2.1 坐标法(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版)

本讲义聚焦坐标法核心知识点，系统梳理数轴上两点距离公式｜x1-x2｜、平面上两点距离公式√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]及中点坐标公式，通过从数轴到平面的递进，结合坐标法实现几何问题代数化，构建完整学习支架。 资料以笛卡尔观察蜘蛛捕食故事引入，问题驱动探究，题型分层设计（数轴距离计算、平面距离应用、坐标法证明），融入数学抽象（公式推导）、数学运算（距离求解）与逻辑推理（长方形线段关系证明）。课中助教师引导学生主动探究，课后练习题帮助学生巩固知识，查漏补缺。

2.1　坐标法 课标 要求 1.探索并掌握平面上两点间的距离公式（数学抽象）. 2.能用公式解决一些问题（数学运算）. 　　 　　数学家笛卡尔某天躺在床上静静地思考，思考着如何确定事物的位置，这时他发现苍蝇粘在蜘蛛网上，蜘蛛迅速爬过去把它捉住，笛卡尔此时恍然大悟…… 【问题】　（1）同学们能说出笛卡尔的新想法吗？ （2）若蜘蛛由位置A爬到位置B，如图所示，你能算出A，B两点间的距离吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　两类公式 类型 条件 中点坐标公式 距离公式 数轴上两点 A（x1），B（x2） ｜AB｜＝　｜x1－x2｜　 平面坐标系内两点 A（x1，y1）， B（x2，y2） （，） ｜AB｜＝　　 【想一想】 1.数轴的概念是什么？数轴上的点与实数有怎样的关系？ 提示：给定了原点、单位长度和正方向的直线是数轴，数轴上的点与实数是一一对应的. 2.两点间的距离公式中与两点的先后顺序有关吗？ 提示：无关. 知识点二　坐标法 通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过　代数运算　等解决问题的方法称为坐标法. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）点M（x）位于点N（2x）的左侧.（　×　） （2）平面解析几何中，点A与点B之间的距离表示为AB.（　×　） （3）已知A（3，0），B（0，－4），则AB的中点坐标为（，2）.（　×　） （4）点A（x1，y1），B（x2，y2），则｜AB｜＝.（　√　） 2.已知数轴上A（－4），B（3），则｜AB｜＝　7　. 3.已知A（3，0），B（－1，a），且AB中点M（1，2），则a＝　4　. 4.已知A（－2，3），B（－2，－3），则｜AB｜＝　6　. 　　 题型一　数轴上的点与实数间的关系 （1）若点P（x）位于点M（－2），N（3）之间，求x的取值范围； （2）试确定点A（a），B（b）的相对位置关系. 解：（1）由题意可知，点M（－2）位于点N（3）的左侧，且点P（x）位于点M（－2），N（3）之间，所以－2＜x＜3. （2）确定两点的位置关系，需要讨论实数a，b的大小关系：当a＞b时，点A（a）位于点B（b）的右侧；当a＜b时，点A（a）位于点B（b）的左侧；当a＝b时，点A（a）与点B（b）重合. 规律方法 　　数轴上的点与实数之间是一一对应的关系，所以点的坐标的大小决定彼此的相互位置，显然右边的点的坐标要大于左边的点的坐标. 　不在数轴上画点，判断下列各组点的位置关系： （1）A（－3.2），B（－2.3）； （2）A（m），B（m2＋1）； （3）A（｜a｜），B（a）. 解：（1）因为－2.3＞－3.2， 所以A（－3.2）位于B（－2.3）的左侧. （2）因为m2＋1－m＝（m－）2＋≥＞0，所以m2＋1＞m， 所以B（m2＋1）位于A（m）的右侧. （3）当a≥0时，｜a｜＝a，则A（｜a｜）和B（a）为同一个点. 当a＜0时，｜a｜＞a，则A（｜a｜）位于B（a）的右侧. 题型二　两点间的距离公式 角度1　数轴上两点间的距离 已知数轴上点A，B，P的坐标分别为－1，3，x.当点P与点B的距离是点P与点A的距离的3倍时，求点P的坐标x. 解：由题意知，｜PB｜＝3｜PA｜，即｜x－3｜＝3｜x＋1｜， 则（x－3）2＝9（x＋1）2，解得x1＝－3，x2＝0， 所以点P的坐标为－3或0. 【母题探究】 1.（变条件）本例中若点P到点A和点B的距离都是2，求点P的坐标x，此时点P与线段AB有着怎样的关系？ 解：由题意知｜PA｜＝｜PB｜＝2， 即解得x＝1. 此时点P的坐标为1，显然此时P为线段AB的中点. 2.（变设问）本例中在线段AB上是否存在点P（x），使得点P到点A和点B的距离都是3？若存在，求出点P的坐标x；若不存在，请说明理由. 解：不存在这样的点P（x）. 因为d（A，B）＝｜3＋1｜＝4，要使点P在线段AB上，且d（P，A）＝d（P，B）＝3，则d（A，B）＝d（P，A）＋d（P，B）＝6，这是不可能的. 规律方法 求数轴上两点间距离的方法 （1）直接法：已知数轴上两点坐标A（xA），B（xB），则A，B两点间的距离d（A，B）＝｜xB－xA｜； （2）向量法：已知数轴上两点坐标A（xA），B（xB），向量的坐标为＝xB－xA，则d（A，B）＝｜｜（向量的模）. 1.已知数轴上不同的两点A，B，若点B的坐标为3，且A，B两点间的距离d（A，B）＝5，则点A的坐标为（　　） A.8　 B.－2　　 C.－8　 D.8或－2 解析：D　记点A（x1），B（x2），则x2＝3.d（A，B）＝｜AB｜＝｜x2－x1｜＝5，即｜3－x1｜＝5，解得x1＝－2或x1＝8.故选D. 2.数轴上点M，N，P的坐标分别为3，－1，－5，则｜MP｜＋｜PN｜＝（　　） A.－4　 B.4 C.－12　 D.12 解析：D　｜MP｜＋｜PN｜＝｜－5－3｜＋｜－5－（－1）｜＝12. 角度2　平面上两点间距离公式的应用 已知△ABC的三个顶点坐标是A（－3，1），B（3，－3），C（1，7）. （1）判断△ABC的形状； （2）求△ABC的面积. 解：（1）∵｜AB｜＝＝2， ｜AC｜＝＝2， 又｜BC｜＝＝2， ∴｜AB｜2＋｜AC｜2＝｜BC｜2且｜AB｜＝｜AC｜， ∴△ABC是等腰直角三角形. （2）△ABC的面积S△ABC＝｜AC｜·｜AB｜＝×2×2＝26. 规律方法 应用两点之间的距离公式的一般思路 （1）对于两点之间的距离公式中的五个量x1，y1，x2，y2，d，可“知四求一”，直接应用公式解决求距离问题或逆用公式解决求参数问题； （2）利用两点之间的距离公式可以证明三点共线，由三点坐标计算出三条线段的长度，根据两条线段的长度之和等于第三条线段的长度即可证明； （3）利用两点之间的距离公式可以判断三角形的形状，从三边长入手，根据边长相等判断是等腰或等边三角形，根据勾股定理可判断是否为直角三角形. 　已知以点A（－3，y）与点B（x，2）为端点的线段的中点C在x轴上，O为原点. （1）若｜OC｜＝1，求点C的坐标； （2）当｜AC｜取最小值时，求点A关于点C的对称点的坐标. 解：由中点公式，得点C的坐标为（，），由于点C在x轴上，所以y＝－2，即A（－3，－2）. （1）因为｜OC｜＝1，所以｜｜ ＝1，解得x＝5或x＝1，即点C的坐标为（－1，0）或（1，0）. （2）因为｜AC｜＝＝，所以当x＝－3时，｜AC｜有最小值2，所以C（－3，0）.所以点A关于点C的对称点的坐标为（－3，2）. 题型三　坐标法的应用 用坐标法证明：如果四边形ABCD是长方形，而对任一点M，等式｜AM｜2＋｜CM｜2＝｜BM｜2＋｜DM｜2成立. 证明：取长方形ABCD的两条互相垂直的边AB，AD所在的直线分别为x，y轴， 建立平面直角坐标系，如图所示. 设长方形ABCD的四个顶点为A（0，0），B（a，0），C（a，b），D（0，b）. 在平面上任取一点M（m，n），则｜AM｜2＋｜CM｜2＝m2＋n2＋（m－a）2＋（n－b）2， ｜BM｜2＋｜DM｜2＝（m－a）2＋n2＋m2＋（n－b）2，所以｜AM｜2＋｜CM｜2＝｜BM｜2＋｜DM｜2. 规律方法 坐标法解决问题的一般步骤 （1）建立适当的平面直角坐标系； （2）设出已知点的坐标，求出未知点的坐标； （3）利用已学的坐标公式列出方程（组），通过计算得出代数结论； （4）反演回去，得到几何问题的结论. 用图表示，如图 提醒：建立适当的平面直角坐标系对简化计算很重要，应遵循以下原则： ①要使尽可能多的已知点落在坐标轴上，这样便于计算； ②如果图形中有互相垂直的两条线，可以考虑将其作为坐标轴； ③如果图形具有中心对称性，可以考虑将图形的对称中心作为坐标原点； ④如果图形具有轴对称性，可以考虑将对称轴作为坐标轴. 　已知△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，建立适当的平面直角坐标系，证明：｜AE｜＝｜CD｜. 证明：如图所示，以B为坐标原点，取AC所在的直线为x轴，以垂直于AC且经过B点的直线为y轴，建立平面直角坐标系. 设△ABD和△BCE的边长分别为a和c， 则A（－a，0），E（，），C（c，0），D（－，）， 则｜AE｜＝ ＝＝， ｜CD｜＝ ＝＝， 所以｜AE｜＝｜CD｜. 　　 1.已知数轴上A，B两点的坐标分别为，－，则｜AB｜＝（　　） A.0　 B.－ C.　 D. 解析：C　｜AB｜＝＝. 2.已知A，B都是数轴上的点，A（3），B（－a），且的坐标为4，则a＝（　　） A.－1　　 B.－7　　　 C.4　　 D.－4 解析：B　由题意，向量的坐标为终点B的坐标减去起点A的坐标，即－a－3＝4，解得a＝－7.故选B. 3.已知不同的两点P（a，－b），Q（b＋1，a－1）关于点（3，4）对称，则ab的值为（　　） A.－14　 B.14　　 C.12　 D.－12 解析：A　由题意知即解得故ab＝－14.故选A. 4.在x轴上找一点M，使点M到点A（1，2）和点B（5，－2）的距离相等，则M的坐标为　（3，0）　. 解析：设M（t，0），由题意可知，｜MA｜＝｜MB｜，故＝，解得t＝3，故M的坐标为（3，0）. 　　 1.已知A，B都是数轴上的点，A（3），B（－1），则向量的坐标为（　　） A.4　　　 B.－4　　　 C.±4　 D.2 解析：B　由题意，根据向量的运算＝－，所以向量的坐标等于终点B的坐标减去起点A的坐标，即－1－3＝－4.故选B. 2.已知A（3，1），B（2，4），C（1，5），且点A关于点B的对称点为D，则｜CD｜＝（　　） A.2　 B.4　　 C.　 D. 解析：A　由题意，设D（x，y），则∴∴D（1，7）.∴｜CD｜＝＝2，故选A. 3.在平面直角坐标系中，点M在第四象限，到x轴、y轴的距离分别为6、4，则点M的坐标为（　　） A.（4，－6）　 B.（－4，－6）　　 C.（6，－4）　 D.（－6，－4） 解析：A　因为点M在第四象限，所以其横、纵坐标分别为正数、负数，又因为点M到x轴的距离为6，到y轴的距离为4，所以点M的坐标为（4，－6）.故选A. 4.在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝（　　） A.2　 B.4　　 C.5　 D.10 解析：D　如图，以C为原点，CB，CA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系.设A（0，a），B（b，0），则D（，），P（，），由两点间的距离公式可得｜PA｜2＝＋，｜PB｜2＝＋，｜PC｜2＝＋.所以＝＝10. 5.〔多选〕若平行四边形的三个顶点坐标为（3，－2），（5，2），（－1，4），则第四个顶点坐标可能是（　　） A.（9，－4）　 B.（1，8）　　 C.（1，－3）　 D.（－3，0） 解析：ABD　设第四个顶点坐标为（x，y），则有三种可能：①若（3，－2），（5，2）是一条对角线的两个端点，则有＝，＝，所以x＝9，y＝－4，即第四个顶点坐标为（9，－4）；②若（5，2），（－1，4）是一条对角线的两个端点，同理可求第四个顶点坐标为（1，8）；③若（3，－2），（－1，4）是一条对角线的两个端点，则第四个顶点坐标为（－3，0）.故选A、B、D. 6.数轴上点P（x），A（－8），B（－4），若｜PA｜＝2｜PB｜，则x＝　0或－　. 解析：∵｜PA｜＝2｜PB｜，∴｜x＋8｜＝2｜x＋4｜，解得x＝0或－. 7.设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P（2，－1），则｜AB｜＝　2　. 解析：设A（x，0），B（0，y），∵AB中点P（2，－1），∴＝2，＝－1，∴x＝4，y＝－2，即A（4，0），B（0，－2），∴｜AB｜＝＝2. 8.若A（－，－7），B（2，6）是平行四边形ABCD的两个顶点，AC与BD交于点E（3，），则C，D的坐标分别为　（，10），（4，－3）　. 解析：由题意，E为AC，BD的中点，不妨设C（x，y），D（a，b），由中点坐标公式得∴即C（，10），同理，∴即D（4，－3）. 9.若动点P的坐标为（x，1－x），x∈R，则动点P到原点的距离的最小值为　　. 解析：｜OP｜＝＝＝，∴当x＝时，｜OP｜min＝＝. 10.已知A（6，1），B（0，－7），C（－2，－3）. （1）求证：△ABC是直角三角形； （2）求△ABC的外心的坐标. 解：（1）证明：｜AB｜2＝（0－6）2＋（－7－1）2＝100， ｜BC｜2＝（－2－0）2＋（－3＋7）2＝20， ｜AC｜2＝（－2－6）2＋（－3－1）2＝80. 因为｜AB｜2＝｜BC｜2＋｜AC｜2，所以∠C＝90°， 故△ABC为直角三角形. （2）由（1）可知△ABC为直角三角形，所以其外心是斜边AB的中点，所以外心坐标为，即（3，－3）. 11.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事修.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如可以转化为平面上点M（x，y）与点N（a，b）的距离.结合上述观点，可得－的最大值为（　　） A.1　 B.3 C.　 D.2 解析：C　－＝－，可转化成x轴上一点P（x，0）到点M（1，2）的距离与到点N（0，1）的距离之差.｜PM｜－｜PN｜≤｜MN｜＝＝，所以－的最大值为. 12.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离是（　　） A.1＋　 B. C.3　 D. 解析：A　如图，取AC的中点D，连接BD，OD，∵∠ACB＝90°，∴｜OD｜＝｜AC｜＝1，BD＝＝，由图可知｜BO｜≤｜BD｜＋｜DO｜＝＋1，当B，O，D三点共线时，等号成立，所以点B到原点O的最大距离是＋1.故选A. 13.〔多选〕对于，下列说法正确的是（　　） A.可看作点（x，0）与点（1，2）的距离 B.可看作点（x，0）与点（－1，－2）的距离 C.可看作点（x，0）与点（－1，2）的距离 D.可看作点（x，－1）与点（－1，1）的距离 解析：BCD　由题意，可得＝＝＝，可看作点（x，0）与点（－1，－2）的距离，可看作点（x，0）与点（－1，2）的距离，可看作点（x，－1）与点（－1，1）的距离，故选项A不正确，故选B、C、D. 14.如图，点P为正方形ABCD内一点，且满足∠PAB＝∠PBA＝15°，用坐标法证明△PCD为等边三角形. 解：以点P为坐标原点，、的方向分别为x、y轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系， 设正方形ABCD的边长为2，则B（1，－tan 15°），C（1，2－tan 15°），D（－1，2－tan 15°）， 因为tan 15°＝tan（60°－45°）＝＝＝2－， 则C（1，），D（－1，）， 所以｜PC｜＝＝2，同理可得｜PD｜＝｜CD｜＝2，因此△PCD为等边三角形. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $