2.3.1 圆的标准方程(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版)

本讲义聚焦高中数学“圆的标准方程”核心知识点，从回顾确定圆的几何要素（圆心、半径）切入，推导得出标准方程（(x-a)²+(y-b)²=r²），并结合点与圆位置关系的判断方法，构建从定义到方程再到应用的完整学习支架。 该资料以“南昌之星”摩天轮为情境引入问题，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力，通过一题多解（如待定系数法与几何法求圆方程）发展数学运算与逻辑推理，拱桥应用问题则体现用数学语言表达现实世界。课中助力教师引导探究，课后练习题帮助学生巩固知识，查漏补缺。

2.3　圆及其方程 2.3.1　圆的标准方程 课标 要求 　　回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程（直观想象、数学运算）.　 　　 “南昌之星”摩天轮是目前世界上第二高的摩天轮，它位于江西省南昌市红谷滩新区红角洲赣江边上的赣江市民公园，是南昌市标志性建筑.该摩天轮总高度为160米，转盘直径为153米，比位于英国泰晤士河边的135米高的“伦敦之眼”摩天轮还要高. 【问题】　（1）游客在摩天轮转动过程中离摩天轮中心的距离一样吗？ （2）若以摩天轮中心所在位置为原点，建立平面直角坐标系，游客在任一点（x，y）的坐标满足什么关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　圆的标准方程 1.圆的定义：平面内到　定点　的距离等于　定长　的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 2.确定圆的要素是　圆心　和　半径　，如图所示. 3.圆的标准方程：圆心为A（a，b），半径长为r的圆的标准方程是　（x－a）2＋（y－b）2＝r2　. 当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以　原点　为圆心、半径为r的圆. 提醒：（1）圆的标准方程体现了圆的集合性质，突出了圆的几何意义：圆心位置和半径；（2）当圆心在坐标原点时，圆的方程为x2＋y2＝r2. 知识点二　点与圆的位置关系 点M（x0，y0）与圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2的位置关系及判断方法： 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点M在圆上 ｜CM｜＝r （x0－a）2＋（y0－b）2＝r2 点M在圆外 ｜CM｜＞r （x0－a）2＋（y0－b）2＞r2 点M在圆内 ｜CM｜＜r （x0－a）2＋（y0－b）2＜r2 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）方程（x－a）2＋（y－b）2＝m2一定表示圆.（　×　） （2）确定一个圆的几何要素是圆心和半径.（　√　） （3）圆（x＋1）2＋（y＋2）2＝4的圆心坐标是（1，2），半径是4.（　×　） 2.点（1，1）在圆（x－a）2＋（y＋a）2＝4的内部，则a的取值范围是（　　） A.－1＜a＜1　　　　　 B.a＜－1 C.a＜－1或a＞1　 D.a＞1 解析：A　∵点（1，1）在圆（x－a）2＋（y＋a）2＝4的内部，∴（1－a）2＋（1＋a）2＜4，解得－1＜a＜1.故选A. 3.已知圆的方程：（x－2）2＋（y＋8）2＝9，则圆心坐标　（2，－8）　，半径为　3　. 4.经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是　（x＋2）2＋y2＝4　. 解析：圆心是（－2，0），半径是2，所以圆的方程是（x＋2）2＋y2＝4. 　　 题型一　求圆的标准方程 （链接教科书第104页例1）（1）求圆心为点C（－2，1），且过点A（2，－2）的圆的方程； （2）〔一题多解〕求经过点P（1，1）和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的方程. 解：（1）将圆心（－2，1）代入圆的标准方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）， 有（x＋2）2＋（y－1）2＝r2，再将点A（2，－2）代入方程有r2＝（2＋2）2＋（－2－1）2＝52. 从而圆的方程为（x＋2）2＋（y－1）2＝25. （2）法一（待定系数法）　设圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2， 则有解得 ∴圆的标准方程是（x－4）2＋（y＋3）2＝25. 法二（几何法）　由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0. ∵弦的垂直平分线过圆心， ∴由得 即圆心坐标为（4，－3），半径r＝＝5. ∴圆的标准方程是（x－4）2＋（y＋3）2＝25. 规律方法 求圆的标准方程的方法 　　确定圆的标准方程就是设法确定圆心C（a，b）及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷.三是已知圆的直径的两端点A（x1，y1），B（x2，y2），直接写出圆的方程为（x－x1）（x－x2）＋（y－y1）（y－y2）＝0，再化简成标准方程. 1.〔一题多解〕已知点A（1，－1），B（－1，1），则以线段AB为直径的圆的方程是（　　） A.x2＋y2＝2　 B.x2＋y2＝ C.x2＋y2＝1　 D.x2＋y2＝4 解析：A　法一　AB的中点坐标为（0，0），｜AB｜＝＝2，所以圆的方程为x2＋y2＝2. 法二　以AB为直径的圆的方程为（x－1）（x＋1）＋（y＋1）（y－1）＝0，即x2＋y2＝2. 2.若直线2x＋y－1＝0是圆x2＋（y＋a）2＝1的一条对称轴，则圆心坐标为　（0，1） 　. 解析：圆x2＋（y＋a）2＝1的圆心为（0，－a），因为直线2x＋y－1＝0是圆的一条对称轴，所以圆心（0，－a）在直线2x＋y－1＝0上，所以2×0＋（－a）－1＝0，解得a＝－1，故圆心坐标为（0，1）. 题型二　点与圆的位置关系 （链接教科书第106页练习A3题）已知圆N的标准方程为（x－5）2＋（y－6）2＝a2（a＞0）. （1）若点M（6，9）在圆上，求a的值； （2）已知点P（3，3）和点Q（5，3），线段PQ（不含端点）与圆N有且只有一个公共点，求a的取值范围. 解：（1）因为点M在圆上， 所以（6－5）2＋（9－6）2＝a2， 又a＞0，可得a＝. （2）由两点间距离公式可得， ｜PN｜＝＝， ｜QN｜＝＝3. 因为线段PQ（不含端点）与圆有且只有一个公共点，即P，Q两点一个在圆N内，另一个在圆N外，又3＜，所以3＜a＜.即a的取值范围是（3，）. 规律方法 判断点与圆的位置关系的方法 （1）确定圆的方程：化为（x－a）2＋（y－b）2＝r2； （2）将点的坐标（x0，y0）代入代数式（x－a）2＋（y－b）2，比较代数式的值与r2的大小关系； （3）下结论：若（x0－a）2＋（y0－b）2＝r2，表示点在圆上；若（x0－a）2＋（y0－b）2＞r2，表示点在圆外；若（x0－a）2＋（y0－b）2＜r2，表示点在圆内. 　　此外，也可以利用点与圆心的距离d与半径r的大小关系来判断.当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内. 1.已知a，b是方程x2－x－＝0的两个不相等的实数根，则点P（a，b）与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是（　　） A.点P在圆C内　 B.点P在圆C外 C.点P在圆C上　 D.无法确定 解析：A　由题意，得a＋b＝1，ab＝－，∴a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝1＋2＜8，∴点P在圆C内. 2.已知点P（2，1）和圆C：（x＋）2＋（y－1）2＝1，若点P在圆C上，则实数a＝　－2或－6　；若点P在圆C外，则实数a的取值范围为　（－∞，－6）∪（－2，＋∞）　. 解析：由题意，得（x＋）2＋（y－1）2＝1，当点P在圆C上时，（2＋）2＋（1－1）2＝1，解得a＝－2或－6.当点P在圆C外时，（2＋）2＋（1－1）2＞1，解得a＜－6或a＞－2. 题型三　圆的方程的应用 为了开发古城旅游观光，某市决定在护城河上建一座圆形拱桥，河面跨度AB为32米，拱桥顶点C离河面8米. （1）如果以跨度AB所在直线为x轴，以AB中垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系，试求出该圆形拱桥所在圆的方程； （2）现有游船船宽8米，船顶离水面7米，为保证安全，要求行船顶部与拱桥顶部的竖直方向高度差至少要0.5米.问这条船能否顺利通过这座拱桥，并说出理由. 解：（1）B（16，0），C（0，8），设圆心（0，b），圆的方程为x2＋（y－b）2＝r2， 由圆过点B、C可得解得b＝－12，r＝20， 所以拱桥所在圆的方程是x2＋（y＋12）2＝400. （2）可设船右上角竖直方向0.5米处点为P（4，7.5）， 代入圆方程左端得396.25＜400，所以点P在圆内，故船可以通过. 规律方法 坐标法解决此类问题的“三步曲” 　如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度AB＝20 m，拱高OP＝4 m，建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到0.01 m）. 解：建立如图所示的平面直角坐标系，使圆心在y轴上.设圆心的坐标是（0，b），圆的半径是r，那么圆的方程是x2＋（y－b）2＝r2. 因为P，B都在圆上，所以它们的坐标（0，4），（10，0）都满足方程x2＋（y－b）2＝r2.于是，得到方程组解得b＝－10.5，r2＝14.52. 所以圆的方程是x2＋（y＋10.5）2＝14.52. 把点P2的横坐标x＝－2代入圆的方程，得 （－2）2＋（y＋10.5）2＝14.52， 即y＋10.5＝（P2的纵坐标y＞0，平方根取正值）.所以y＝－10.5 ≈14.36－10.5＝3.86（m）. 故支柱A2P2的高度约为3.86 m. 1.圆心为（－1，0），半径为5的圆的方程是（　　） A.（x＋1）2＋y2＝　 B.（x＋1）2＋y2＝25 C.（x－1）2＋y2＝　 D.（x－1）2＋y2＝25 解析：B　因为圆心为（－1，0），半径为5，则圆的方程是（x＋1）2＋y2＝25.故选B. 2.点P（a，10）与圆（x－1）2＋（y－1）2＝2的位置关系是（　　） A.在圆内　 B.在圆上 C.在圆外　 D.不确定 解析：C　∵（a－1）2＋（10－1）2＝81＋（a－1）2＞2，∴点 P在圆外. 3.若直线y＝ax＋b经过第一、二、三象限，则圆C：（x＋a）2＋（y＋b）2＝1的圆心位于（　　） A.第一象限　 B.第二象限 C.第三象限　 D.第四象限 解析：C　因为直线y＝ax＋b经过第一、二、三象限，所以a＞0，b＞0，因为圆C：（x＋a）2＋（y＋b）2＝1的圆心为（－a，－b），所以圆心位于第三象限，故选C. 4.经过点（－2，0），（－2，2）且圆心在直线l：x＋y＝0上的圆的标准方程为　（x＋1）2＋（y－1）2＝2　. 解析：若经过点（－2，0），（－2，2），则圆心在直线y＝1上，又圆心在直线l：x＋y＝0上，令y＝1，则x＝－1，故圆心坐标为（－1，1），半径为r＝＝，故所求圆的标准方程为（x＋1）2＋（y－1）2＝2. 　　 1.圆C：（x－2）2＋（y＋1）2＝3的圆心坐标为（　　） A.（2，1）　 B.（2，－1） C.（－2，1）　 D.（－2，－1） 解析：B　结合圆的标准形式可知，圆C的圆心坐标为（2，－1）. 2.已知圆C的圆心为（2，－3），且过点（0，0），则圆的方程为（　　） A.（x＋2）2＋（y－3）2＝5 B.（x－2）2＋（y＋3）2＝5 C.（x＋2）2＋（y－3）2＝13 D.（x－2）2＋（y＋3）2＝13 解析：D　根据题意可设圆的方程为（x－2）2＋（y＋3）2＝r2（r＞0），因为圆C过点（0，0），所以（0－2）2＋（0＋3）2＝r2，解得r2＝13，所以圆的方程为（x－2）2＋（y＋3）2＝13.故选D. 3.方程（x＋a）2＋（y－a）2＝2a2（a≠0）表示的圆（　　） A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于直线x－y＝0对称 D.关于直线x＋y＝0对称 解析：D　易得圆心C（－a，a），即圆心在直线y＝－x上，所以该圆关于直线x＋y＝0对称，故选D. 4.已知圆C1：（x－1）2＋（y－2）2＝9与圆C2关于x轴对称，则C2的方程为（　　） A.（x－1）2＋（y＋2）2＝9 B.（x＋1）2＋（y－2）2＝9 C.（x＋1）2＋（y＋2）2＝9 D.（x－2）2＋（y－1）2＝9 解析：A　圆C1：（x－1）2＋（y－2）2＝9的圆心（1，2）关于x轴对称的点（1，－2），故圆C2的方程为（x－1）2＋（y＋2）2＝9.故选A. 5.〔一题多解〕过点A（1，－1），B（－1，1），且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是（　　） A.（x－3）2＋（y＋1）2＝4 B.（x＋3）2＋（y－1）2＝4 C.（x－1）2＋（y－1）2＝4 D.（x＋1）2＋（y＋1）2＝4 解析：C　法一　设圆心C的坐标为（a，b），半径为r.因为圆心C在直线x＋y－2＝0上，所以b＝2－a.又｜CA｜2＝｜CB｜2，所以（a－1）2＋（2－a＋1）2＝（a＋1）2＋（2－a－1）2，所以a＝1，b＝1，所以r＝2.所以方程为（x－1）2＋（y－1）2＝4. 法二　由已知条件得AB的垂直平分线方程l1：y＝x，由解得所以圆心坐标为（1，1），所以r2＝（1－1）2＋[1－（－1）]2＝4，所以圆的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝4. 6.〔多选〕过点A（1，－1）与B（－1，1）且半径为2的圆的方程可以为（　　） A.（x－3）2＋（y＋1）2＝4 B.（x－1）2＋（y－1）2＝4 C.（x＋1）2＋（y＋1）2＝4 D.（x＋3）2＋（y－1）2＝4 解析：BC　因为圆过点A（1，－1）与B（－1，1），所以圆心在线段AB的垂直平分线上，其中kAB＝＝－1，设圆心所在的直线为l，则kAB·kl＝－1，解得kl＝1，又因为A（1，－1）与B（－1，1）的中点坐标为（0，0），所以直线l为y＝x，设圆心坐标为（m，m），因为半径为2，所以圆的方程为（x－m）2＋（y－m）2＝4，代入A（1，－1）得（1－m）2＋（－1－m）2＝4，解得m＝±1，综上圆的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝4或（x＋1）2＋（y＋1）2＝4.故选B、C. 7.已知点A（2，1），B（－2，3），C（0，1），则△ABC的外接圆方程为　（x－1）2＋（y－4）2＝10　. 解析：设△ABC外接圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，因为A（2，1），B（－2，3），C（0，1）在圆上，所以解得因此△ABC外接圆的方程为（x－1）2＋（y－4）2＝10. 8.已知半径为1的圆C关于直线2x－y－4＝0对称，写出圆C的一个标准方程　（x－2）2＋y2＝1（答案不唯一）　. 解析：由题可知，圆C关于直线2x－y－4＝0对称，半径为1，则圆心C在直线2x－y－4＝0上，则当x＝2时，y＝0，所以当圆心C为（2，0）时，圆C的标准方程为（x－2）2＋y2＝1. 9.已知圆C：（x－2）2＋（y＋m－4）2＝1，当m变化时，圆C上的点到原点的最短距离是　1　. 解析：由题意可得，圆C的圆心坐标为（2，4－m），半径为1，圆C上的点到原点的最短距离是圆心到原点的距离减去半径1，即dmin＝－1，当m＝4时，dmin最小，此时dmin＝1. 10.已知圆过点A（1，－2），B（－1，4）. （1）求周长最小的圆的方程； （2）求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程. 解：（1）当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即圆心为线段AB的中点（0，1），半径r＝｜AB｜＝. 则所求圆的方程为x2＋（y－1）2＝10. （2）直线AB的斜率k＝＝－3， 即线段AB的垂直平分线的方程是y－1＝x，即x－3y＋3＝0. 由解得 即圆心的坐标是C（3，2）. ∴r2＝｜AC｜2＝（3－1）2＋（2＋2）2＝20. ∴所求圆的方程是（x－3）2＋（y－2）2＝20. 11.若直线l：ax＋by－5＝0（ab＞0）始终平分圆C：（x－3）2＋（y－2）2＝25的周长，则＋的最小值为　5　. 解析：∵直线l：ax＋by－5＝0（ab＞0）始终平分圆C：（x－3）2＋（y－2）2＝25的周长，∴圆心C（3，2）在直线l上，可得3a＋2b＝5，又ab＞0，∴a＞0，b＞0，则＋＝（3a＋2b）＝≥＝5，当且仅当a＝b＝1时等号成立.∴＋的最小值为5. 12.已知两点A（－1，0），B（0，2），点P是圆（x－1）2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值为　（4＋）　，最小值为　（4－）　. 解析：点A（－1，0），B（0，2）所在的直线方程为2x－y＋2＝0，圆（x－1）2＋y2＝1的圆心到直线的距离为＝，又｜AB｜＝，所以△PAB面积的最大值为××＝（4＋），最小值为××＝（4－）. 13.已知实数x，y满足y＝，则t＝的取值范围是　t≤－或t≥　. 解析：曲线y＝表示x2＋y2＝9（y≥0）的上半圆，t可以看成该上半圆上的动点P（x，y）与定点A（－1，－3）连线的斜率kAP，如图所示，A（－1，－3），B（3，0），C（－3，0），则kAB＝，kAC＝－，AQ⊥x轴，Q点在上半圆上，当动点P由Q点运动到C点时，－∞＜kAP≤kAC，当动点P由B点运动到Q点时，kAB≤kAP＜＋∞，所以t≤－或t≥. 14.已知圆C：（x－3）2＋（y－3）2＝10，直线l：x＋y－6＝0. （1）若从点M（4，1）发出的光线经过直线y＝－x反射，反射光线l1恰好平分圆C的圆周，求反射光线l1的一般方程； （2）若点Q在直线l上运动，A（4，0），B（0，4），求｜QA｜2＋｜QB｜2的最小值. 解：（1）因为l1恰好平分圆C的圆周，所以l1经过圆心C（3，3）， 设点M（4，1）关于直线y＝－x的对称点为N（x，y）， 则直线MN与直线y＝－x垂直，且线段MN的中点在y＝－x上， 即解得 所以N（－1，－4）， 所以直线CN即为直线l1，且＝kCN＝＝， 所以直线l1方程为y－3＝（x－3），即7x－4y－9＝0. （2）由点Q在直线l：x＋y－6＝0上，设Q（m，6－m），　 则｜QA｜2＋｜QB｜2＝（4－m）2＋（－6＋m）2＋（－m）2＋（4－6＋m）2＝4m2－24m＋56＝4（m－3）2＋20， 所以当m＝3时，｜QA｜2＋｜QB｜2取得最小值为20. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $