1.1.1 第2课时 空间向量的数量积-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

数学　选择性必修·第一册　作业与测评 第2课时　空间向量的数量积 知识点一　空间向量的夹角 1．如图所示，已知四面体ABCD的每条棱长都等于a，F，G分别是棱AD，DC的中点，求下列各对向量的夹角． (1)〈，〉；(2)〈，〉；(3)〈，〉． 解　(1)〈，〉＝π． (2)∵FG∥AC，∴〈，〉＝π． (3)∵FG∥AC，∠CAD＝， ∴〈，〉＝〈，〉＝π－＝． 2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求分别与，，，，的夹角． 解　连接BD，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD1＝CD1， 所以〈，〉＝〈，〉＝45°， 〈，〉＝180°－〈，〉＝135°， 〈，〉＝∠D1AC＝60°， 〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°， 〈，〉＝〈，〉＝90°． 知识点二　空间向量数量积的计算 3．如图，已知空间四边形ABDC的对角线和每条边长都等于1．求： (1)·； (2)·； (3)·． 解　(1)·＝||||cos〈，〉＝1×1×cos60°＝． (2)·＝||||cos〈，〉＝1×1×cos0°＝1． (3)·＝||||cos〈，〉＝1×1×cos120°＝－． 4．如图，已知单位正方体ABCD－A′B′C′D′，求： (1)向量在上的投影的数量； (2)向量在上的投影的数量． 解　(1)向量在上的投影的数量为 ||cos∠A′CB＝||＝1． (2)向量在上的投影的数量为 ||cos〈π－∠A′CB〉＝－||＝－1． 知识点三　空间向量数量积的性质及其应用 5．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉＝(　　) A． B． C．－ D．0 答案　D 解析　·＝·(－)＝·－·＝||||cos〈，〉－||·||cos〈，〉，因为〈，〉＝〈，〉＝，||＝||，所以·＝0，所以⊥，所以cos〈，〉＝0．故选D． 6．如图，正四面体A－BCD中，E是BC的中点，那么(　　) A．·<· B．·＝· C．·>· D．·与·不能比较大小 答案　C 解析　根据题意，得⊥，∴·＝0，又·＝(＋)·＝·(－)＋·＝||||cos120°－||||cos120°＋||||cos120°<0，∴·>·．故选C． 7．已知a，b是空间向量，|a|＝1，|b|＝，且a－b与a垂直，则a在b方向上的投影的数量为(　　) A．－ B． C．－ D． 答案　D 解析　∵a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝0，∴a·a－a·b＝|a|2－|a||b|cos〈a，b〉＝0，又|a|＝1，|b|＝，∴|a|cos〈a，b〉＝，即a在b方向上的投影的数量为．故选D． 8．已知a，b均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝(　　) A． B． C． D．4 答案　C 解析　|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝|a|2＋6|a||b|cos〈a，b〉＋9|b|2，∵|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，∴|a＋3b|2＝13，∴|a＋3b|＝．故选C． 9．(2023·江苏苏州高二校考阶段考试)已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝2，|c|＝，则a与b的夹角为________． 答案　 解析　因为a＋b＋c＝0，所以c＝－a－b，所以c2＝(－a－b)2＝a2＋2a·b＋b2，因为|a|＝1，|b|＝2，|c|＝，所以7＝1＋2×1×2cos〈a，b〉＋4，所以cos〈a，b〉＝，因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝． 10．已知|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，若m⊥n，则λ＝________． 答案　－ 解析　由m·n＝(a＋b)·(a＋λb)＝|a|2＋(λ＋1)a·b＋λ|b|2＝0，得18＋(λ＋1)×3×4×cos135°＋16λ＝0，解得λ＝－． 一、选择题 1．[多选](2023·山东济宁高二阶段考试)设a，b为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的是(　　) A．a2＝|a|2 B．＝ C．(a·b)2＝a2·b2 D．(a－b)2＝a2－2a·b＋b2 答案　AD 解析　a2＝a·a＝|a|·|a|cos0＝|a|2，故A正确；因为向量不能做除法，即无意义，故B错误；(a·b)2＝(|a|·|b|cos〈a，b〉)2＝|a|2·|b|2cos2〈a，b〉，故C错误；(a－b)2＝(a－b)·(a－b)＝a2－2a·b＋b2，故D正确．故选AD． 2．已知a，b是空间向量，|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则a在b上的投影的数量为(　　) A．4 B． C．－ D．－3 答案　B 解析　设a与b的夹角为θ，则a在b上的投影的数量为|a|cosθ＝＝． 3．已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　A 解析　由题意，知p·q＝0，p2＝q2＝1，所以a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2－2q2＋p·q＝1． 4．设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 答案　B 解析　因为＋－2＝(－)＋(－)＝＋，所以(＋－2)·(－)＝(＋)·(－)＝2－2＝0，所以||＝||，因此△ABC是等腰三角形． 5．[多选]给定两个不共线的空间向量a与b，定义叉乘运算：a×b，规定：①a×b为同时与a，b垂直的向量；②a，b，a×b三个向量构成右手系(即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图1所示)；③|a×b|＝|a|·|b|sin〈a，b〉．如图2，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4，则下列结论正确的是(　　) A．×＝ B．×＝× C．(＋)×＝×＋× D．VABCD－A1B1C1D1＝(×)· 答案　ACD 解析　∵|×|＝||||sin90°＝2×2×1＝4，且分别与，垂直，∴×＝，故A正确；由题意，×＝，×＝，故B错误；∵＋＝，∴|(＋)×|＝|×|＝2×4×1＝8，且(＋)×与共线同向，∵|×|＝2×4×1＝8，×与共线同向，|×|＝2×4×1＝8，×与共线同向，∴|×＋×|＝8，且×＋×与共线同向，故C正确；(×)·＝||||||×sin90°×cos0°＝2×2×4＝16，故D正确．故选ACD． 二、填空题 6．在棱长为2的正四面体A－BCD中，E是BC的中点，则·＝________． 答案　1 解析　∵E是BC的中点，∴＝＋＝＋(＋)，∴·＝·＝·＋·＋·＝||||cos120°＋||||cos60°＋2＝－2＋1＋2＝1． 7．已知空间四边形OABC，若各边及对角线长都相等，且E，F分别为AB，OC的中点，则向量与夹角的余弦值为__________． 答案　－ 解析　如图，不妨设＝a，＝b，＝c，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则a·b＝b·c＝c·a＝，∵＝(a＋b)，＝c－b，且||＝，||＝．∴·＝(a＋b)·＝a·c＋b·c－a·b－b2＝－．∴cos〈，〉＝＝－． 8．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为________． 答案　－4 解析　∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋n2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0，由已知得t×|n|2×＋|n|2＝0，解得t＝－4． 三、解答题 9． 如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为B1C1的中点． (1)求〈，〉，〈，〉的大小； (2)求向量在向量上的投影的数量． 解　(1)因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中， DD1⊥BC， 所以〈，〉＝90°． 因为D1C1∥DC， 所以〈，〉＝〈，〉＝135°． (2)连接EC， 因为DC⊥平面BCC1B1， EC⊂平面BCC1B1， 所以DC⊥EC， 又AD⊥DC， 所以在向量上的投影为， 因为DC＝1， 所以向量在向量上的投影的数量为1． 10．已知正四面体O－ABC的棱长为1，如图，求： (1)·； (2)(＋)·(＋)； (3)|＋＋|． 解　在正四面体O－ABC中，||＝||＝||＝1，〈，〉＝〈，〉＝〈，〉＝60°． (1)·＝||||cos∠AOB＝1×1×cos60°＝． (2)(＋)·(＋)＝(＋)·(－＋－)＝(＋)·(＋－2)＝2＋2·－2·＋2－2·＝12＋2×1×1×cos60°－2×1×1×cos60°＋12－2×1×1×cos60°＝1＋1－1＋1－1＝1． (3)|＋＋|＝ ＝＝． 8 学科网（北京）股份有限公司 $$