1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版)

本讲义聚焦空间向量的坐标与空间直角坐标系核心知识点，从平面向量坐标运算自然过渡，系统讲解空间向量正交分解及坐标表示、线性运算与数量积的坐标公式，建立空间直角坐标系并推导两点间距离公式，构建完整学习支架。 以飞机航线定位问题引入，培养用数学眼光观察现实世界的意识，通过类比平面向量发展数学思维，设置坐标运算、平行垂直等题型及规律总结，助力用数学语言表达空间关系。课中辅助教师高效授课，课后帮助学生巩固知识、弥补薄弱环节。

1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 课标 要求 1.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示（直观想象）. 2.掌握空间向量线性运算的坐标表示（数学运算）. 3.掌握空间向量数量积的坐标表示，并利用数量积判断两向量的共线与垂直（数学运算、直观想象）. 4.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性， 会用空间直角坐标系刻画点的位置（直观想象）. 5.借助特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式（数学运算）. 　　 　　飞机的飞行速度非常快，有很多飞机时速都在1 000 km以上，而全世界飞机这么多，这些飞机在空中风驰电掣，速度是如此的快，岂不是很容易撞机吗？但事实上，飞机的失事率是极低的，比火车、汽车要低得多，原因是飞机都是沿着国际统一划定的航线飞行，而在划定某条航线时，不仅要指出航线在地面上的经度和纬度，还要指出航线距离地面的高度. 【问题】　（1）只给飞机所在位置的经度和纬度，能确定飞机的位置吗？ （2）要确定飞机的位置，还需要知道什么？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　空间向量的坐标及运算 1.空间向量的坐标 （1）单位正交基底：如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，且这三个向量两两　垂直　； （2）单位正交分解：在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解； （3）向量p的坐标：在单位正交基底下向量p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组　（x，y，z）　为向量p的坐标，记作p＝　（x，y，z）　.其中x，y，z都称为p的坐标分量. 2.空间向量的运算与坐标的关系 设a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），则 （1）a＋b＝　（x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2）　； （2）μa＋vb＝　（μx1＋vx2，μy1＋vy2，μz1＋vz2）　； （3）a·b＝　x1x2＋y1y2＋z1z2　； （4）｜a｜＝＝； （5）cos＜a，b＞＝ ＝ . 3.空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直 设a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），则 （1）a∥b⇔a＝λb⇔　x1＝λx2　且　y1＝λy2　且　z1＝λz2　（λ∈R）； （2）a⊥b⇔　a·b＝0　⇔　x1x2＋y1y2＋z1z2＝0　. 提醒：空间向量坐标运算实质上是平面向量坐标运算的推广（只是在平面向量坐标的基础上增加了一个竖坐标），与平面向量的坐标运算相比，空间向量的坐标运算适用范围更广，它可以解决立体几何中的相关问题. 【想一想】 　若a＝xe1＋ye2＋ze3，则a的坐标一定是（x，y，z）吗？ 提示：不一定，当e1，e2，e3是单位正交基底时，坐标是（x，y，z），否则不是. 知识点二　空间直角坐标系 1.空间直角坐标系 （1）空间直角坐标系：在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz； （2）相关概念：　点O　叫作坐标原点，　x轴，y轴，z轴　叫作坐标轴.通过　每两个坐标轴　的平面叫作坐标平面，分别称为　xOy　平面、　yOz　平面、　zOx　平面. 提醒：在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°（或45°），∠yOz＝90°，所以三个坐标平面把空间分成八个部分. 2.空间向量坐标的应用 若A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2）. （1）AB＝｜｜＝　　； （2）若M为线段AB的中点，M的坐标为　（，，）　. 【想一想】 　坐标平面与坐标轴上的点的坐标有什么特征？ 提示：（1）xOy平面是坐标形如（x，y，0）的点构成的点集；yOz平面是坐标形如（0，y，z）的点构成的点集；xOz平面是坐标形如（x，0，z）的点构成的点集.其中x，y，z为任意的实数； （2）x轴是坐标形如（x，0，0）的点构成的点集；y轴是坐标形如（0，y，0）的点构成的点集；z轴是坐标形如（0，0，z）的点构成的点集.其中x，y，z∈R. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）空间直角坐标系中，向量的坐标与终点B的坐标相同.（　×　） （2）空间直角坐标系中，在Ozx平面内的点的坐标一定是（a，0，c）的形式.（　√　） （3）空间直角坐标系中，点（1，，2）关于Oyz平面的对称点为（－1，，2）.（　√　） （4）设a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），若a∥b，则＝＝.（　×　） 2.已知a＝（1，－2，1），a＋b＝（－1，2，－1），则b＝（　　） A.（2，－4，2）　　　　　 B.（－2，4，－2） C.（－2，0，－2）　 D.（2，1，－3） 解析：B　b＝（a＋b）－a＝（－1，2，－1）－（1，－2，1）＝（－2，4，－2）. 3.已知向量a＝（－2，x，2），b＝（2，1，2），c＝（4，－2，1），若a⊥（b－c），则x的值为（　　） A.－2　 B.2 C.3　 D.－3 解析：A　∵b－c＝（－2，3，1），∴a·（b－c）＝4＋3x＋2＝0，∴x＝－2. 4.设A（3，2，1），B（1，0，5），C（0，2，1），AB的中点为M，则｜｜＝　3　. 解析：由题意，得AB的中点M（2，1，3），所以｜｜＝＝3. 　　 题型一　空间向量的坐标运算 （1）已知a＝（－1，2，1），b＝（2，0，1），则（2a＋3b）·（a－b）＝　－4　； （2）若2a－b＝（2，－4，3），a＋2b＝（1，3，－1），则cos＜a，b＞＝　－　. 解析：（1）易得2a＋3b＝（4，4，5），a－b＝（－3，2，0），则（2a＋3b）·（a－b）＝4×（－3）＋4×2＋5×0＝－4. （2）设a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），由题设可得解得同理可得y1＝－1，y2＝2，z1＝1，z2＝－1，即a＝（1，－1，1），b＝（0，2，－1），则a·b＝0－2－1＝－3，｜a｜＝，｜b｜＝，所以cos＜a，b＞＝＝－. 规律方法 关于空间向量坐标运算的两类问题 （1）直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算； （2）由条件求向量或点的坐标：首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程组求出其坐标. 1.若向量a＝（1，－1，2），b＝（2，1，－3），则｜2a＋b｜＝（　　） A.　 B.2 C.3　 D.3 解析：D　由于向量a＝（1，－1，2），b＝（2，1，－3），所以2a＋b＝（4，－1，1），所以｜2a＋b｜＝＝3. 2.〔一题多解〕已知O是坐标原点，且A，B，C三点的坐标分别是（2，－1，2），（4，5，－1），（－2，2，3），则适合条件＝（－）的点P的坐标为　（5，，0）　. 解析：法一（直接法）　因为＝（－），所以－＝，＝＋（－）＝（2，－1，2）＋[（4，5，－1）－（－2，2，3）]＝（5，，0），所以点P的坐标为（5，，0）. 法二（间接法）　设P（x，y，z），则＝（x－2，y＋1，z－2）.因为＝（－）＝（3，，－2），所以解得则点P的坐标为（5，，0）. 题型二　空间中点的坐标确定及应用问题 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E，F，G，H的坐标.并求GH的长度. 解：建立如图所示的空间直角坐标系.点E在z轴上，它的x坐标，y坐标均为0，而E为DD1的中点， 故其坐标为（0，0，）. 过F作FM⊥AD于点M，FN⊥DC于点N，由平面几何知FM＝，FN＝，则F点坐标为（，，0）. 点G在y轴上，其x，z坐标均为0，又GD＝，故G点坐标为（0，，0）. 过H作HK⊥CG于点K，由于H为C1G的中点，故HK＝，CK＝. ∴DK＝，故H点坐标为（0，，）. ｜GH｜＝＝. 规律方法 1.建立空间直角坐标系时应遵循的原则 （1）让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内； （2）充分利用几何图形的对称性. 2.求某点的坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影（或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号），确定第三个坐标. 3.利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤 如图，建立空间直角坐标系Oxyz.正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，顶点A位于坐标原点. （1）若E是棱B'C'的中点，F是棱B'B的中点，G是侧面CDD'C'的中心，则分别求出向量，，的坐标； （2）在（1）的条件下，分别求出（＋）·，｜｜的值. 解：（1）因为E是棱B'C'的中点，F是棱B'B的中点，G是侧面CDD'C'的中心， 所以O（0，0，0），E（1，，1），F（1，0，），G（，1，）. 所以＝（1，，1），＝（1，0，），＝（，1，），＝－＝（－，1，0）. （2）由（1）可得（＋）·＝（，，）·（－，1，0）＝×（－）＋×1＋×0＝. ＝（－，，－）， 所以｜｜＝＝. 题型三　空间向量的平行与垂直 已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4），设a＝，b＝. （1）若｜c｜＝3，c∥.求c； （2）若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k. 解：（1）因为＝（－2，－1，2），且c∥， 所以设c＝λ＝（－2λ，－λ，2λ）， 得｜c｜＝＝3｜λ｜＝3， 解得λ＝±1.即c＝（－2，－1，2）或c＝（2，1，－2）. （2）因为a＝＝（1，1，0），b＝＝（－1，0，2）， 所以ka＋b＝（k－1，k，2），ka－2b＝（k＋2，k，－4）. 又因为（ka＋b）⊥（ka－2b）， 所以（ka＋b）·（ka－2b）＝0. 即（k－1，k，2）·（k＋2，k，－4）＝2k2＋k－10＝0. 解得k＝2或k＝－.故所求k的值为2或－. 【母题探究】 （变条件）若将本例（1）中“c∥”改为“c⊥a且c⊥b”，求c. 解：a＝＝（1，1，0），b＝＝（－1，0，2）. 设c＝（x，y，z）. 由题意得 解得x＝2，y＝－2，z＝1或x＝－2，y＝2，z＝－1， 即c＝（2，－2，1）或c＝（－2，2，－1）. 规律方法 判断空间向量垂直或平行的步骤 （1）向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行； （2）向量关系代数化：写出向量的坐标； （3）对于a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），根据两向量坐标间的关系判断两向量是否垂直；根据x1＝λx2且y1＝λy2且z1＝λz2（λ∈R）或＝＝（x2，y2，z2都不为0）判断两向量是否平行.根据x1x2＋y1y2＋z1z2＝0判断两向量是否垂直. 　　由空间向量垂直或平行求值只需根据垂直或平行的条件建立方程（组）求解即可. 1.已知向量a＝（－2，3，－1），b＝（4，m，n），且a＝tb，其中m，n∈R，则m＋n＝（　　） A.4　 B.－4 C.2　 D.－2 解析：B　因为向量a＝（－2，3，－1），b＝（4，m，n），且a＝tb，可得a∥b，所以＝＝可得所以m＋n＝－6＋2＝－4，故选B. 2.（2026·沈阳联考）已知向量a＝（1，m，－1），b＝（1，－1，1），若（a＋b）⊥b，则m＝（　　） A.4　 B.3 C.2　 D.－1 解析：B　因为a＝（1，m，－1），b＝（1，－1，1），所以a＋b＝（2，m－1，0），又因为（a＋b）⊥b，所以（a＋b）·b＝2×1＋（m－1）×（－1）＋0×1＝0，解得m＝3.故选B. 题型四　利用坐标运算解决空间向量的夹角、距离问题 如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点.求： （1）BN的长； （2）cos＜，＞的值. 解：如图，以，，所在的直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz. 则C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），A1（1，0，2），B1（0，1，2），N（1，0，1）， （1）＝（1，－1，1），∴｜｜＝＝，即｜BN｜＝. （2）＝（1，－1，2），＝（0，1，2）， ∴cos＜，＞＝ ＝ ＝＝. 规律方法 1.利用向量数量积的坐标求两向量夹角的步骤 （1）根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系； （2）利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标； （3）利用向量数量积的坐标公式求得向量的夹角. 2.利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤 （1）建立适当的空间直角坐标系； （2）求出线段端点的坐标； （3）利用向量的模长公式（或两点间的距离公式）求出线段的长. 　如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1，A1C的中点E到AB的中点F的距离为（　　） A.2　　　　 B. C.2　 D.1 解析：B　在空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，∴A1（2，0，2），C（0，2，0），∴A1C的中点E（1，1，1），A（2，0，0），B（2，2，0），∴AB的中点F（2，1，0），∴A1C的中点E到AB的中点F的距离为｜EF｜＝＝.故选B. 　向量概念的推广 　　 我们已经知道，（1）直线l以及这条直线上一个单位向量e，对于直线l上的任意一个向量a，一定存在唯一的实数x，使得a＝xe，此时称x为向量a在直线l上的坐标，直线上的向量又称为一维向量，用该坐标x即可表示a的方向，又可以求得｜a｜；　 （2）平面向量a可以用含两个实数的有序实数对（x，y）表示，即a＝（x，y），（x，y）称为平面向量a的坐标，此时的向量又称为二维向量，用该坐标可以表示a的方向，也可求｜a｜； （3）空间向量a可用含三个实数的有序实数组（x，y，z）表示，即a＝（x，y，z），（x，y，z）称为空间向量a的坐标，此时的向量a称为三维向量，用该向量的坐标可以表示a的方向，也可求｜a｜. 【问题探究】 向量的概念可由一维推广到二维、三维向量，那么对于现实生活中的实际问题，涉及到需要四个或四个以上的量来表示，此时向量的概念是否可以再进一步推广？ 结论：用n元有序实数组（a1，a2，…，an）表示n维向量，它构成了n维空间，a＝（a1，a2，…，an ）. 对于n维空间的向量也可以定义加、减、数乘、数量积及模运算. 设a＝（a1，a2，…，an），b＝（b1，b2，…，bn）， 那么a±b＝（a1±b1，a2±b2，…，an±bn）， λa＝λ（a1，a2，…，an）＝（λa1，λa2，…，λan），λ∈R， a·b＝（a1，a2，…，an）·（b1，b2，…，bn）＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn， ｜a｜＝， n维空间中A（a1，a2，…，an），B（b1，b2，…，bn）两点间的距离｜AB｜＝. 【迁移应用】 　设a＝（a1，a2，a3，a4，…，an），b＝（b1，b2，b3，b4，…，bn）（n∈N且n≥2），规定向量a与b夹角θ的余弦为cos θ＝.当a＝（1，1，1，1，…，1），b＝（－1，－1，1，1，…，1）时，cos θ＝（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：D　因为a＝（a1，a2，a3，a4，…，an），b＝（b1，b2，b3，b4，…，bn）， aibi＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn＝1×（－1）＋1×（－1）＋1×1＋…＋1×1＝n－4， ＝＋＋＋…＋＝12＋12＋12＋…＋12＝n， ＝＋＋＋…＋＝12＋12＋12＋…＋12＝n，所以cos θ＝＝，故选D. 1.已知向量a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2），则3a＋b＝（　　） A.（－2，－3，－2）　 B.（2，3，2） C.（－2，3，2）　 D.（4，3，2） 解析：B　3a＋b＝3（1，1，0）＋（－1，0，2）＝（3，3，0）＋（－1，0，2）＝（2，3，2）. 2.在空间直角坐标系中，点P（1，3，－5）关于平面xOy对称的点的坐标是（　　） A.（－1，3，－5）　 B.（1，3，5） C.（1，－3，5）　 D.（－1，－3，5） 解析：B　P（1，3，－5）关于平面xOy对称的点的坐标为（1，3，5）. 3.设A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），则AB的中点M到点C的距离｜CM｜＝（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：C　由已知得中点M（2，，3），｜CM｜＝＝. 4.已知a＝（1，2，－y），b＝（x，1，2）且（a＋2b）∥（2a－b），则x＝　　，y＝　－4　. 解析：由题意知，a＋2b＝（2x＋1，4，4－y），2a－b＝（2－x，3，－2y－2）.∵（a＋2b）∥（2a－b），∴存在实数λ，使a＋2b＝λ（2a－b）， ∴解得 　　 1.在空间直角坐标系中，已知点P（－1，1，2），则下列说法错误的是（　　） A.点P关于坐标原点对称的点的坐标为（1，－1，－2） B.点P关于Oyz平面对称的点的坐标为（1，1，2） C.点P在Oyz平面上的射影点的坐标为（0，1，2） D.点P在x轴上的射影点的坐标为（1，0，0） 解析：D　对于选项A，点P关于坐标原点对称的点的坐标为（1，－1，－2），故A正确；对于选项B，点P关于Oyz平面对称的点的坐标为（1，1，2），故B正确；对于选项C，点P在Oyz平面上的射影点的坐标为（0，1，2），故C正确；对于选项D，点P在x轴上的射影点的坐标为（－1，0，0），故D错误.故选D. 2.已知空间直角坐标系中的三点A（0，－3，－2），B（2，－6，－1），C（－1，－5，1），则△ABC为（　　） A.等腰三角形　 B.直角三角形 C.等腰直角三角形　 D.等边三角形 解析：D　由题可得＝（－2，3，－1），＝（－3，1，2），＝（－1，－2，3），经计算，｜｜＝｜｜＝｜｜＝，所以△ABC是等边三角形. 3.已知空间向量a＝（1，m，2），b＝（－2，4，n），若a∥b，则m＋n＝（　　） A.－4　 B.－6 C.4　 D.2 解析：B　由a∥b，知∃λ∈R，使得a＝λb，即（1，m，2）＝λ（－2，4，n），所以解得所以m＋n＝－6. 4.已知{a，b，c}是空间的一个基底，{a，b＋c，b－c}是空间的另一个基底.若向量p在基底{a，b，c}下的坐标为（2，3，－1），则向量p在基底{a，b＋c，b－c}下的坐标是（　　） A.（2，－1，－2）　 B.（2，－1，2） C.（2，1，－2）　 D.（2，1，2） 解析：D　∵向量p在基底{a，b，c}下的坐标为（2，3，－1），∴p＝2a＋3b－c.设向量p在基底{a，b＋c，b－c}下的坐标是（x，y，z），则p＝2a＋3b－c＝xa＋y（b＋c）＋z（b－c）＝xa＋（y＋z）b＋（y－z）c，∴解得即坐标是（2，1，2）. 故选D. 5.设x，y∈R，向量a＝（x，1，0），b＝（2，y，2），c＝（1，－2，1），且a⊥b，b∥c，则｜a＋b｜＝（　　） A.　 B. C.　 D.2 解析：C　因为向量a＝（x，1，0），b＝（2，y，2），c＝（1，－2，1），且a⊥b，b∥c，所以解得y＝－4，x＝2，所以向量a＝（2，1，0），b＝（2，－4，2），所以a＋b＝（4，－3，2），所以｜a＋b｜＝＝，故选C. 6.已知O（0，0，0），A（1，0，0），B（0，－1，1），＋λ与的夹角为，则λ＝（　　） A.±　 B. C.－　 D.± 解析：B　因为O（0，0，0），A（1，0，0），B（0，－1，1），所以＝（1，0，0），＝（0，－1，1），故＋λ＝（1，0，0）＋λ（0，－1，1）＝（1，－λ，λ），所以｜＋λ｜＝＝，｜｜＝＝，（＋λ）·＝1×0＋（－λ）×（－1）＋λ×1＝2λ，所以cos＜＋λ，＞＝＝，因为＋λ与的夹角为，所以cos＝＝，解得λ＝±，经检验λ＝－，不合题意，舍去，所以λ＝. 7.〔多选〕已知空间向量a＝（－2，－1，1），b＝（3，4，5），则下列说法正确的是（　　） A.c＝（－3，1，8）与a，b共面 B.a在b上的投影向量的模是 C.（2a＋b）∥a D.a与b夹角的余弦值是－ 解析：ABD　对于A，因为空间向量a＝（－2，－1，1），b＝（3，4， 5），c＝（－3，1，8），所以c＝3a＋b，因此c与a，b共面，即A正确；对于B，a在b上的投影向量的模是｜｜a｜cos＜a，b＞｜＝＝＝，即B正确；对于C，易知2a＋b＝（－1，2，7），易知≠≠，因此（2a＋b）∥a不成立，即C错误；对于D，a与b夹角的余弦值cos＜a，b＞＝＝＝－，即D正确. 8.已知向量a＝（－2，－3，1），b＝（2，0，3），c＝（0，0，2），则a＋6b－c的坐标为　（10，－3，17）　. 解析：∵a＝（－2，－3，1），b＝（2，0，3），c＝（0，0，2），∴a＋6b－c＝（－2，－3，1）＋（12，0，18）－（0，0，2）＝（10，－3，17）. 9.已知a＝（－2，4，2），b＝（－1，x－1，1），若a与b的夹角为锐角，则实数x的取值范围为　（0，3）∪（3，＋∞）　. 解析：因为a＝（－2，4，2），b＝（－1，x－1，1），且a与b的夹角为锐角，则a·b＝2＋4（x－1）＋2＝4x＞0，解得x＞0，且a与b不共线，若a与b共线，则＝＝，解得x＝3，故当a与b不共线时，x≠3，综上所述，实数x的取值范围是（0，3）∪（3，＋∞）. 10.已知向量a＝（1，1，3），b＝（－2，1，1），c＝（－1，x，3）. （1）当｜c｜＝时，若向量ka－b与c垂直，求实数k的值； （2）若向量c与向量a，b共面，求实数x的值. 解：（1）因为｜c｜＝，所以＝，解得x＝0，即c＝（－1，0，3）. 由ka－b＝（k＋2，k－1，3k－1），且（ka－b）⊥c， 得（ka－b）·c＝－（k＋2）＋3（3k－1）＝8k－5＝0，解得k＝. （2）因为向量c与向量a，b共面，所以设c＝λa＋μb（λ，μ∈R），因此（－1，x，3）＝λ（1，1，3）＋μ（－2，1，1）＝（λ－2μ，λ＋μ，3λ＋μ），即解得故x的值为. 11.〔多选〕已知空间内三点A（3，2，0），B（2，1，3），C（0，2，－1），则（　　） A.｜｜＝ B.AB⊥AC C.cos∠ABC＝ D.△ABC的面积为 解析：ABD　因为空间内三点A（3，2，0），B（2，1，3），C（0，2，－1），所以＝（－1，－1，3），＝（－3，0，－1），＝（2，－1，4），则｜｜＝，｜｜＝，｜｜＝，A正确.因为·＝0，所以AB⊥AC，B正确.cos∠ABC＝＝＝，C错误.△ABC的面积为｜｜·｜｜＝，D正确. 12.已知点A（－1，1，0），B（1，3，2），与向量不共线的向量a＝（x，y，z）在上的投影向量为（1，1，1），请你给出a的一个坐标为　（1，2，0）（答案不唯一，x＋y＋z＝3，且x，y，z不全相等均可）　. 解析：由点A（－1，1，0），B（1，3，2），可得＝（2，2，2），又向量a＝（x，y，z）在上的投影向量为（1，1，1），∴·＝·（2，2，2）＝（2，2，2）＝（1，1，1），则＝1，即x＋y＋z＝3，又∵向量与向量a不共线，则＝＝不成立，即x，y，z不全相等.则可令x＝1，y＝2，z＝0，即a＝（1，2，0），故答案为（1，2，0）.（答案不唯一，x＋y＋z＝3且x，y，z不全相等均可） 13.如图，正八面体ABCDEF的每条棱长均为10，AF与BD交于点O，＝5，M为正八面体ABCDEF内部或表面上的动点.若·＝0，则·的最小值为　－18　. 解析：连接CE，由正八面体性质得DB，CE，AF两两互相垂直，故以O为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，由正八面体的各棱长均为10，根据正八面体的对称性，可得OA＝OB＝OC＝OD＝OE＝OF＝10×＝10，则A（0，0，10），C（10，0，0），B（0，10，0），D（0，－10，0）， E（－10，0，0），F（0，0，－10），又＝5，所以H（0，0，2），＝（0，10，－10），设点M（x，y，z），则＝（－x，－y，2－z），因为·＝0，所以－10y＋10z－20＝0，即z－y＝2，又＝（－x，2－z，10－z），＝（－x，－8－z，－z），所以·＝（－x）×（－x）＋（2－z）×（－8－z）＋（10－z）×（－z）＝x2＋2z2－4z－16＝x2＋2（z－1）2－18，故当x＝0，z＝1，y＝z－2＝－1，即M（0，－1，1）时，·取到最小值为－18. 14.（新定义）空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：i，j，k分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴，y轴，z轴）正方向的单位向量，若向量n＝xi＋yj＋zk，则n与有序实数组（x，y，z）相对应，称向量n的斜60°坐标为[x，y，z]，记作n＝[x，y，z]. （1）若a＝[1，2，3]，b＝[－1，1，2]，求a＋b的斜60°坐标； （2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，如图，以{，，}为基底建立“空间斜60°坐标系”. ①若＝，求向量的斜60°坐标； ②若＝[2，t，0]，且⊥，求｜｜. 解：（1）∵a＝[1，2，3]，b＝[－1，1，2]， ∴a＋b＝（i＋2j＋3k）＋（－i＋j＋2k）＝3j＋5k＝[0，3，5]， ∴a＋b的斜60°坐标为[0，3，5]. （2）设i，j，k分别为与，，同方向的单位向量， 则＝2i，＝2j，＝3k，i·j＝j·k＝j·k＝1×1×cos 60°＝. ①由题意得，点E为BB1的中点. ＝－＝（＋）－（＋） ＝－＋＋＝－2i＋2j＋k＝［－2，2，］. ②由题意得，＝＋＋＝2i＋2j＋3k， 由＝[2，t，0]得，＝2i＋tj，由⊥得，·＝（2i＋2j＋3k）·（2i＋tj）＝0， ∴4i2＋2tj2＋（4＋2t）i·j＋6k·i＋3tk·j＝0，∴4＋2t＋（4＋2t）＋3＋＝0，解得t＝－2， 则｜｜＝｜2i－2j｜＝＝＝＝2. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $