2.2.4 点到直线的距离(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版)

本讲义聚焦高中数学“点到直线的距离”核心知识点，从仓库到铁路的现实情境引入，先回顾点到坐标轴距离，再推导点到直线距离公式，扩展至两条平行直线间距离公式，通过点到直线距离、平行线间距离及综合应用题型形成完整学习支架。 该资料以情境化问题培养数学眼光（如仓库问题抽象为点线距离），通过问题链引导数学思维（从特殊到一般推导公式），以规范表达提升数学语言（公式应用及解题步骤）。含判断、一题多解等，课中助教师高效授课，课后助学生查漏补缺，强化知识应用。

2.2.4　点到直线的距离 课标要求 　　探索并掌握点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离（直观想象、数学运算）. 　　 在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知，从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短.将铁路看作一条直线l，仓库看作点P. 【问题】　（1）平面直角坐标系中，若点P（x0，y0），则点P到x轴，y轴的距离分别是多少？ （2）若已知直线l的方程和点P的坐标（x0，y0），如何求点P到直线l的距离？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　点到直线的距离与两条平行线间的距离 点到直线的距离 两条平行直线间的距离 定义 点到直线的垂线段的长度 夹在两条平行直线间公垂线段的长度 公式 点P0（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝　　 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0（C1≠C2）之间的距离 d＝　　 提醒：使用平行直线间的距离公式的前提有两点：一是直线方程为一般式；二是两直线方程中x，y的系数分别相同. 【想一想】 1.点到直线的距离公式对于A＝0或B＝0时的直线是否仍然适用？ 提示：仍然适用，但一般不用公式求解，而常用数形结合求点到直线的距离. 2.在使用点到直线的距离公式时，对直线方程的形式有何要求？ 提示：直线方程为一般式. 　　 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）当点P（x0，y0）在直线l：Ax＋By＋C＝0上时，点到直线的距离公式就不适用了.（　×　） （2）点P（x0，y0）到直线y＝kx＋b的距离为.（　×　） （3）直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离.（　√　） （4）连接两平行直线上任意两点，即得两平行直线间的距离.（　×　） 2.原点到直线x＋2y－5＝0的距离为（　　） A.1　 B. C.2　 D. 解析：D　d＝＝. 3.已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为（　　） A.1　 B. C.　 D.2 解析：B　由题意知l1，l2平行，则l1∥l2之间两直线的距离为＝. 4.若点A（－2，m）和B（m，4）到直线x－y－3＝0的距离相等，则m＝　1 　. 解析：由题意，可列式＝，得｜m＋5｜＝｜m－7｜，解得m＝1. 　　 题型一　点到直线的距离 （1）点P在x轴上，且到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为　（8，0）或（－12，0）　； （2）已知直线l经过点（－2，3），且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为　x＋2＝0或5x＋12y－26＝0　. 解析：（1）设点P的坐标为（x，0），则＝6，解得x＝8或x＝－12.∴点P的坐标为（8，0）或（－12，0）. （2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－2，符合原点到直线l的距离等于2；当直线l的斜率存在时，设所求直线l的方程为y－3＝k（x＋2），即kx－y＋2k＋3＝0，由原点到直线l的距离d＝＝2，得k＝－，即直线l的方程为5x＋12y－26＝0.综上，直线l的方程为x＋2＝0或5x＋12y－26＝0. 规律方法 1.应用点到直线的距离公式应注意的三个问题 （1）直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式； （2）点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用； （3）直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线（与坐标轴垂直），故也可用数形结合求解. 2.若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可. 3.根据距离求方程时先设出方程，然后由题意列方程求参数，也可以综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线l的特征，然后由已知条件写出l的方程. 1.〔一题多解〕点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）距离的最大值为（　　） A.1　　　　　　　　　 B. C.　 D.2 解析：B　法一　由点到直线的距离公式知点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）的距离d＝＝＝＝.当k＝0时，d＝1；当k≠0时，d＝＝，要使d最大，需k＞0且k＋最小，∴当k＝1时，dmax＝，故选B. 法二　记点A（0，－1），直线y＝k（x＋1）恒过点B（－1，0），当AB垂直于直线y＝k（x＋1）时，点A（0，－1）到直线y＝k（x＋1）的距离最大，且最大值为｜AB｜＝，故选B. 2.已知点A（1，－2），B（5，6）到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为　－2或－1　. 解析：∵A（1，－2），B（5，6）到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，∴＝，解得a＝－2或a＝－1. 题型二　两平行线间的距离 （1）已知直线l1：3x－4y＋7＝0与直线l2：6x－（m＋1）y＋1－m＝0平行，则l1与l2之间的距离为（　B　） A.1　 B.2 C.3　 D.4 （2）若直线l1：x＋2y－3＝0与直线l2：2x＋4y＋a＝0之间的距离为，则实数a＝　4或－16　. 解析：（1）∵直线l1与l2平行，∴＝≠，解得m＝7.∴l2的方程为3x－4y－3＝0，∴l1与l2之间的距离d＝＝2.故选B. （2）把l1：x＋2y－3＝0变形为l1：2x＋4y－6＝0，则＝，解得a＝4或－16. 规律方法 1.使用两平行直线间的距离公式时，直线的方程必须化为一般式，而且方程中x，y的系数分别对应相等，对于系数不同的方程，应先将系数化为相等后再求距离. 2.当两条直线都与x轴（或y轴）垂直时，可利用数形结合来求两直线间的距离. （1）两条直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝｜x2－x1｜； （2）两条直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝｜y2－y1｜. 1.已知A（－1，2），B（3，5），则与直线AB平行且距离为2的直线方程为（　　） A.3x－4y＋21＝0 B.3x－4y－1＝0 C.3x－4y＋21＝0或3x－4y＋1＝0 D.3x－4y－21＝0或3x－4y－1＝0 解析：C　由题意得kAB＝＝，直线AB的方程为y－2＝（x＋1），即3x－4y＋11＝0，设所求直线的方程为3x－4y＋m＝0（m≠11），则＝2，解得m＝1或m＝21，∴所求直线的方程为3x－4y＋1＝0或3x－4y＋21＝0.故选C. 2.已知两平行直线l1，l2分别过点P（－1，3），Q（2，－1），它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是（　　） A.（0，＋∞）　 B.[0，5] C.（0，5]　 D.[0，] 解析：C　当直线l1，l2与直线PQ垂直时，它们之间的距离d达到最大，此时d＝＝5，∴0＜d≤5. 题型三　距离的综合应用 已知△ABC的顶点C在直线l：x－y＋2＝0上运动，点A为（0，－2），点B为（2，0）. （1）求直线AB的方程； （2）△ABC的面积是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由. 解：（1）由A（0，－2），B（2，0）得kAB＝＝1，由点斜式方程得直线AB的方程为y－（－2）＝x－0，化简得x－y－2＝0. （2）△ABC的面积为定值. 因为kAB＝1＝kl，所以AB∥l.又点C在直线l：x－y＋2＝0上运动，所以点C到直线AB的距离为定值，即为两平行直线间的距离，所以点C到直线AB的距离d＝＝2，｜AB｜＝＝2，所以S△ABC＝｜AB｜·d＝×2×2＝4. 规律方法 求平行线间距离有关的最值问题的结论与方法 （1）重要结论：平行线间的距离是分别在两条直线上的两个动点之间距离的最小值； （2）数形结合：解决与平行线距离有关的最值或取值范围问题，通常利用图形帮助解决问题. 1.P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任一点，则｜PQ｜的最小值为　3　. 解析：6x＋8y＋6＝0可化为3x＋4y＋3＝0，则两直线平行，｜PQ｜的最小值即为两平行线之间的距离，故｜PQ｜min＝＝＝3. 2.若直线2x＋y－3＝0与直线4x＋2y＋a＝0之间的距离不大于，则实数a的取值范围是　[－16，4]　. 解析：直线2x＋y－3＝0可化为4x＋2y－6＝0，则两直线之间的距离d＝≤，即｜a＋6｜≤10，解得－16≤a≤4.所以实数a的取值范围为[－16，4]. 1.点（0，－1）到直线y＝x＋1的距离为（　　） A.1　 B. C.　 D.2 解析：B　（0，－1）到直线y＝x＋1的距离为d＝＝，故选B. 2.两平行直线l1：x－2y－＝0，l2：2x－4y＋3＝0之间的距离为（　　） A.　 B.3 C.　 D.2 解析：A　直线l1：x－2y－＝0⇔l1：2x－4y－2＝0，两平行直线之间的距离为d＝＝.故选A. 3.过点A（1，2）且与原点距离最大的直线方程是（　　） A.x＋2y－5＝0　 B.2x＋y－4＝0 C.x＋3y－7＝0　 D.x＋3y－5＝0 解析：A　设所求直线斜率为k，因为所求直线过点A（1，2）且与原点距离最大，则k×＝－1，解得k＝－，又因为其经过点A（1，2），故其方程为y－2＝－（x－1），整理得x＋2y－5＝0.故选A. 4.已知直线x＋ay＋2＝0和直线x－y－1＝0平行，则两条直线之间的距离为　　. 解析：由于直线x＋ay＋2＝0和直线x－y－1＝0平行，所以＝≠，解得a＝－1，所以两条直线之间的距离为＝. 　　 1.点P（1，－1）到直线l：3y＝2的距离是（　　） A.3　 B. C.1　 D. 解析：B　点P（1，－1）到直线l的距离d＝＝，故选B. 2.若点A（－2，6），B（12，6）到直线l的距离都等于7，则直线l的不同位置有（　　） A.1种　 B.2种 C.3种　 D.无数种 解析：C　由题意可得｜AB｜＝14，所以当直线l的斜率不存在时可得x＝5；当直线l的斜率为零时可得y＝13或y＝－1. 3.若两平行直线l1：ax＋8y＝0与l2：3x＋4y＋b＝0之间的距离是1，则a＋b＝（　　） A.－4或11　 B.－4或16 C.1或11　 D.1或16 解析：C　因为直线l1：ax＋8y＝0与l2：3x＋4y＋b＝0平行，所以4a＝3×8，解得a＝6，则直线l1：6x＋8y＝0，即为3x＋4y＝0.又l1与l2之间的距离是1，所以d＝＝1，解得b＝5或b＝－5，所以a＋b＝11或a＋b＝1.故选C. 4.若动直线l经过点P（1，3），当点Q（3，－3）到直线l的距离最远时，直线l的方程为（　　） A.3x＋y－6＝0　 B.3x＋y＋6＝0 C.x－3y＋8＝0　 D.x＋3y－10＝0 解析：C　∵直线l经过P（1，3），∴当Q（3，－3）与直线l的距离最远时有PQ⊥l，则PQ的斜率等于＝－3，故直线l的斜率等于，用点斜式求得直线l的方程为y－3＝（x－1），即x－3y＋8＝0.故选C. 5.已知点A（1，0），B（3，1），C为直线l：x－2y＋4＝0上一动点，则△ABC的面积为（　　） A.5　 B. C.　 D. 解析：D　因为直线AB的方程为＝，即x－2y－1＝0，则l∥AB，所以△ABC的边AB上的高为两平行线之间的距离d＝＝.又因为｜AB｜＝＝，所以S△ABC＝｜AB｜×d＝.故选D. 6.〔多选〕已知直线l过点P（3，4）且与点A（－2，2），B（4，－2）等距离，则直线l的方程可能是（　　） A.x＋2y＋2＝0　 B.2x－y－2＝0 C.2x＋3y－18＝0　 D.3x－2y＋18＝0 解析：BC　设所求直线的方程为y－4＝k（x－3），即kx－y－3k＋4＝0，由已知及点到直线的距离公式可得＝，解得k＝－或k＝2，即所求直线方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0，故选B、C. 7.若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上，则AB的中点M到原点的距离的最小值为　3 　. 解析：依题意，知l1∥l2，故点M所在的直线平行于l1和l2，可设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0（m≠－7且m≠－5），根据平行线间的距离公式，得＝⇒｜m＋7｜＝｜m＋5｜⇒m＝－6，即l：x＋y－6＝0，根据点到直线的距离公式，得点M到原点的距离的最小值为＝3. 8.已知平行直线l1：2x＋y－1＝0，l2：4x＋（2m－2）y＋m＝0，则l1与l2的距离是　　. 解析：因为l1∥l2，则2（2m－2）－1×4＝0，解得m＝2，此时l1：2x＋y－1＝0，l2：4x＋2y＋2＝0，即l2：2x＋y＋1＝0，所以l1与l2的距离是＝. 9.平行四边形ABCD的边AB和BC所在的直线方程分别是x＋y－1＝0，3x－y＋4＝0，对角线的交点是M（3，3），则平行四边形ABCD的面积为　50　. 解析：设直线CD为x＋y＋m＝0，M到直线CD的距离d等于M到直线AB的距离，所以d＝＝，解得m＝－11或m＝－1（舍去）.即m＝－11.直线CD为x＋y－11＝0.由得即B.由得即C，所以｜BC｜＝.M到BC的距离为h1＝＝，所以S＝｜BC｜·2h1＝×2×＝50. 10.已知直线l过点P（0，1），且分别与直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0交于B，A两点，线段AB恰被点P平分. （1）求直线l的方程； （2）设点D（0，m），且AD∥l1，求△ABD的面积. 解：（1）∵点B在直线l1上， ∴可设B（a，8－2a）. 又P（0，1）是AB的中点， ∴A（－a，2a－6）. ∵点A在直线l2上， ∴－a－3（2a－6）＋10＝0， 解得a＝4，即B（4，0）. 故直线l的方程是x＋4y－4＝0. （2）由（1）知A（－4，2）. 又AD∥l1，∴kAD＝＝－2，∴m＝－6. 点A到直线l1的距离d＝＝， ｜AD｜＝＝4， ∴S△ABD＝｜AD｜·d＝×4×＝28. 11.原点到直线l：3x＋4y－2＋λ（2x＋y＋2）＝0的距离的最大值为（　　） A.　 B.2 C.　 D. 解析：B　由可得所以直线l过定点A（－2，2），所以原点与点A（－2，2）的连线垂直于直线l，即点A（－2，2）为垂足时，原点到直线l的距离最大，所以原点到直线l距离最大值为｜OA｜＝＝2，故选B. 12.〔多选〕设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是方程x2＋2x＋c＝0的两个实根，且0≤c≤，则下列关于这两条直线之间的距离d的说法，正确的是（　　） A.d的最大值为2　 B.d的最大值为1 C.d的最小值为　 D.d的最小值为 解析：BC　因为a，b是方程x2＋2x＋c＝0的两个实根，所以a＋b＝－2，ab＝c，又因为0≤c≤，所以｜a－b｜＝＝∈[，2]，所以两条平行直线之间的距离d＝＝∈［，1］.故选B、C. 13.在平面直角坐标系xOy中，已知点P（cos θ，sin θ），θ∈R，则P到直线y＝x－2的距离的最大值为　3　. 解析：点P（cos θ，sin θ）到直线x－y－2＝0的距离d＝＝2＋sin（θ－）≤3，当且仅当θ－＝＋2kπ，k∈Z，即θ＝＋2kπ，k∈Z时取等号，所以所求最大值为3. 14.已知点P（2，－1）. （1）求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程； （2）求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，并求出最大距离； （3）是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由. 解：（1）过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为（2，－1），显然，过点P（2，－1）且垂直于x轴的直线满足条件，此时l的斜率不存在，其方程为x＝2. 若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k（x－2）， 即kx－y－2k－1＝0. 由已知得＝2，解得k＝. 此时直线l的方程为3x－4y－10＝0. 综上可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0. （2）作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图. 由l⊥OP，得kl·kOP＝－1， 因为kOP＝－，所以kl＝－＝2. 由直线方程的点斜式得y＋1＝2（x－2），即2x－y－5＝0. 所以直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为＝. （3）由（2）可知，过点P不存在与原点的距离超过的直线，因此不存在过点P且与原点的距离为6的直线. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $