1.2.4 二面角(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版)

本讲义聚焦二面角这一核心知识点，系统梳理其定义、范围及平面角的定义法、垂面法、垂线法三种找法，前承空间向量基础知识，后续复杂空间几何问题，通过情境引入、概念解析、方法归纳、例题演练构建完整学习支架。 该资料以十二星座黄道面与赤道面二面角为情境引入，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过几何法“一作二证三求”和向量法建系求法向量，发展逻辑推理与数学运算素养，课中辅助教师分层教学，课后练习题覆盖不同题型，助力学生巩固知识、查漏补缺。

1.2.4　二面角 课标 要求 1.能用向量语言表述平面与平面的夹角（直观想象）. 2.能用向量方法解决二面角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用（逻辑推理、数学运算）. 　　 　　同学们可能经常谈论某某同学是白羊座的，某某同学是双子座的，可是你知道十二星座的由来吗？ 　　我们知道，地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”，黄道面与地球赤道面交角（二面角的平面角）约为23°26'，它与天球相交的大圆为“黄道”，黄道及其附近的南北宽8°以内的区域为黄道带，黄道带内有十二个星座，称为“黄道十二宫”，从春分（节气）点起，每30°便是一宫，并冠以星座名，如白羊座、金牛座、双子座等等，这便是星座的由来…… 【问题】　你知道二面角是如何定义的吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　二面角 1.定义：从一条直线出发的两个　半平面　所组成的图形称为二面角，如图. 2.范围：我们约定，二面角及其平面角的大小不小于0°，不大于180°，而且，两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的四个二面角中，不小于0°且不大于90°的角的大小，平面角是直角的二面角称为　直二面角　. 提醒：找二面角的平面角的三种方法 定义法 在棱上取一点，分别在两平面内过此点引两条射线与棱垂直，这两条射线所成的角就是二面角的平面角 垂面法 已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角 垂线法 过二面角的一个面内异于棱上的A点向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则∠AOB为二面角的平面角或其补角，如图，∠AOB为二面角α-l-β的平面角 知识点二　空间向量与二面角 如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ，则θ＝　＜n1，n2＞　或　θ＝π－＜n1，n2＞　，如图. 特别地sin θ＝　sin＜n1，n2＞　. 【想一想】 若二面角α-l-β的两个半平面的法向量分别为n1，n2，那么二面角的平面角与两法向量夹角＜n1，n2＞一定相等吗？ 提示：不一定.可能相等，也可能互补. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）两个平面夹角的范围是［0，］，二面角的范围是[0，π]，若夹角为，则两个平面垂直.（　√　） （2）两个平面的夹角等于两个平面的法向量的夹角或其补角.（　√　） （3）二面角的大小等于平面与平面的夹角.（　×　） 2.在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为（0，－1，3），（2，2，4），则这个二面角的余弦值为（　　） A.　　　　　　　　 B.－ C.　 D.或－ 解析：D　∵＝，∴这个二面角的余弦值为或－. 3.正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则二面角P-CD-A的大小为　45°　，平面PAD与平面PBC所成的角为　45°　. 4.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B-PA-C的大小为　90°　. 解析：因为PA⊥平面ABC，所以AC⊥PA，BA⊥PA，所以∠BAC为二面角B-PA-C的平面角，又∠BAC＝90°，所以二面角B-PA-C的大小为90°. 　　 题型一　几何法求二面角 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°.求二面角A-A1C-B的正切值. 解：设A1C的中点为M，连接BM，AM， 因为BA1＝BC，AA1＝AC，所以BM⊥A1C，AM⊥A1C， 所以∠AMB是二面角A-A1C-B的平面角， 由直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，且AB⊂平面ABC， 可得AB⊥AA1，由∠BAC＝90°，可得AB⊥AC，且AC∩AA1＝A，所以AB⊥平面ACC1A1， 又因为AM⊂平面ACC1A1，所以AB⊥AM， 在Rt△ABM中，AB＝2，AM＝，可得tan∠AMB＝＝， 所以二面角A-A1C-B的正切值为. 规律方法 求二面角大小的步骤（一作二证三求） 如图，空间四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝a，对角线AC＝a，BD＝a，求二面角A-BD-C的大小. 解：如图，取BD的中点O，分别连接AO，CO， ∵AB＝AD，BC＝CD， ∴AO⊥BD，CO⊥BD. ∴∠AOC为二面角A-BD-C的平面角. ∵AB＝AD＝a，BD＝a， ∴AO＝a. ∵BC＝CD＝a，BD＝a，∴OC＝a. 在△AOC中，OC＝a，OA＝a，AC＝a，OA2＋OC2＝AC2. ∴∠AOC＝90°.即二面角A-BD-C的大小为90°. 题型二　向量法求二面角 〔一题多解〕如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，B1C1＝1. （1）证明：AA1∥平面BDC1； （2）若AA1⊥BD，BC1＝CC1＝2，求平面BC1D与平面B1CD1夹角的余弦值. 解：（1）证明：法一　由棱台定义可知AA1与CC1共面，且平面ABCD∥平面A1B1C1D1. 又平面ABCD∩平面ACC1A1＝AC，平面A1B1C1D1∩平面ACC1A1＝A1C1， 所以AC∥A1C1. 连接AC交BD于点O，如图，则O为AC的中点. 因为BC＝2B1C1＝2，所以A1C1＝AO. 所以四边形A1AOC1是平行四边形，所以AA1∥OC1. 又AA1⊄平面BDC1，OC1⊂平面BDC1，所以AA1∥平面BDC1. 法二　将棱台补形成棱锥P-ABCD，如图， 由棱台定义知平面ABCD∥平面A1B1C1D1. 又平面ABCD∩平面BCC1B1＝BC，平面A1B1C1D1∩平面BCC1B1＝B1C1， 所以BC∥B1C1. 连接AC交BD于点O，则O为AC的中点.又△BCP∽△B1C1P，所以＝＝2，所以C1为PC的中点，所以OC1为△ACP的中位线，所以AA1∥OC1. 又AA1⊄平面BDC1，OC1⊂平面BDC1，所以AA1∥平面BDC1. （2）法一　在正方形ABCD中，BD⊥AC，又BD⊥AA1，AC∩AA1＝A，AC，AA1⊂平面ACC1A1，所以BD⊥平面ACC1A1.因为OC1⊂平面ACC1A1，所以BD⊥OC1. 在Rt△BOC1中，∠BOC1＝90°，BO＝，BC1＝2，所以OC1＝. 在△OCC1中，OC＝OC1＝，CC1＝2，所以OC2＋O＝C，所以OC⊥OC1. 以O为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示. 则B（，0，0），D（－，0，0），C（0，，0），B1（，－，），D1（－，－，）. 所以＝（－，0，0），＝（－，，－）. 设平面B1CD1的法向量为n＝（x，y，z）， 则化简整理得令y＝2，则z＝3，所以n＝（0，2，3）， 又因为平面BC1D的一个法向量m＝（0，1，0），所以｜cos＜m，n＞｜＝＝， 所以平面BC1D与平面B1CD1夹角的余弦值为. 法二　在正方形ABCD中，BD⊥AC， 又BD⊥AA1，AC∩AA1＝A，AC，AA1⊂平面ACC1A1，所以BD⊥平面ACC1A1. 因为OC1⊂平面ACC1A1，所以BD⊥OC1. 在Rt△BOC1中，∠BOC1＝90°，BO＝，BC1＝2，所以OC1＝. 在△OCC1中，OC＝OC1＝，CC1＝2，所以OC2＋O＝C，所以OC⊥OC1. 连接B1C交BC1于点M，连接CD1交C1D于点N，连接MN， 则MN为平面BC1D与平面B1CD1的交线，设MN交OC1于点Q，连接CQ. 由△BCM∽△C1B1M，有＝＝，同理＝， 所以MN∥BD，所以MN⊥平面ACC1A1. 又QO⊂平面ACC1A1，QC⊂平面ACC1A1，所以MN⊥QO，MN⊥QC， 又∠OQC为锐角，所以∠OQC为平面BC1D与平面B1CD1的夹角. 由MN∥BD得＝＝，所以QO＝.在Rt△QOC中，QO＝，OC＝，QC＝，所以cos∠OQC＝.所以平面BC1D与平面B1CD1夹角的余弦值为. 规律方法 向量法求二面角的三个步骤 （1）建立适当的坐标系，写出相应点的坐标； （2）求出两个半平面的法向量n1，n2； （3）设两平面的夹角为θ，则cos θ＝｜cos＜n1，n2＞｜. 提醒：（1）若要求的是二面角，则根据图形判断该二面角是钝角还是锐角，从而用法向量求解；（2）要注意两平面所成的角与二面角的区别. 如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是等边三角形，O为线段AD的中点，PO⊥AC，BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2，AB＝BC＝1， E为PD上一点. （1）证明：平面ACE⊥平面POB； （2）若E为PD中点，求平面PAB与平面EAC所成角的余弦值. 解：（1）证明：连接BO，因为O为线段AD的中点，AD＝2，所以AO＝AB＝BC＝1， 因为BC∥AD，所以BC∥AO，又因为AB⊥AD，所以四边形ABCO为正方形， 所以BO⊥AC，因为PO⊥AC，且PO∩BO＝O，PO，BO⊂平面POB， 所以AC⊥平面POB，又因为AC⊂平面ACE，所以平面ACE⊥平面POB. （2）因为△PAD是等边三角形，O为线段AD的中点，所以PO⊥AD， 又因为PO⊥AC，AC∩AD＝A，所以PO⊥平面ABCD， 所以PO，CO，DO两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， A（0，－1，0），B（1，－1，0），P（0，0，），E（0，，），C（1，0，0）， ＝（1，0，0），＝（0，1，），＝（0，，），＝（1，1，0）， 设平面PAB的法向量为m＝（x1，y1，z1），则令z1＝1，得y1＝－，x1＝0， 所以平面PAB的一个法向量为m＝（0，－，1）， 设平面EAC的法向量为n＝（x2，y2，z2）， 则令x2＝1，得y2＝－1，z2＝，所以平面EAC的一个法向量为n＝（1，－1，）， 设平面PAB与平面EAC所成角为θ，cos θ＝＝， 所以平面PAB与平面EAC所成角的余弦值为. 1.三棱锥A-BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若＜n1，n2＞＝，则二面角A-BD-C的大小为（　　） A.　　　　　　　 B. C.或　 D.或 解析：C　当二面角A-BD-C为锐角时，它等于＜n1，n2＞＝.当二面角A-BD-C为钝角时，它等于π－＜n1，n2＞＝π－＝. 2.已知二面角α-l-β中，平面α的一个法向量为n1＝（，，），平面β的一个法向量为n2＝（0，，），则二面角α-l-β的平面角满足（　　） A.余弦值为　 B.正弦值为 C.大小为60°　 D.大小为30° 解析：B　设所求二面角的平面角的大小为θ，则｜cos θ｜＝＝＝，所以θ＝30°或150°，故C、D错误；又因为sin 30°＝sin 150°＝，故A错误，B正确. 3.〔多选〕在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（　　） A.B1的坐标为（2，2，3） B.＝（－2，0，3） C.平面A1BC1的一个法向量为（－3，3，－2） D.二面角B-A1C1-B1的余弦值为 解析：AD　如图，因为AB＝AD＝2，AA1＝3，所以A1（0，2，3），B（2，2，0），B1（2，2，3），C1（2，0，3），所以＝（0，－2，3），＝（2，0，－3），即A正确，B不正确；设平面A1BC1的法向量m＝（x，y，z），所以即令x＝－3，则y＝－3，z＝－2，即平面A1BC1的一个法向量为m＝（－3，－3，－2），故C错误；由几何体易得平面A1B1C1的一个法向量为n＝（0，0，1），由于cos＜m，n＞＝＝＝－，结合图形可知二面角B-A1C1-B1的余弦值为，故D正确；故选A、D. 4.已知P为锐二面角α-l-β内一点，且P到面α，β及棱l的距离之比为1∶∶2，则此二面角的度数为　75°. 解析：如图，作PA⊥α于A，PB⊥β于B，PC⊥l于C，连接BC，AC，则易得∠ACB为二面角的平面角.又sin∠PCB＝，∠PCB＝45°，sin∠PCA＝，∴∠PCA＝30°，故二面角的平面角为∠PCA＋∠PCB＝75°. 　　 1.在空间直角坐标系中，已知平面α，β的一个法向量分别为（0，－1，－1），（－2，1，2），则α与β的夹角的余弦值为（　　） A.　　　 B.　　C.－　　　 D. 解析：D　设a＝（0，－1，－1），b＝（－2，1，2），则｜cos＜a，b＞｜＝＝＝，所以平面α与β的夹角的余弦值为. 2.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD面积的2倍.沿AD将△ABD翻折，翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角B-AD-C的大小为（　　） A.30°　 B.45° C.60°　 D.90° 解析：C　由已知得BD＝2CD.翻折后，在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，而AD⊥BD，CD⊥AD，故∠BDC是二面角B-AD-C的平面角，其大小为60°.故选C. 3.二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB＝2，AC＝3，BD＝4，CD＝，则该二面角的大小为（　　） A.30°　 B.60° C.120°　 D.150° 解析：C　由＝＋＋可得＝（＋＋）2＝＋＋＋2·＋2·＋2·，故41＝9＋4＋16＋0＋0＋2·⇒·＝6，进而可得·＝－6，由于cos＜，＞＝＝＝－，由于＜，＞∈[0°，180°]，故＜，＞＝120°，由于，夹角的大小即为二面角的大小，故二面角大小为120°. 4.已知向量m＝（1，2，－1），n＝（t，1，－t），且m⊥平面α，n⊥平面β，若平面α与平面β的夹角的余弦值为，则实数t的值为（　　） A.或－1　 B.或1 C.－1或2　 D.－ 解析：B　因为m＝（1，2，－1），n＝（t，1，－t），所以m·n＝2＋2t，｜m｜＝，｜n｜＝，因为m⊥平面α，n⊥平面β，平面α与平面β的夹角的余弦值为，所以＝，化简得5t2－6t＋1＝0，解得t＝或1.故选B. 5.（2026·沈阳期末）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝6，AA1＝4，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为（　　 ） A.　 B. C.　 D. 解析：D　以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A1 （0，0，4），E（2，0，2），D（0，6，0），故＝（0，6，－4），＝（2，0，－2），设平面A1ED的一个法向量为n1＝（x，y，z），∴即取故n1＝（1，，1），∵平面ABCD的一个法向量为n2＝（0，0，1），∴cos ＜n1，n2＞＝＝，故平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.故选D. 6.如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，若A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，A1C1＝1，AB＝AC＝AA1＝2，M为BC中点，则平面MAC1与平面AC1C所成角的余弦值为（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：B　由A1A⊥平面ABC，且AB，AC⊂平面ABC，所以A1A⊥AB，A1A⊥AC，又由AB⊥AC，以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，因为A1C1＝1，AB＝AC＝AA1＝2，且M为BC中点，可得A（0，0，0），M（1，1，0），C1（0，1，2），则＝（1，1，0），＝（0，1，2），设平面MAC1的法向量为n＝（x，y，z），则取x＝2，可得y＝－2，z＝1，所以n＝（2，－2，1），又由平面AC1C的一个法向量为m＝（1，0，0），设平面MAC1与平面AC1C所成的角为θ，则cos θ＝｜cos＜m，n＞｜＝＝＝. 7.〔多选〕直线l的方向向量为a，两个平面α，β的法向量分别为n，m，则下列命题为真命题的是（　　） A.若a⊥n，则直线l∥平面α B.若a∥n，则直线l⊥平面α C.若cos＜a，n＞＝，则直线l与平面α所成角的大小为 D.若cos＜m，n＞＝，则平面α与平面β夹角的大小为 解析：BCD　对于A，若a⊥n，则直线l∥平面α或在平面α内，故选项A不正确；对于B，若a∥n，则a也是平面α的一个法向量，所以直线l⊥平面α，故选项B正确；对于C，直线与平面所成角的正弦值等于直线方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值，所以若cos＜a，n＞＝，则直线l与平面α所成角的大小为，故选项C正确；对于D，若cos＜m，n＞＝，则平面α与平面β夹角的大小为，故选项D正确. 8.如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝2AC＝2，沿AC将△ACD折起到△PAC的位置，使得点P到点B的距离为，则二面角P-AC-B的大小为　　. 解析：依题意，PC⊥AC，AC⊥AB，则·＝·＝0，｜｜＝1，｜｜＝｜｜＝2，设P-AC-B的大小为θ，则θ与＜，＞互补，而＝＋＋，则＝＋＋＋2·＋2·＋2·，｜｜＝，于是13＝4＋1＋4＋2×2×2cos ＜，＞，解得cos＜，＞＝，因此cos θ＝－cos＜，＞＝－，又θ∈[0，π]，所以θ＝. 9.如图所示，在圆锥SO中，AB是底面圆直径，且SO＝AB＝4，AC＝BC，则二面角A-SB-C的余弦值为　　. 解析：以O为坐标原点，以OC，OA，OS所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为SO＝AB＝4，AC＝BC，可得S（0，0，4），B（0，－2，0），C（2，0，0），则＝（2，0，－4），＝（2，2，0），设平面SBC的法向量为n＝（x，y，z），则令x＝2，可得y＝－2，z＝1，所以n＝（2，－2，1），平面SAB的一个法向量为＝（2，0，0），设二面角A-SB-C的大小为θ，由图可得0＜θ＜，则cos θ＝｜cos＜n，＞｜＝＝，所以二面角A-SB-C的余弦值为. 10.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，DA⊥DC，底面ABCD为平行四边形，DA＝DC＝DP，E，F分别在棱PC，PB上，PA∥平面EDB. （1）若F是PB的中点，求EF与平面EDB所成角的余弦值； （2）若EF⊥PB，求平面DEF与平面ABCD夹角的余弦值. 解：（1）由题意可知，底面ABCD是正方形. 连接AC交BD于点O，连接EO. 因为PA∥平面EDB，平面PAC∩平面EDB＝EO，PA⊂平面PAC，所以PA∥EO. 又O是AC的中点，所以E是PC的中点. 以D为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz. 不妨设DC＝2，则A（2，0，0），B（2，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1）. 由题意，F是PB的中点，则F（1，1，1），故＝（1，0，0），＝（2，2，0），＝（0，1，1）. 设平面EDB的法向量为m＝（x1，y1，z1），则 令y1＝－1，得m＝（1，－1，1）. 记EF与平面EDB所成角为θ， 则sin θ＝＝＝， 故cos θ＝＝，故EF与平面EDB所成角的余弦值为. （2）由（1）知＝（0，1，1），＝（2，2，－2），故·＝0，故DE⊥PB. 又EF⊥PB，DE∩EF＝E，DE⊂平面DEF，EF⊂平面DEF，故PB⊥平面DEF，故平面DEF的一个法向量n1＝＝（2，2，－2）. 易知平面ABCD的一个法向量为n2＝（0，0，1）. 记平面DEF与平面ABCD的夹角为φ，则cos φ＝＝＝，故平面DEF与平面ABCD夹角的余弦值为. 11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面α经过点B，D，平面β经过点A，D1，当平面α，β分别截正方体所得截面面积最大时，平面α与平面β的夹角的余弦值为（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：C　如图，因为正方体中过体对角线的截面面积最大，所以题目转化为求平面BDD1B1与平面ABC1D1夹角的余弦值，以D点为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为1，平面α与平面β的夹角为θ，因为DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以DD1⊥AC，且AC⊥BD，BD∩DD1＝D，BD，DD1⊂平面BDD1B1，所以AC⊥平面BDD1B1，同理B1C⊥平面ABC1D1，所以为平面BDD1B1的一个法向量，为平面ABC1D1的一个法向量，A（1，0，0），C（0，1，0），B1（1，1，1），＝（－1，1，0），＝（－1，0，－1），则cos θ＝＝＝. 12.〔多选〕如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝.则下列结论中正确的是（　　） A.三棱锥A-BEF的体积为定值 B.当E向D1运动时，二面角A-EF-B的大小不变 C.二面角E-AB-C的最小值为45° D.当E向D1运动时，AE⊥CF总成立 解析：ABC　因为EF为定值，故S△BEF为定值，A到平面BEF的距离即为A到平面DD1B1B的距离，故三棱锥A-BEF的体积为定值，故A正确. 平面EFB即为平面BDD1B1，而平面AEF即为平面AB1D1，故当E向D1运动时，二面角A-EF-B不变，故B正确.建立如图所示的空间直角坐标系，则A（1，1，0），B（0，1，0），C（0，0，0），D（1，0，0），D1（1，0，1），设E（t，1－t，1），平面ABE的法向量为m＝（x，y，z），又＝（－1，0，0），＝（t－1，－t，1），所以取y＝1，则m＝（0，1，t），平面ABC的法向量为n＝（0，0，1），所以cos＜m，n＞＝，设二面角E-AB-C的平面角为θ，则θ为锐角，故cos θ＝＝， 又≤t≤1，故≤≤，所以≤cos θ≤，当且仅当t＝1时cos θ取最大值，即θ取最小值45°，故C正确.因为E，F在B1D1上，且EF＝，故可设E（t，1－t，1），F（t－，－t，1），≤t≤1，＝（t－1，－t，1），＝（t－，－t，1），所以·＝（t－）（t－1）＋（－t）·（－t）＋1＝2t2－3t＋，故·不恒为零，故D错. 13.已知α，β，γ为三个不同的平面，m为直线，α⊥β，α∩β＝m，α与γ夹角的余弦值为，m与γ所成角的正弦值为，则β与γ夹角的余弦值为　　. 解析：如图，根据题意，平面α对应平面OBC，平面β对应平面OAC，平面γ对应平面ABC，直线m对应直线OC.可设A（0，0，1），B（b，0，0），C（0，c，0）.则＝（b，0，－1），＝（0，c，－1），＝（0，c，0）.设平面ABC的法向量为d＝（x，y，z）则⇒⇒取z＝bc，则d＝（c，b，bc）.取平面α即平面OBC的法向量m＝（0，0，1）；平面β即平面OAC的法向量n＝（1，0，0）.由α与γ夹角的余弦值为得：＝⇒＝，得：7b2c2＝2b2＋2c2，由m与γ所成角的正弦值为得：＝⇒＝，得：b2c2＝2b2－c2.由⇒所以β与γ夹角的余弦值为＝＝. 14.如图，平面四边形ABCD中，AB＝8，CD＝3，AD＝5，∠ADC＝90°，∠BAD＝30°，点E，F满足＝，＝，将△AEF沿EF翻折至△PEF，使得PC＝4. （1）证明：EF⊥PD； （2）求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值. 解：（1）证明：由AB＝8，AD＝5，＝，＝，得AE＝2，AF＝4， 又∠BAD＝30°，在△AEF中，由余弦定理得 EF＝ ＝＝2， 所以AE2＋EF2＝AF2， 则AE⊥EF，即EF⊥AD， 由翻折的性质知EF⊥PE，EF⊥DE，又PE∩DE＝E，PE，DE⊂平面PDE， 所以EF⊥平面PDE，又PD⊂平面PDE， 故EF⊥PD. （2）连接CE，由∠ADC＝90°，ED＝3，CD＝3，则CE2＝ED2＋CD2＝36， 在△PEC中，PC＝4，PE＝2，EC＝6，得EC2＋PE2＝PC2， 所以PE⊥EC，由（1）知PE⊥EF，又EC∩EF＝E，EC，EF⊂平面ABCD， 所以PE⊥平面ABCD，又ED⊂平面ABCD， 所以PE⊥ED，则PE，EF，ED两两垂直，建立如图空间直角坐标系E-xyz， 则P（0，0，2），D（0，3，0），C（3，3，0），F（2，0，0），A（0，－2，0）， 由F是AB的中点，得B（4，2，0）， 所以＝（3，3，－2），＝（0，3，－2），＝（4，2，－2），＝（2，0，－2）， 设平面PCD和平面PBF的一个法向量分别为n＝（x1，y1，z1），m＝（x2，y2，z2）， 则 令y1＝2，x2＝，得x1＝0，z1＝3，y2＝－1，z2＝1， 所以n＝（0，2，3），m＝（，－1，1）， 所以｜cos ＜m，n＞｜＝＝＝， 设平面PCD和平面PBF所成二面角为θ，则sin θ＝＝，即平面PCD与平面PBF所成二面角的正弦值为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $