2.3.2 圆的一般方程(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版)

本讲义聚焦高中数学“圆的一般方程”核心知识点，从圆的标准方程展开引入，通过问题探索一般方程的条件（D²+E²-4F>0）、圆心（-D/2,-E/2）和半径，对比标准方程与一般方程的区别，构建从标准到一般的知识学习支架。 资料以隧道截面等生活实例引入培养数学眼光，通过问题链引导推理发展数学思维，题型涵盖辨析、求方程、轨迹且一题多解，课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺，提升数学语言表达与应用能力。

2.3.2　圆的一般方程 课标 要求 　　回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程（直观想象、数学运算）. 　　 　　我们常见的隧道的截面是半圆形，圆拱桥上的弧形也是圆的一部分，圆在日常生活中应用非常广泛.如果把圆的标准方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2展开为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D，E，F均为常数. 【问题】　（1）任何一个圆的标准方程是否都可变形为关于x，y的二次项系数为1，且不含xy项的二元二次方程的形式？ （2）若一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程表示圆，则D，E，F应满足什么条件？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　圆的一般方程 1.圆的一般方程的概念 当 　D2＋E2－4F＞0　时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫作圆的一般方程. 2.圆的一般方程对应的圆心和半径 圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）表示的圆的圆心为　（－，－）　，半径长为　　. 【想一想】 1.圆的标准方程与圆的一般方程有什么不同？ 提示：圆的一般方程是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显.圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征明显. 2.求圆的一般方程实质上是求圆的一般方程中的哪些量？ 提示：只要求出一般方程中的D，E，F，圆的方程就确定了. 3.所有二元二次方程均表示圆吗？ 提示：不是，Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0，只有在A＝C≠0，B＝0且D2＋E2－4AF＞0时才表示圆. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）圆的一般方程可以化为圆的标准方程.（　√　） （2）方程x2＋y2＋x＋1＝0表示一个圆.（　×　） （3）二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程.（　×　） （4）若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.（　√　） 2.圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是（　　） A.（2，3）　　　　　　　 B.（－2，3） C.（－2，－3）　 D.（2，－3） 解析：D　圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标为（－，－），即（2，－3）. 3.若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则实数m的取值范围是（　　） A.m＜　 B.m≤ C.m＜2　 D.m≤2 解析：A　由D2＋E2－4F＞0得（－1）2＋12－4m＞0，解得m＜.故选A. 4.若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以（2，－4）为圆心，4为半径的圆，则F＝　4　. 解析：由圆的一般方程结合题中的条件可得－＝2，－＝－4，＝4，解得D＝－4，E＝8，F＝4. 　　 题型一　圆的一般方程的辨析 （链接教科书第109页例2）若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求： （1）实数m的取值范围； （2）圆心坐标和半径. 解：（1）据题意知D2＋E2－4F＝（2m）2＋（－2）2－4（m2＋5m）＞0， 即4m2＋4－4m2－20m＞0，解得m＜， 故m的取值范围为（－∞，）. （2）将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为（x＋m）2＋（y－1）2＝1－5m， 故圆心坐标为（－m，1），半径r＝. 规律方法 1.判断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆.此时有两种途径：一是看D2＋E2－4F是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数. 2.点P（x0，y0）与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的位置关系： （1）点P在圆内⇔＋＋Dx0＋Ey0＋F＜0； （2）点P在圆上⇔＋＋Dx0＋Ey0＋F＝0； （3）点P在圆外⇔＋＋Dx0＋Ey0＋F＞0. 已知方程x2＋y2－2（t＋3）x＋2（1－4t2）y＋16t4＋9＝0（t∈R）所表示的图形是圆. （1）求t的取值范围； （2）求其中面积最大的圆的方程； （3）若点P（3，4t2）恒在所给圆内，求t的取值范围. 解：（1）已知方程可化为（x－t－3）2＋（y＋1－4t2）2＝（t＋3）2＋（1－4t2）2－16t4－9＝－7t2＋6t＋1，由r2＝－7t2＋6t＋1＞0得－＜t＜1.∴t的取值范围是（－，1）. （2）∵r＝＝，∵∈（－，1），∴当t＝时，rmax＝，此时圆的面积最大.所对应的圆的方程为（x－）2＋（y＋）2＝. （3）当且仅当32＋（4t2）2－2（t＋3）×3＋2（1－4t2）×4t2＋16t4＋9＜0，点P恒在圆内，∴8t2－6t＜0，∴0＜t＜，故t的取值范围是（0，）. 题型二　求圆的一般方程 （链接教科书第107页例1）（1）已知△ABC顶点的坐标为A（4，3），B（5，2），C（1，0），求△ABC外接圆的方程； （2）〔一题多解〕已知一圆过P（4，－2），Q（－1，3）两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程. 解：（1）设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. ∵点A，B，C在所求的圆上，故有 ⇒ 故所求圆的方程是x2＋y2－6x－2y＋5＝0. （2）法一（待定系数法）　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 将P，Q的坐标分别代入上式， 得 令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0， ③ 由已知｜y1－y2｜＝4，其中y1，y2是方程③的两根. ∴（y1－y2）2＝（y1＋y2）2－4y1y2＝E2－4F＝48. ④ 联立①②④解得，或 故所求方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0. 法二（几何法）　由题意得线段PQ的中垂线方程为x－y－1＝0. ∴所求圆的圆心C在直线x－y－1＝0上，设其坐标为（a，a－1）. 又圆C的半径长r＝｜CP｜＝.（*） 由已知圆C截y轴所得的线段长为4，而圆心C到y轴的距离为｜a｜. ∴r2＝a2＋（）2，代入（*）并将两端平方得a2－6a＋5＝0，解得a1＝1，a2＝5，∴r1＝，r2＝. 故所求圆的方程为（x－1）2＋y2＝13或（x－5）2＋（y－4）2＝37. 规律方法 待定系数法求圆的一般方程的步骤 （1）根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0； （2）根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组； （3）解此方程组，求出D，E，F的值； （4）将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程. 1.与圆C：x2＋y2－2x－35＝0同圆心，且面积为圆C面积的一半的圆的方程为（　　） A.（x－1）2＋y2＝3　 B.（x－1）2＋y2＝6 C.（x－1）2＋y2＝9　 D.（x－1）2＋y2＝18 解析：D　由题得圆C：（x－1）2＋y2＝36，所以圆C的圆心为（1，0），半径为6.设所求的圆的半径为r，所以πr2＝×π×62，所以r＝3.所以所求的圆的方程为（x－1）2＋y2＝18.故选D. 2.圆C：x2＋y2＋6x－8y＋24＝0关于直线y＝x对称的圆的方程为（　　） A.（x－4）2＋（y＋3）2＝1 B.（x－4）2＋（y－3）2＝49 C.（x＋4）2＋（y－3）2＝1 D.（x＋4）2＋（y＋3）2＝49 解析：A　圆C的标准方程为（x＋3）2＋（y－4）2＝1，圆C圆心为（－3，4），半径为1，故所求圆的圆心坐标为（4，－3），半径为1，因此所求圆的方程为（x－4）2＋（y＋3）2＝1.故选A. 题型三　与圆有关的轨迹方程 角度1　直接法求轨迹方程 求到点O（0，0）的距离是到点A（3，0）的距离的的点M的轨迹方程. 解：设点M的坐标是（x，y）， 则＝.∴＝， 化简得x2＋y2＋2x－3＝0，即所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－3＝0. 角度2　代入法求轨迹方程 设定点M（－3，4），动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹. 解：（代入法）　如图所示，设P（x，y），N（x0，y0）， 则线段OP的中点坐标为（，），线段MN的中点坐标为（，）. 由于平行四边形的对角线互相平分，故＝，＝， 从而又点N（x＋3，y－4）在圆上，故（x＋3）2＋（y－4）2＝4. 当点P在直线OM上时，有x＝－，y＝或x＝－，y＝. 因此所求轨迹为圆（x＋3）2＋（y－4）2＝4，除去点（－，）和点（－，）. 角度3　定义法求轨迹方程 若线段AB的端点分别在x轴、y轴上运动，且｜AB｜＝4，求线段AB中点M的轨迹方程. 解：由题意，设原点为O（0，0）， 则｜OM｜＝｜AB｜＝2，由圆的定义，M在以O（0，0）为圆心，2为半径的圆上， 即x2＋y2＝4，即为M的轨迹方程. 规律方法 求与圆有关的轨迹方程的3种方法 提醒：（1）题中所求问题是动点的轨迹方程还是动点的轨迹，若求的是动点轨迹，则求出轨迹方程后应说明最后是什么样的图形；（2）要考虑轨迹上应去掉的点及轨迹不存在的情形.　 已知线段AB的端点B的坐标为（8，6），端点A在圆C：x2＋y2＋4x＝0上运动，求线段AB的中点P的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？ 解：设点P的坐标为（x，y），点A的坐标为（x0，y0）， 由于点B的坐标为（8，6），且P为线段AB的中点，∴x＝，y＝， 于是有x0＝2x－8，y0＝2y－6. ∵点A在圆C上运动， ∴点A的坐标满足方程x2＋y2＋4x＝0， 即＋＋4x0＝0， ∴（2x－8）2＋（2y－6）2＋4（2x－8）＝0， 化简整理，得x2＋y2－6x－6y＋17＝0， 即（x－3）2＋（y－3）2＝1. 故点P的轨迹是以（3，3）为圆心，1为半径的圆. 1.已知圆的方程是x2＋y2－2x－4＝0，则该圆的圆心坐标及半径分别为（　　） A.（1，0）与5　 B.（1，0）与 C.（－1，0）与5　 D.（－1，0）与 解析：B　由圆的一般方程为x2＋y2－2x－4＝0，配方得圆的标准方程为（x－1）2＋y2＝5，所以圆心坐标为（1，0），半径为.故选B. 2.〔一题多解〕若方程x2＋y2－2y－m＝0表示的图形是圆，则实数m的取值范围为（　　） A.（－∞，1）　 B.（1，＋∞） C.（－∞，－1）　 D.（－1，＋∞） 解析：D　法一　因为方程表示的图形是圆，所以4＋4m＞0，解得m＞－1.故实数m的取值范围为（－1，＋∞）. 法二　方程x2＋y2－2y－m＝0可化为x2＋（y－1）2＝m＋1，因为方程表示的图形是圆，所以m＋1＞0，解得m＞－1.故实数m的取值范围为（－1，＋∞）.故选D. 3.已知A（2，0），B（－1，1），动点H（x，y）满足｜HA｜＝｜HB｜，记动点H的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为（　　） A.x2＋y2＋16x－4y＋8＝0 B.x2＋y2－8x＋4y＋8＝0 C.x2＋y2－16x＋4y＋8＝0 D.x2＋y2＋16x－4y－8＝0 解析：C　因为｜HA｜＝｜HB｜，即3｜HA｜2＝2｜HB｜2，则3[（x－2）2＋y2]＝2[（x＋1）2＋（y－1）2]，整理可得x2＋y2－16x＋4y＋8＝0.故选C. 4.过O（0，0），A（3，0），B（0，4）三点的圆的一般方程为　x2＋y2－3x－4y＝0　. 解析：该圆的圆心为（，2），半径为，故其标准方程为（x－）2＋（y－2）2＝.化成一般方程为x2＋y2－3x－4y＝0. 　　 1.“实数a＞0”是“方程x2＋y2－2x－a＝0”表示圆的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：A　x2＋y2－2x－a＝（x－1）2＋y2＝a＋1表示圆，则a＋1＞0，∴a＞－1，a＞0能推出a＞－1，反之不能，故“实数a＞0”是“方程x2＋y2－2x－a＝0”表示圆的充分不必要条件.故选A. 2.已知实数x，y满足方程x2＋y2＋8x－4y＋16＝0，则x的最大值为（　　） A.3　　　　　　　　 B.2 C.－1　 D.－2 解析：D　将方程变形为（x＋4）2＋（y－2）2＝4，则圆心坐标为（－4，2），半径r＝2，则圆上的点的横坐标的范围为－6≤x≤－2，则x的最大值是－2.故选D. 3.若圆C的方程为x2＋y2＋mx＋2my＋（m－2）＝0，则圆C的最小周长为（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：D　因为圆C的方程为x2＋y2＋mx＋2my＋（m－2）＝0，所以圆C的半径为r＝＝＝≥×＝，所以圆C的最小周长为2πr＝.故选D. 4.若圆C的方程为x2＋y2＋4x＋4y＋5＝0，点P是圆C上动点，点O为坐标原点，则｜OP｜的最大值为（　　） A.2＋　 B.2－ C.2＋　 D.2－ 解析：C　圆C的圆心为（－2，－2），半径为r＝＝，｜OP｜的最大值为｜OC｜＋r＝2＋.故选C. 5.〔多选〕已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0及点Q（－2，3），则下列说法正确的是（　　） A.圆心C的坐标为（2，7） B.若点P（m，m＋1）在圆C上，则直线PQ的斜率为 C.点Q在圆C外 D.若M是圆C上任一点，则｜MQ｜的取值范围为[2，6] 解析：ACD　对于A，将x2＋y2－4x－14y＋45＝0化为（x－2）2＋（y－7）2＝8，所以圆心C的坐标为（2，7），故A正确；对于B，因为点P（m，m＋1）在圆C上，所以m2＋（m＋1）2－4m－14（m＋1）＋45＝0，所以m＝4，即P（4，5）.所以直线PQ的斜率为，故B错误；对于C，因为C（2，7），Q（－2，3）两点之间的距离为＝4＞2，所以点Q在圆C外，故C正确；对于D，因为圆心C（2，7），半径r＝2，｜CQ｜＝4，所以｜CQ｜－r≤｜MQ｜≤｜CQ｜＋r，即2≤｜MQ｜≤6，故D正确. 6.已知A（－2，0），B（1，0），动点P满足＝2，则动点P的轨迹方程为　（x－2）2＋y2＝4　. 解析：设动点P（x，y），则＝＝2，即（x＋2）2＋y2＝4（x－1）2＋4y2，整理得（x－2）2＋y2＝4，故动点P的轨迹方程为（x－2）2＋y2＝4. 7.圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝　3　. 解析：圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心坐标为，即（1，2），故圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝＝＝3. 8.已知定点A（1，－2），点B为圆（x＋1）2＋（y＋4）2＝4上的动点，则AB的中点C的轨迹方程为　x2＋（y＋3）2＝1　. 解析：由题意，设C（x，y），B（x1，y1）则所以代入圆的方程（x＋1）2＋（y＋4）2＝4，整理得（2x）2＋（2y＋6）2＝4，即x2＋（y＋3）2＝1. 9.平面几何中有一个著名的定理：△ABC的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为△ABC的九点圆或欧拉圆，若A（－2，1），B（4，1），△ABC的垂心为G（3，3），则△ABC的九点圆的标准方程为　（x－2）2＋（y－）2＝　. 解析：由A（－2，1），B（4，1），G（3，3），可得AB中点为M（1，1），AG中点为N（，2），BG中点为Q（，2），设△ABC的九点圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，代入M，N，Q三点坐标，可得解得即x2＋y2－4x－y＋＝0，化简可得圆的标准方程为（x－2）2＋（y－）2＝. 10.已知△ABC的顶点C（2，－8），直线AB的方程为y＝－2x＋11，AC边上的高BH所在直线的方程为x＋3y＋2＝0. （1）求顶点A和B的坐标； （2）求△ABC外接圆的一般方程. 解：（1）由可得所以点B的坐标为（7，－3）， 由x＋3y＋2＝0可得y＝－x－，所以kBH＝－.由AC⊥BH，可得kAC＝3， 因为C（2，－8），所以直线AC的方程为y＋8＝3（x－2），即3x－y－14＝0， 由可得所以点A的坐标为（5，1）. （2）设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 将A（5，1），B（7，－3）和C（2，－8）三点的坐标分别代入圆的方程可得：解得所以△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2－4x＋6y－12＝0. 11.（新定义）阿波罗尼斯（约公元前262～190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k（k＞0且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P与A，B距离之比满足：｜PA｜＝｜PB｜，当P，A，B三点不共线时，△PAB面积的最大值是（　　） A.2　 B.2 C.　 D. 解析：C　依题意，以线段AB的中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，如图，则A（－1，0），B（1，0），设P（x，y），因｜PA｜＝｜PB｜，则＝·，化简整理得（x－2）2＋y2＝3，因此，点P的轨迹是以点（2，0）为圆心，为半径的圆，点P不在x轴上时，与点A，B可构成三角形，当点P到直线AB（x轴）的距离最大时，△PAB的面积最大，显然，点P到x轴的最大距离为，此时，（S△PAB）max＝×2×＝，所以△PAB面积的最大值是.故选C. 12.〔多选〕已知圆心为C的圆x2＋y2－4x＋6y＋11＝0与点A（0，－5），则（　　） A.圆C的半径为2 B.点A在圆C外 C.点A与圆C上任一点距离的最大值为3 D.点A与圆C上任一点距离的最小值为 解析：BCD　依题意，圆C：（x－2）2＋（y＋3）2＝2，则圆心C（2，－3），半径r＝，A不正确；因点A（0，－5），则｜AC｜＝2＞r，点A在圆C外，B正确；因点A在圆C外，在圆C上任取点P，则｜PA｜≤｜PC｜＋｜CA｜＝r＋｜CA｜＝3，当且仅当点P，C，A共线，且P在线段AC延长线上时取“＝”，C正确；在圆C上任取点M，则｜MA｜≥｜CA｜－｜MC｜＝｜CA｜－r＝，当且仅当点C，M，A共线，且M在线段CA上时取“＝”，D正确.故选B、C、D. 13.（创新思维）四叶草也叫幸运草，四片叶子分别象征着：成功、幸福、平安、健康，表达了人们对美好生活的向往.梵克雅宝公司在设计四叶草吊坠的时候，利用了曲线方程C：x2＋y2＝2｜x｜＋2｜y｜（如图所示）进行图案绘制.试求曲线C围成的封闭图形的面积　8＋4π　. 解析：当x＞0，y＞0时，方程可化为（x－1）2＋（y－1）2＝2，它表示圆心为（1，1），半径为的圆在第一象限的部分；当x＞0，y≤0时，方程可化为（x－1）2＋（y＋1）2＝2，它表示圆心为（1，－1），半径为的圆在第四象限的部分；当x≤0，y＞0时，方程可化为（x＋1）2＋（y－1）2＝2它表示圆心为（－1，1），半径为的圆在第二象限的部分；当x≤0，y≤0时，方程可化为（x＋1）2＋（y＋1）2＝2，它表示圆心为（－1，－1），半径为的圆在第三象限的部分；综上，四个部分正好围成了一个封闭的区域.这个区域的面积可以割成四个半圆和一个正方形，其中正方形的边长就是半圆的直径.所以总面积为S＝（2）2＋2π（）2＝8＋4π. 14.〔一题多解〕已知曲线C：（1＋a）x2＋（1＋a）y2－4x＋8ay＝0，a∈R. （1）当a取何值时，方程表示圆； （2）求证：不论a为何值，曲线C必过两定点； （3）当曲线C表示圆时，求圆的面积最小时a的值. 解：（1）法一　当a＝－1时，方程为x＋2y＝0，表示一条直线；当a≠－1时，方程为（x－）2＋（y＋）2＝，因为＞0，所以a≠－1时方程表示圆. 法二　若方程表示圆，必有所以a≠－1，所以当a≠－1时方程表示圆. （2）证明：方程变形为x2＋y2－4x＋a（x2＋y2＋8y）＝0. 对于a取任何值，上式成立，则有 解得或所以C过定点A（0，0），B（，－）. （3）由（2）知曲线C过定点A，B，在这些圆中，当以AB为直径时，圆的面积最小， 从而得以AB为直径圆的方程为（x－）2＋（y＋）2＝， 所以＝，＝，＝，解得a＝. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $