〉＝π．

(2)∵FG∥AC，∴〈，〉＝π．

(3)∵FG∥AC，∠CAD＝，

∴〈，〉＝〈，〉＝π－＝．

2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求分别与，，，，的夹角．

解　连接BD，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD1＝CD1，

所以〈，〉＝〈，〉＝45°，

〈，〉＝180°－〈，〉＝135°，

〈，〉＝∠D1AC＝60°，

〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°，

〈，〉＝〈，〉＝90°．

知识点二　空间向量数量积的计算

3．如图，已知空间四边形ABDC的对角线和每条边长都等于1．求：

(1)·；

(2)·；

(3)·．

解　(1)·＝||||cos〈，〉＝1×1×cos60°＝．

(2)·＝||||cos〈，〉＝1×1×cos0°＝1．

(3)·＝||||cos〈，〉＝1×1×cos120°＝－．

4．如图，已知单位正方体ABCD－A′B′C′D′，求：

(1)向量在上的投影的数量；

(2)向量在上的投影的数量．

解　(1)向量在上的投影的数量为

||cos∠A′CB＝||＝1．

(2)向量在上的投影的数量为

||cos〈π－∠A′CB〉＝－||＝－1．

知识点三　空间向量数量积的性质及其应用

5．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉＝(　　)

A．   B．

C．－ D．0

答案　D

解析　·＝·(－)＝·－·＝||||cos〈，〉－||·||cos〈，〉，因为〈，〉＝〈，〉＝，||＝||，所以·＝0，所以⊥，所以cos〈，〉＝0．故选D．

6．如图，正四面体A－BCD中，E是BC的中点，那么(　　)

A．·<·

B．·＝·

C．·>·

D．·与·不能比较大小

答案　C

解析　根据题意，得⊥，∴·＝0，又·＝(＋)·＝·(－)＋·＝||||cos120°－||||cos120°＋||||cos120°<0，∴·>·．故选C．

7．已知a，b是空间向量，|a|＝1，|b|＝，且a－b与a垂直，则a在b方向上的投影的数量为(　　)