2.2.3 两条直线的位置关系(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版)

本讲义聚焦高中数学“两条直线的位置关系”核心知识点，系统梳理用解方程组求交点坐标，依据斜率或方程系数判定平行、垂直的方法，以前期直线斜率、方程知识为支架，构建代数与几何位置关系的认知脉络。 资料以“飞机拉烟”情境引入，引导学生用数学眼光观察现实，通过一题多解、规律总结培养逻辑推理的数学思维，题型涵盖判断、计算等，助力学生用数学语言规范表达，课中便于教师分层教学，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

2.2.3　两条直线的位置关系 课标 要求 1.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标（数学运算）. 2.能根据直线的斜率或方程的系数判定两条直线平行或垂直（逻辑推理）. 　　 　　如图所示是人们平常所说的飞机拉烟…… 【问题】　每一道拉烟之间有怎样的位置关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　两条直线的位置关系 1.直线斜截式判定法 提醒：当两条直线都没有斜率时，它们互相平行或重合；当两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，它们互相垂直. 2.直线一般式判定法 【想一想】 1.l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是什么？ 提示：（1）两条直线的斜率都存在；（2）l1与l2不重合. 2.l1⊥l2⇔k1·k2＝－1成立的前提条件是什么？ 提示：（1）两条直线的斜率都存在；（2）k1≠0且k2≠0. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若直线l1与l2倾斜角相等，则l1∥l2.（　×　） （2）若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1.（　×　） （3）若直线l1的斜率为a，且l1⊥l2，则l2的斜率为－.（　×　） （4）若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行.（　√　） 2.直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是（　　） A.平行　　　　　　　　　 B.重合 C.相交但不垂直　 D.垂直 解析：D　设l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝－1. 3.直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是（　　） A.（4，1）　 B.（1，4） C.（，）　 D.（，） 解析：C　由方程组得即直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是（，）. 4.l1过点A（m，1），B（－3，4），l2过点C（0，2），D（1，1），且l1∥l2，则m＝　0　. 解析：∵l1∥l2，且k2＝＝－1，∴k1＝＝－1，∴m＝0. 　　 题型一　两条直线平行的判定与应用 （1）〔一题多解〕经过点（0，－1）且与直线2x＋3y－4＝0平行的直线的方程为（　A　） A.2x＋3y＋3＝0　　 B.2x＋3y－3＝0 C.2x＋3y＋2＝0　 D.3x－2y－2＝0 （2）直线ax＋2y－6＝0与直线x＋（a＋1）y＋a2－1＝0平行，则实数a的值为（　A　） A.1　 B.1或－2 C.－1　 D.－1或2 解析：（1）法一　∵直线2x＋3y－4＝0的斜率为－，∴与直线2x＋3y－4＝0平行的直线的斜率也为－，∴经过点（0，－1）且斜率为－的直线的方程为y＝－x－1，整理得2x＋3y＋3＝0.故选A. 法二　设与2x＋3y－4＝0平行的直线方程为2x＋3y＋C＝0，将（0，－1）代入得C＝3，∴所求直线为2x＋3y＋3＝0，故选A. （2）由题设a（a＋1）＝2，则a2＋a－2＝（a＋2）（a－1）＝0，所以a＝－2或a＝1，当a＝－2时，ax＋2y－6＝0为x－y＋3＝0，x＋（a＋1）y＋a2－1＝0为x－y＋3＝0，所以两直线重合，不符合意题；当a＝1时，直线分别为x＋2y－6＝0，x＋2y＝0，即两线平行，符合题意.故选A. 规律方法 1.判断两条不重合直线是否平行的步骤 提醒：在证明（判断）两直线平行时，要区分平行与重合，必须强调不共线才能确定平行，因为两直线重合也可以推出两条直线的斜率相等. 2.与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线可设为Ax＋By＋D＝0，将已知条件代入求出D，即可求出符合条件的直线方程. 1.“m＝－”是“两条直线x＋my－1＝0，（3m－2）x＋y－1＝0平行”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：C　当m＝－时，两条直线为3x－y－3＝0，3x－y＋1＝0，两直线平行，所以“m＝－”是“两条直线x＋my－1＝0，（3m－2）x＋y－1＝0平行”的充分条件；因为直线（3m－2）x＋y－1＝0的斜率存在且为2－3m，由两直线平行，所以x＋my－1＝0的斜率存在且为－，所以－＝2－3m，解得m＝1或m＝－，当m＝1时，直线方程均为x＋y－1＝0，此时直线重合，故m＝1不符合题意，舍去；所以“m＝－”是“两条直线x＋my－1＝0，（3m－2）x＋y－1＝0平行”的充要条件. 2.已知直线l1过点A（1，2），其方向向量为a1＝（k，2），直线l2过点B（2，1），其方向向量为a2＝（1－，k），若l1∥l2，则k＝（　　） A.－2　 B.1 C.－2或1　 D.0或2 解析：B　因为l1∥l2，所以a1∥a2，所以k2－2（1－）＝0，解得k＝1或－2，当k＝1时，两直线的斜率为2，此时kAB＝－1，满足题意；当k＝－2时，两直线的斜率为－1，此时kAB＝－1，即两直线重合，故舍去. 题型二　两条直线的交点坐标 （1）〔一题多解〕直线kx－y－1＝0与直线x＋2y－2＝0的交点在第四象限，则实数k的取值范围为（　A　） A.（－，）　 B.（－，0） C.（，＋∞）　 D.（－∞，－） （2）已知三条直线mx＋2y－8＝0，2x－y－10＝0，x＋y－2＝0相交于一点，则m＝　3　. 解析：（1）法一　由解得因为直线kx－y－1＝0与直线x＋2y－2＝0的交点在第四象限，所以解得－＜k＜，所以实数k的取值范围为（－，），故选A. 法二　直线kx－y－1＝0过（0，－1），画出直角坐标系如图，从图可知－＜k＜. （2）将2x－y－10＝0和x＋y－2＝0联立，解得x＝4，y＝－2，依题意，点（4，－2）在直线mx＋2y－8＝0上，解得m＝3. 规律方法 过两条直线交点的直线方程求法 　　求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.也可用过两条直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0，再根据其他条件求出待定系数，写出直线方程. 　　过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系有两种：①λ1（A1x＋B1y＋C1）＋λ2（A2x＋B2y＋C2）＝0可表示过l1、l2交点的所有直线；②A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0不能表示直线l2. 1.若直线ax＋by－11＝0与3x＋4y－2＝0平行，并且经过直线2x＋3y－8＝0和x－2y＋3＝0的交点，则a，b的值分别为（　　） A.－3，－4　 B.3，4 C.4，3　 D.－4，－3 解析：B　由得由题意得解得故选B. 2.〔一题多解〕直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y－1＝0，x－4y－6＝0的交点，则直线l的方程为（　　） A.2x＋y＝0　 B.x＋2y＝0 C.2x－y＝0　 D.x－2y＝0 解析：B　法一　联立方程解得所以两直线的交点为（2，－1），所以直线的斜率为＝－，则直线l的方程为y＝－x，即x＋2y＝0.故选B. 法二　设所求直线方程为（2x＋3y－1）＋λ（x－4y－6）＝0，由于直线过原点，所以将（0，0）代入得λ＝－，代入化简得x＋2y＝0.故选B. 题型三　两条直线垂直的判定与应用 （1）〔一题多解〕已知直线l过直线x－y＋2＝0和2x＋y＋1＝0的交点，且与直线x－3y＋2＝0垂直，则直线l的方程为（　A　） A.3x＋y＋2＝0　 B.3x－y＋2＝0 C.x＋3y＋2＝0　 D.x－3y＋2＝0 （2）已知直线l：x＋2y－1＝0，点A（a，1），B（2，3），若直线AB⊥l，则a的值为　1　. 解析：（1）法一　联立解得∴直线x－y＋2＝0和2x＋y＋1＝0的交点为（－1，1），又直线l和直线x－3y＋2＝0垂直，∴直线l的斜率为－3.则直线l的方程为y－1＝－3（x＋1），即3x＋y＋2＝0.故选A. 法二　联立得交点为（－1，1），设与x－3y＋2＝0垂直的直线方程为3x＋y＋D＝0，将（－1，1）代入将D＝2，∴l的方程为3x＋y＋2＝0.故选A. （2）∵直线l：x＋2y－1＝0的斜率为k＝－，又点A（a，1），B（2，3），直线AB⊥l，∴kAB·k＝－1，即·（－）＝－1，解得a＝1. 规律方法 1.判断两直线垂直的方法 （1）若所给的直线方程都是一般式方程，则运用条件，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0判断； （2）若所给的直线方程都是斜截式方程，则运用条件：l1⊥l2⇔k1·k2＝－1判断； （3）若所给的直线方程不是以上两种情形，则把直线方程化为一般式再判断. 2.求与已知直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线可设为Bx－Ay＋D＝0，将已知条件代入求出D，即可确定所求的直线方程. 1.两直线l1：x－2y＋3＝0，l2：mx＋y＋4＝0，若l1⊥l2，则实数m＝　2　. 解析：因为l1：x－2y＋3＝0，l2：mx＋y＋4＝0，且l1⊥l2，所以1×m－2×1＝0，解得m＝2. 2.〔一题多解〕经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程为　5x＋3y－1＝0　. 解析：法一　解方程组得l1，l2的交点坐标为（－1，2）.设垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程为5x＋3y＋C＝0，于是－5＋6＋C＝0，解得C＝－1，即直线l的方程为5x＋3y－1＝0. 法二　设经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点的直线系方程为3x＋2y－1＋λ（5x＋2y＋1）＝0，即（3＋5λ）x＋（2＋2λ）y＋λ－1＝0，由其垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0，得3（3＋5λ）－5（2＋2λ）＝0，得λ＝，即直线l的方程为5x＋3y－1＝0. 题型四　直线系过定点问题 无论m为何值，直线l：（m＋1）x－y－7m－4＝0恒过一定点P，求点P的坐标. 解：∵（m＋1）x－y－7m－4＝0， ∴m（x－7）＋（x－y－4）＝0， ∴∴∴点P的坐标为（7，3）. 规律方法 解含参数的直线恒过定点问题的策略 （1）任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解； （2）含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得.若整理成y－y0＝k（x－x0）的形式，则表示的所有直线必过定点（x0，y0）. 已知直线（a－2）y＝（3a－1）x－1，求证：无论a为何值，直线总经过第一象限. 证明：将直线方程整理为a（3x－y）＋（－x＋2y－1）＝0. 因为直线3x－y＝0与x－2y＋1＝0的交点为（，）， 即直线系恒过第一象限内的定点（，）， 所以无论a为何值，直线总经过第一象限. 　　 1.直线x＋ay－7＝0与直线（a＋1）x＋2y－14＝0平行，则a的值是（　　） A.1　 B.－2 C.1或－2　 D.－1或2 解析：B　由已知，得a（a＋1）－2＝0，解得a＝－2或a＝1.当a＝1时，两直线重合，∴a＝－2. 2.若（－1，－2）为直线2x＋3y＋a＝0与直线bx－y－1＝0的交点，则ab的值为（　　） A.8　 B.－8 C.9　 D.－9 解析：A　由题意得解得所以ab＝8.故选A. 3.过点A（1，2），且与直线2x－y＋3＝0垂直的直线l的方程是（　　） A.2x－y＝0　 B.2x＋y－4＝0 C.x－2y＋3＝0　 D.x＋2y－5＝0 解析：D　2x－y＋3＝0的斜率为2，故直线l的斜率为－，因为直线过A（1，2），故直线l的方程为y－2＝－（x－1），即x＋2y－5＝0.故选D. 4.已知直线（2m－4）x－（m＋3）y＋m＋8＝0经过定点P，则点P的坐标为　（，2）　. 解析：直线（2m－4）x－（m＋3）y＋m＋8＝0可化为－4x－3y＋8＋m（2x－y＋1）＝0，联立方程组解得所以定点P的坐标为（，2）. 　　 1.已知直线l1：ax＋（a＋2）y＋2＝0与l2：x＋ay＋1＝0平行，则实数a的值为（　　） A.－1或2　 B.0或2 C.2　 D.－1 解析：D　由l1∥l2知，a×a＝1×（a＋2），即a2－a－2＝0，∴a＝2或a＝－1.当a＝2时，l1与l2重合，不符合题意，舍去；当a＝－1时，l1∥l2.∴a＝－1. 2.两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为（　　） A.（－3，－2）　 B.（－2，－3） C.（2，3）　 D.（3，2） 解析：C　由解得所以两条直线l1与l2的交点坐标为（2，3）.故选C. 3.将一张坐标纸折叠一次，使点A（2，0）与B（－6，8）重合，则折痕所在直线方程是（　　） A.x－y－6＝0　 B.x＋y＋6＝0 C.x＋y－6＝0　 D.x－y＋6＝0 解析：D　因为＝－2，＝4，所以线段AB的中点坐标为（－2，4），又kAB＝＝－1，所以折痕所在直线的斜率为1，故折痕所在直线方程是y－4＝x＋2，即x－y＋6＝0.故选D. 4.经过两直线2x＋y－8＝0与x－2y＋1＝0的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是　（　　） A.x＋y＋1＝0或2x－3y＝0 B.x－y－1＝0或2x－3y＝0 C.x－y－1＝0 D.2x－3y＝0 解析：B　由求得可得两直线2x＋y－8＝0与x－2y＋1＝0的交点为（3，2）.当要求的直线经过原点时，直线的方程为y＝x，即2x－3y＝0.当要求的直线不经过原点时，设直线的方程为＋＝1，把（3，2）代入，可得3－2＝λ，∴λ＝1，此时，直线的方程为x－y－1＝0.综上可得，要求的直线方程为x－y－1＝0或2x－3y＝0.故选B. 5.〔多选〕下列结论正确的有（　　） A.直线l：x＋y＋1＝0在x轴上的截距为－1 B.如果AB＜0，BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过第三象限 C.过点（3，2）且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为x＋y－5＝0 D.直线kx＋y－2k－1＝0必定经过点（2，1） 解析：AD　直线l：x＋y＋1＝0中，令y＝0，得x＝－1，A正确；不妨设A＝1，B＝－1，C＝1，满足条件，此时直线方程为x－y＋1＝0，经过第一、二、三象限，B错误；当在x轴、y轴上截距均为0时，设直线方程为y＝kx，将（3，2）代入，故3k＝2，解得k＝，此时y＝x也满足在x轴、y轴上截距相等，C错误；直线kx＋y－2k－1＝0变形为y－1＝－k（x－2），故直线必定经过点（2，1），D正确. 6.〔多选〕直线3x－y＝0绕原点逆时针旋转90°，再向右平移m个单位（m∈N＋），所得到直线的方程可能为（　　） A.3x－y＋1＝0　 B.x＋3y－1＝0 C.x＋3y－3＝0　 D.x＋3y＋3＝0 解析：BC　∵直线3x－y＝0绕原点逆时针旋转90°，∴直线斜率互为负倒数，∵直线3x－y＝0的斜率为3，∴所求直线的斜率为－，∵向右平移m个单位，∴y＝－（x－m），即x＋3y－m＝0，又∵m∈N＋，结合选项可知选B、C. 7.〔一题多解〕已知直线l：x－2y－2＝0，则过点（0，1）与l平行的直线的方程是　x－2y＋2＝0　；过点（－1，3）与l垂直的直线的方程是　2x＋y－1＝0　. 解析：法一　直线l：x－2y－2＝0的斜率为，所以平行于直线l的直线的斜率等于，又因为直线经过点（0，1），故直线的斜截式方程为y＝x＋1，所求直线的一般式方程为x－2y＋2＝0.垂直于直线l的直线的斜率为－2，又因为直线经过点（－1，3），故直线的点斜式方程为y－3＝－2（x＋1），所求直线方程为2x＋y－1＝0. 法二　设平行于直线l的直线方程为x－2y＋c＝0（c≠－2），又因为直线经过点（0，1），得c＝2，所以所求直线方程为x－2y＋2＝0.设垂直于直线l的直线方程为2x＋y＋m＝0，又因为直线经过点（－1，3），得m＝－1，所以所求直线方程为2x＋y－1＝0. 8.直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，若l1⊥l2，则m＝　－2　；若l1∥l2，则m＝　2　. 解析：由一元二次方程根与系数的关系得k1·k2＝，若l1⊥l2，则＝－1，∴m＝－2.若l1∥l2则k1＝k2，即关于k的二次方程2k2－4k＋m＝0有两个相等的实根，∴Δ＝（－4）2－4×2×m＝0，∴m＝2. 9.已知A（1，0），B（3，2），C（0，4），点D满足AB⊥CD，且AD∥BC，则点D的坐标为　（10，－6）　. 解析：设点D的坐标为（x，y），由已知得，直线AB的斜率kAB＝1，直线CD的斜率kCD＝，直线CB的斜率kCB＝－，直线AD的斜率kAD＝，由AB⊥CD，且AD∥BC，得解得所以D的坐标为（10，－6）. 10.已知两直线l1：x＋my＋6＝0；l2：（m－2）x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，直线l1与l2： （1）相交； （2）平行； （3）重合. 解：∵直线l1：x＋my＋6＝0，直线l2：（m－2）x＋3y＋2m＝0， ∴A1＝1，B1＝m，C1＝6，A2＝m－2，B2＝3，C2＝2m. （1）若l1与l2相交，则A1B2－A2B1≠0，即1×3－m（m－2）≠0， 即m2－2m－3≠0，即（m－3）（m＋1）≠0，即m≠3，且m≠－1. 故当m≠3，且m≠－1时，直线l1与l2相交. （2）若l1∥l2，则有 即 即即∴m＝－1. 故当m＝－1时，直线l1与l2平行. （3）若l1与l2重合，则有即∴∴m＝3. 故当m＝3时，直线l1与l2重合. 11.（创新思维）数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点分别为A（1，3），B（2，4），C（3，2），则△ABC的欧拉线方程为（　　） A.x＋y－5＝0　 B.x＋y＋5＝0 C.x－y＋1＝0　 D.2x＋y－7＝0 解析：A　由题可知，△ABC的重心为G（2，3），可得直线AB的斜率为＝1，则AB边上高所在的直线斜率为－1，则方程为y＝－x＋5，直线AC的斜率为＝－，则AC边上高所在的直线斜率为2，则方程为y＝2x，联立方程可得△ABC的垂心为H，则直线GH斜率为＝－1，则可得直线GH方程为y－3＝－（x－2），故△ABC的欧拉线方程为x＋y－5＝0.故选A. 12.〔多选〕已知m∈R，若过定点A的动直线l1：x－my＋m－2＝0和过定点B的动直线l2：mx＋y＋2m－4＝0交于点P（P与A，B不重合），则以下说法正确的是（　　） A.A点的坐标为（2，1） B.PA⊥PB C.｜PA｜2＋｜PB｜2＝25 D.2｜PA｜＋｜PB｜的最大值为5 解析：ABC　因为l1：x－my＋m－2＝0可以转化为m（1－y）＋x－2＝0，故直线恒过定点A（2，1），故A正确；又因为l2：mx＋y＋2m－4＝0，即y－4＝－m（x＋2）恒过定点B（－2，4），由l1：x－my＋m－2＝0和l2：mx＋y－4＋2m＝0，满足1×m＋（－m）×1＝0，所以l1⊥l2，可得PA⊥PB，故B正确；所以｜PA｜2＋｜PB｜2＝｜AB｜2＝（2＋2）2＋（1－4）2＝25，故C正确；因为PA⊥PB，设∠PAB＝θ，θ为锐角，则｜PA｜＝5cos θ，｜PB｜＝5sin θ，所以2｜PA｜＋｜PB｜＝5（2cos θ＋sin θ）＝5sin（θ＋φ）， 所以当sin（θ＋φ）＝1时，2｜PA｜＋｜PB｜取最大值5， 故D错误.故选A、B、C. 13.已知三条直线l1：4x＋y＝4，l2：mx＋y＝0，l3：2x－3my＝4不能构成三角形，则m的集合是　{－1，－，，4}　. 解析：当直线l1：4x＋y＝4平行于l2：mx＋y＝0时，m＝4.当直线l1：4x＋y＝4平行于l3：2x－3my＝4时，m＝－，当l2：mx＋y＝0平行于l3：2x－3my＝4时，－m＝，无解.当三条直线经过同一个点时，把直线l1与l2的交点（，），代入l3：2x－3my＝4，得2×－3m×＝4，解得m＝－1或m＝，综上，满足条件的m的集合为.　 14.已知△ABC的顶点A（2，5），边AB上的中线CM所在直线方程为x＋2y－5＝0，边AC上的高BH所在直线过点（2，6），且直线BH的一个方向向量为（6，5）. （1）求顶点C的坐标； （2）求直线BC的方程. 解：（1）因为kBH＝，由AC⊥BH，则kAC＝－， 又A（2，5），利用直线的点斜式方程，可得直线AC的方程为：y－5＝－（x－2）， 即6x＋5y－37＝0，由解得故得点C（7，－1）. （2）设点B（x'，y'），因点M是AB的中点，则M（，）， 又点M在CM上，即＋2×－5＝0，即x'＋2y'＋2＝0， 因为直线BH的方程为y－6＝（x－2），即5x－6y＋26＝0，故有5x'－6y'＋26＝0， 由解得可得B（－4，1）， 又C（7，－1），故直线BC的方程为y－1＝－（x＋4）， 即直线BC的方程为2x＋11y－3＝0. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $